ROZWIĄZANIA ZADAŃ EGZAMINACYJNYCH

Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI

STUDIUM ZAOCZNE (GRUDZIĄDZ)

SEMESTR II

z dnia 03.07.2004

Zadanie 1

Dla podanego obwodu napisać równania według metody potencjałów węzłowych umożliwiających jego rozwiązanie.

Rozwiązanie

Narzucone w treści zadania oznaczenia (nazwy) potencjałów punktów węzłowych oraz zerowa (odniesieniowa) wartość potencjału pozwalają określić potencjał jednego z węzłów bezpośrednio:

Pozostałe równania zapisać należy bazując na prądowym prawie Kirchhoffa następująco:

- dla węzła z potencjałem V₁
,

- dla węzła z potencjałem V₂
.

Proste przekształcenia tych równań prowadzą do układu:

,

.

Zadanie 2

Obliczyć wartość rezystancji Rx, przy której moc wydzielona w tym rezystorze ma wartość największą. Obliczyć tę moc.

Rozwiązanie

W celu rozwiązania zadania należy „wyciąć” z obwodu rezystor Rx i punktu widzenia zacisków, pozostałych po tym cięciu, zastosować twierdzenie Thevenina o zastępczym źródle napięciowym. W ten sposób obwód zostanie doprowadzony do postaci pokazanej na następującym rysunku:

Wyznaczenie wartości zastępczego napięcia źródłowego Thevenina E_T polega na rozwiązaniu obwodu pozostałego po „wycięciu” R_x w obwodzie

Zastosowanie twierdzenia Thevenina w tym obwodzie przekształci obwód do postaci:

Tutaj już prosto wyznaczyć można napięcie na zaciskach pozostałych po R_x, bowiem ze względu na równowagę źródeł napięciowych, w obwodzie prąd nie będzie płynął. W związku z tym E_T = 40 V. Rezystancja R_T będzie efektem połączenia równoległego 1 kၗ i 5 kၗ (2 kၗ + 3 kၗ) czyli R_T = 833 ၗ. Dopasowanie energetyczne osiągnięte zostanie dla R_x = R_T = 833 ၗ, zaś maksymalna moc wydzielająca się na R_x będzie

Zadanie 3

Obliczyć wartość średnią i wartość skuteczną podanego okresowo zmiennego przebiegu napięcia.

Rozwiązanie

Obliczenia wartości średniej i skutecznej przebiegu okresowego wymagają, zgodnie z definicja tych wartości, całkowania przebiegu oraz jego kwadratu w przedziale równym okresowi. Należy więc przede wszystkim zadany przebieg napięcia opisać analityczne w przedziale okresowości:

.

Zgodnie z definicją wartości średniej:

Podobnie wartość skuteczna:

Zadanie 4

Na rysunku przedstawiono przebieg mocy chwilowej p(t) odbiornika. Wyznaczyć współczynnik mocy tego odbiornika oraz częstotliwość napięcia zasilającego.

Rozwiązanie

Współczynnik mocy odbiornika, jak wiadomo, jest stosunkiem mocy czynnej do pozornej tego odbiornika. Z załączonego rysunku, przedstawiającego moc chwilową odbiornika, można odczytać moc czynną, jako wartość średnią za okres mocy chwilowej (P = 10 W) oraz moc pozorną, jako amplitudę zmian mocy chwilowej (S = 20 VA). Poszukiwany współczynnik mocy jest więc równy

.

Częstotliwość mocy chwilowej jako odwrotność okresu jest zaś równa

Częstotliwość mocy chwilowej jest dwukrotnie większa od częstotliwości harmonicznych przebiegów napięciowo prądowych, więc poszukiwana częstotliwość napięcia zasilającego f = 50 Hz.

Zadanie 5

W podanym obwodzie prądu przemiennego obliczyć wskazanie watomierza i amperomierzy. Przyjąć e(t) = 230·sin(t) V,
 = 314 s^-1. Naszkicować wykres fazorowy układu.

Rozwiązanie

Obwód rozwiązać najlepiej stosując metodę wartości skutecznych zespolonych. W tym celu naszkicować wypada schemat obwodu raz jeszcze, z wartościami impedancji zespolonych elementów i wartością skuteczną zespolona napięcia zasilającego.

Wartości reaktancji X_L oraz X_C obliczymy następująco:

,

Wartość skuteczna zespolona napięcia zasilającego

Z wielu znanych metod rozwiązania zaproponuję następującą:

stąd

Pozostałe prądy będą

Amperomierze będą więc wskazywać wartości:

• A₁: 2,12 A,

• A₂: 1,276 A,

• A₃: 1,693 A.

Wskazanie watomierza obliczymy jako

Wykres fazorowy (bez skali) przedstawia następujący rysunek:

Zadanie 6

Obliczyć dla jakiej wartości pojemności C wskazanie amperomierza nie zależy od stanu łącznika. Obliczyć to wskazanie amperomierza. Wykonać wykres fazorowy prądów i napięć dla obu stanów łącznika. Przyjąć dane: e(t) = 230·sin(t) V,
 = 314 s^-1, R = 100 Ω, R₀ = 200 Ω.

Uwaga: Przypadek
, który zapewnia X_C = 0, jako trywialny, nie stanowi rozwiązania zadania.

Rozwiązanie

Jest oczywiste, że amperomierz pokaże tę samą wartość niezależnie od stanu klucza wówczas, gdy moduły impedancji zespolonych obwodu w obu przypadkach będą równe sobie. W przypadku otwartego łącznika:

czyli
;

Gdy łącznik jest zamknięty

.

Moduł tej impedancji jest równy

.

Równość modułów impedancji prowadzi do równania

,

które po niezbędnych przekształceniach algebraicznych prowadzi do dwukwadratowgo równania względem poszukiwanej pojemności C w postaci

.

Jedynym rozwiązaniem dodatnim takiego równania jest

,

co po podstawieniu danych liczbowych daje wartość C = 15,92 F.

Wskazanie amperomierza będzie wówczas równe

Wykresy fazorowe można przedstawić następująco:

Zadanie 7

Obliczyć pulsację i częstotliwość rezonansową obwodu oraz naszkicować wykres fazorowy obwodu dla częstotliwości rezonansowej.

Przyjąć dane: R = 10 Ω, L = 40 mH, C = 250 nF.

Rozwiązanie

Impedancja zespolona obwodu jest

.

Jak wiadomo warunkiem rezonansu jest zerowanie się części urojonej impedancji zespolonej obwodu, więc:

.

Wyznaczona stąd pulsacja _r określona jest wzorem

.

Po podstawieniu danych liczbowych okazuje się, że obliczenie _r prowadzi do wyniku zespolonego, co oznacza, że nie ma takiej częstotliwości napięcia (lub prądu) zasilającego, przy której obwód byłby w rezonansie.

Gdyby rezonans był możliwy, to wykres fazorowy obwodu w stanie rezonansu mógłby wyglądać następująco:

Zadanie 8

W układzie 1-kreskowym podanym na rysunku odbiornik energii posiada następujące dane znamionowe: U_n = 230 V,
P_n = 2,5 kW, cos =0,6. Ponadto X = 0,25  Częstotliwość przebiegów napięciowo-prądowych f = 50 Hz.

Naszkicować wykres fazorowy układu oraz obliczyć:

• pojemność C kompensującą moc bierną układu do poziomu cos_z=0,94;

• moc czynną wydzielającą się w odbiorniku gdy napięcie zasilania układu U = 235 V.

Rozwiązanie

Zakładając znamionowa pracę odbiornika, czyli napięcie na jego zaciskach równe
obliczyć można prąd pobierany przez ten odbiornik:

Spadek napięcia na szeregowej reaktancji indukcyjnej

W związku z tym napięcie na pojemności równe napięciu zasilającemu (przy założeniu znamionowej pracy odbiornika) będzie:

To umożliwia obliczenie pojemności kompensującej moc bierną do żądanego poziomu:

Wykres fazorowy układu przedstawia rysunek:

---