Ćwiczenie nr 1

ZAGADNIENIE 1.

Moment bezwładności - suma iloczynów mas poszczególnych jej elementów i ich kwadratów odległości od osi obrotu.

[ kg · m² ]

,
- masa poszczególnych elementów

- odległość od osi obrotu

Moment pędu - suma momentów pędu jej punktów materialnych względem tej samej osi obrotu

Wzór te można przekształcić do postaci, która w zadaniach jest częściej używana:

I - moment bezwładności bryły względem danej osi obrotu

ω - prędkość kątowa obrotu bryły

Jednostką momentu pędu jest [kg ·
]

Moment siły - jest wielkością wektorową równą iloczynowi wektorowemu wektora położenia punktu przyłożenia siły względem osi obrotu bryły i wektora siły działającej na bryłę

Wartość momentu siły jest określona, zgodnie z definicją iloczynu wektorowego

Moment siły jest prostopadły do płaszczyzny obrotu bryły. Zwrot momentu siły określa reguła śruby prawoskrętnej. Jeżeli wektor r, odległości punktu przyłożenia siły od osi obrotu bryły, obrócimy w kierunku wektora siły F po najkrótszej drodze kątowej a następnie w tak zaznaczonym kierunku będziemy wkręcać śrubę prawoskrętną, to posuw tej śruby będzie zgodny ze zwrotem wektora momentu siły.

II zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

Przyspieszenie kątowe obracającej się bryły jest wprost proporcjonalne do momentu siły (względem osi obrotu) wywołującego ten ruch, a odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności bryły (liczonego również względem osi obrotu).

- przyspieszenie kątowe

- moment siły

I­ moment bezwładności

ZAGADNIENIE 4.

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności I₀ bryły względem osi obrotu nie przechodzącej przez środek masy tej bryły jest równy sumie momentów bezwładności I_s bryły względem osi przechodzącej przez jej środek masy oraz momentu bezwładności m(OS)² środka masy tej bryły względem osi obrotu

m - masa bryły

OS - odległość środka masy bryły od osi obrotu

Moment bezwładności pręta względem osi nie przechodzącej przez środek masy określony zgodnie z twierdzeniem Steinera przy pomocy momentu bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez środek masy wyrażony wzorem:

ZAGADNIENIE 6.

Wahadło matematyczne.

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt

materialny o masie M i ciężarze G zawieszony

na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości L.

W położeniu wychylonym na punkt ten działa siła poruszająca:

gdzie ciężar wahadła:

Łącząc powyższe równania i podstawiając:

gdzie s jest wychyleniem punktu w stosunku do położenia równowagi otrzymamy:

Ponieważ m, l, g są, dla określonego wahadła wielkościami stałymi, a wiec siła poruszająca F jest wprost proporcjonalna do wielkości wychylenia s. Wynika stąd, ze ruch wahadłowy jest dla małych wychyleń ruchem harmonicznym.

Przyspieszenie ruchu harmonicznego wyrażone jest równaniem:

stąd siła poruszająca:

Porównując tę wartość z uprzednio wyprowadzonym równaniem:

otrzymujemy:

a stąd:

Z powyższego równania wynika, że okres wahań wahadła matematycznego nie zależy od amplitudy i masy wahadła, natomiast zależy od jego długości i wartości działającej w danym miejscu przyspieszenia ziemskiego.

ZAGADNIENIE 7.

Wahadło fizyczne

Wahadło nie spełniające warunków stawianych wahadłu matematycznemu nazywamy wahadłem fizycznym. Wahadło fizyczne wykonuje drgania skrętne. Są to drgania wykonywane przez ciało sprężyste, którego właściwości sprężyste są charakteryzowane przez moment kierujący (M*) zwany również momentem siły sprężystej. Przez moment kierujący rozumiemy stosunek działający na układ moment siły do wartości kąta skręcania.

Jeżeli ciało mogące wykonać drgania skrętne, dzięki siłom sprężystym wychylimy z położenia równowagi obracając je o pewien kat, a następnie puścimy swobodnie, ciało to będzie drgało z określoną częstotliwością f.

Okres drgań skrętnych:

J - moment bezwładności,

M* - moment kierujący.

Dla niewielkich wartości kąta α:

Wtedy:

Wówczas wzór na okres drgań wahadła fizycznego ma postać:

Wzór na okres wahadła fizycznego wyrażany w [s].

4

---