liczby zespolone: a ∙ e j∙b = a∙(cosb + j ∙ sinb) systemy czasu dyskretnego: nie posiadające pamięci: wyjście w każdym punkcie y[n] zależy tylko od wejścia x[n]; liniowe: spełniają zasadę superpozycji T{ax1[n]+bx2[n]}=aT{x1[n]}+bT{x2[n]}, gdy a=b=1 to addytywność, gdy b=0 to homogeniczność; nieliniowe: wystarczy jedno n nie będące addytywne lub homogeniczne; kumulujące: y[n]=∑(k=-∞,n)x[k], (może być liniowy); przyczynowe: opóźnienie (przesunięcie) jest takie samo na wejściu jak i na wyjściu x1[n]=x[n-n0] => y1[n]=y[n-n0]; kompresujące: y[n]=x[Mn], M>0, wyjście zawiera, co M-te wejście, nie jest niezmienny w czasie; stabilny; w sensie ograniczonego we-wy (BIBO) jest w.i.t.w.g każde ograniczone wejście daje ograniczone wyjście, |x[n]|≤B<∞; wyznaczenie wyjścia dla danego wejścia i odp impulsowej (LTI): wyjście to superpozycja odpowiedzi na pojedyncze impulsy; y[n]=T{x[n]}=T{∑x[k]δ[n-k]}=∑x[k]∙hk[n]= ∑x[k]∙h[n-k] - splot dyskretny; właściwości LTI: przemienność: x[n]*h[n]=h[n]*x[n]; rozdzielczość dodawania względem splotu: x[n]*(h1[n]+h2[n])=x[n]* h1[n]+x[n]* h2[n]; połączenie szeregowe: mnożenie; równoległe: dodawanie; stabilność: LTI jest stabilny S=∑|h[k]|<∞ - każde ogr pobudzenie powoduje ogr odpowiedź (war. konieczny i wystarczający); |x(n)|<M => |y(n)|=| ∑h(k)∙x(n-k)| ≤ ∑|h(k)|∙|x(n-k)| < M∙∑|h(k)| < ∞; dow. war. wystarczającego: trzeba pokazać, że dla S=∞ ogr wejście powoduje nieogr odp x[n]={ h*[-n] / |h[n]|, h[n]≠0 lub 0, h[n]=0 wtedy y[0]=∑x[-k]∙h[k]=∑ |h[k]|2 / |h[k] = S więc możliwe jest aby ogr wygnał wejściowy dawał na wyj sygnał nieogr przyczynowość: x1(n)=x2(n), n<n0 => y1(n)<y2(n), n<n0 charakterystyka częstotliwościowa: jeśli wejście: x[n]=ejωn to odp układu y[n]= ejωn∙∑h[k]∙ejωk a ch-ka f H(ejω)=∑h[k]∙e-jωk rozwinięcie w szereg Fouriera: Jeśli szereg a0/2 + (a1cosx+b1sinx) + (a2cos2x+b2sin2x) + … jest jednostajnie zbieżny to jest szeregiem Fouriera a jego współczynniki określone są wzorami: ak=1/π ∫(-π,π) f(x)coskxdx, bk=1/π ∫(-π,π) f(x)sinkxdx; jeśli funkcja jest parzysta to bk=0 i ak=2/π ∫(0,π) f(x)coskxdx; jeśli funkcja jest nieparzysta (symetryczna wzgl pocz ukł współ) to ak=0 i bk=2/π ∫(0,π) f(x)sinkxdx transformata Fouriera: prosta: X(jω)=∫x(t)e-jω dt odwrotna: x(t)=1/2π ∫X(jω)ejωdω warunki istnienia: x(t) musi spełniać warunki Dirichleta: ∫|x(t)|dt<∞; x(t) posiada skończone wartości minimów i maximów w każdym skończonym przedziale; posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości w każdym skończonym przedziale; właściwości tr Fouriera: liniowość: ax(t)+by(t)=aX(jω)+bY(jω) - wynika z linowości całkowania; symetria: X(jt)2πx(-ω) D: t→Ω, F(X(jt))=∫X(jt)e-jωndt=2π(1/2π ∫X(jΩ)ejΩ(-ω)dΩ)=2π∙(-ω) skalowanie: x(at)1/a X(ω/a) D: τ=at => dτ=dt/a, F(x(at))=∫x(at)e-jωdt = 1/a ∫x(τ)e-jωτ/adτ=1/a X(ω/a) przesunięcie w dziedzinie czasu: x(t-t0)e-jωX(jω) D: F(x(t-t0))=∫x(t-t0)e-jωdt=∫x(τ)e-jω(τ+t0)dτ=e-jωt0∫x(τ)e-jωτdτ=e-jω0X(jω)=|X(jω)|e^(j∙{arg[X(jω)]-ωt0} przesunięcie w dziedzinie częstotliwości: e±jωt0x(t)X(j(ω±ω0)) D: F(e±jωt0x(t))=∫[ e±jω0tx(t)]e-jωdt=∫x(t)e-j(ω±ω0)dt= X(j(ω±ω0)) modulacja rzeczywista: x(t)cos(ω0t)½[X(ω-ω0)+X(ω+ω0)], x(t)sin(ω0t)-j/2[X(ω-ω0)-X(ω+ω0)] D: wynika ze wzorów Eulera, liniowości całkowania i modulacji zespolonej iloczyn sygnałów: z(t)=x(t)y(t) Z(jω)=1/2π ∫X(jv)Y(j(ω-v))dv=X(jω)○Y(jω) splot sygnałów: z(t)= x(t)○y(t)=∫x(τ)y(t-τ)dτ Z(jω)= X(jω)Y(jω) pochodna sygnału: dnx(t)/dtn (jω)nX(jω) całka sygnału: ∫(-∞,τ) x(τ)dτ 1/jω X(jω)+πX(0)δ(ω) korelacja sygnau: z(t)=∫x(τ)y*(t-τ)dτZ(jω)=X(jω)Y*(jω) równość Parservala: ∫|x(t)|2dt=1/2π ∫(X(jω)|2dω D: ∫|x(t)|2dt=∫x(t)x*(t)dt=∫(1/2π ∫X(jω)ejωdω)x*(t)=1/2π ∫X(jω) (∫x*(t)ejωdt)dω=1/2π ∫X(jω)X*(jω)dω=1/2π ∫(X(jω)|2dω parametry okien czasowych: względny poziom tłumienia największego listka bocznego - różnica pomiędzy max poziomem listka głównego i listka bocznego; szerokość listka głównego - różnica f pomiędzy max listka głównego i pierwszym minimum widma; okna nieparametryczne: prostokątne: w(n)=1, dla n=0..N-1, widmo sin(x)/x trójkątne bartletta: w(n)={2n / N-1 gdy 0≤n≤ (N-1)/2 lub 2-(2n/ N-1) gdy (N-1)/2≤n≤N-1) kosinusowe: w(n)=a0-a1cos(2πn/N-1)+a2cos(4πn/N-1)-a3cos(6πn/N-1), dla L=3 hamminga:a0=0,42 a1=0,46 parametryczne: poisonna: w(n)=exp(-2a∙|n|/N),0 |n| N/2 próbkowanie sygnałów: przekształca sygnał o ciągłym czasie na sygnał o czasie dyskretnym; np. próbkowanie równomierne sygnału x(t) to mnożenie go przez szereg impulsów diraca xδ(t)=x(t)∙∑δ(t-kT); iloczyn w dziedzinie czasu splot w dzie f; tw: Shannona-Kotelnikowa: Jeśli fmax jest max f sygnału analogowego x(t) to aby odtworzyć z sygnału spróbkowanego sygnał oryginalny f próbkowania fp musi być co najmniej 2 razy większa od fmax fp≥2fmax aliasing: weźmy sygnał x(t)=(2πf0t); próbkujemy z fs , otrzymamy zbiór wartości dyskretnych w chwilach ts=1/fs, czyli x[n]=sin(2πf0∙n∙1/fs)= sin(2π(f0+k∙fs)∙n∙ts) wynika z tego że ciąg próbek reprezentuje nie jedną ciągłą sinusoidę o f f0 ale przebiegi o f równych sumie f przebiegu podstawowego oraz wielokrotności f próbkowania. Po próbkach w czasie dyskretnym nie rozróżnimy f przebiegu. Wynika stąd, że widmo dowolnego spróbkowanego sygnału ciągłego będzie zawierało okresowa powielenia jego widma. Np. gdy sygnał będzie się skandal z dwu sinusoid o f f0 i f0+kfs wtedy nie będzie możliwe jednoznaczne odróżnienie tych przebiegów i efekt ten to aliasing; likwiduje się za pomocą fdp próbkowanie pasmowe: stosujemy, jeśli sygnał jest skupiony wokół pewnej f nośnej fc a szerokości sygnału jest ograniczona - szerokość spektralna wynosi B wtedy (2fc-B)/m≥fs≥(2fc+B)/(m+1) a m - liczba naturalna - zapewnia, że fs≥2B; w wyniku takiego próbkowania czasem jest odwrócone widmo względem zera częstotliwości transformata Z: X(z)=Z(x[n])=∑x[n]∙z-n ; (dft) przekształcenie Fouriera ciągu x[n] X(ejω)=∑x[n]e-jnω ; jednostronne przekształcenie Z: X(z)=∑(n=0,∞)x[n]z-n ; jeśli z=rejω to X(rejω)=∑x[n](rejω)-n=∑x[n]r-ne-jωn obszar zbieżności: zbiór takich z, że dla danego ciągu x[n] transformata Z jest zbieżna, warunek zbieżności: ∑|x[n]|∙r-n<∞; o.z. to pierścień na płaszczyźnie zespolonej; Z wyrażona za pomocą funkcji wymiernej-transmitancja: D(z)=Z[d(n)]=Y(z)/X(z)=a0+a1z-1+a2z-2+…+ aNz-N / b0+b1z-1+b2z-2+…+ bMz-M ; γl - pierwiastki licznika l=1..N - zera transmitancji; λl - pier mianownika l=1..M - bieguny trans; własności tr Z: liniowość: ax1[n]+bx2[n]↔ aX1[n]+bX2[n] przesunięcie w czasie: x[n-n0]↔z-n0X1[z], jeśli y[n]=x[n-n0] to Y(z)=∑x[n-n0]z-n, niech m=n-n0 to Y(z)=∑x[m]z-(m+n0)=z-n0∑x[m]z-m=z-n0X(z); mnożenie przez szereg wykładniczy: z0n∙x[n]↔X1[z/z0]; Z(z0n∙x[n]↔X1[z/z0])=∑x[n]z-nz0n=∑x[n](z/z0)-n różniczkowanie X(z): nx[n]↔-z d(X(z))/dz; -z d(X(z))/dz=-z∑(-n)x[n]z-n-1=∑nx[n]z-n=Z(nx[n]) sprzężenie szeregu zespolonego: x*[n]↔X*[z*] odwrócenie czasu: x*[-n]↔X*[1/z*] splot ciągów: x1[n]*x2[n]↔X1[z]∙X2[z] odwrotna transformata Z: x[n]=1/2πj ∫X(z)∙zn-1 dz; twierdzenie całkowe Cauche'go: 1/2πj ∫X(z)∙zn-1dz={1, n=0 lub 0, n≠0; obliczanie ze wzoru: X(z)=∑bnz-n dyskretna transformata Fouriera: prosta: X(k)=∑(n=0,N-1) x(n)e-j(2π/N)kn ; odwrotna: x(n)=1/N ∑(k=0,N-1) X(k) ej(2π/N)kn własności dft: liniowość: ∑(n=0,N-1) [ax(n)+ay(n)]e^(-j(2πk/N)n) = a∑(n=0,N-1) x(n) e^(-j(2πk/N)n)+b∑(n=0,N-1) y(n) e^(-j(2πk/N)n)=aX(k)+bY(k) niewrażliwość modułu transformaty na przesunięcie: ∑(n=0,N-1) x(n-n0) e^(-j(2πk/N)n) = ∑(n=0,N-1) x(m) e^(-j(2πk/N)(m+n0) = X(k) e^(-j(2πk/N)(m+n0) splot sygnałów dyskretnych: z(l)=1/N ∑(n=0,N-1) x(n) ∑(m=0,N-1)y(m) [ ∑(k=0,N-1) e^(j(2πk/N)(l-m-n)) ] = 1/N ∑x(n)y(n-1)N = ∑(n=0,N-1)x(n)y(n-l) iloczyn sygnałów dyskretnych: z(n)=x(n)y(n) => Z(k)=1/N ∑(p=0,N-1) X(p)Y(k-p) dft sygnału rzeczywistego: X(N/2 + k) = ∑(n=0,N-1) x(n)(-1)n e^(-j2πkn/N) ; X(N/2 - k) = ∑(n=0,N-1) x(n)(-1)n e^(j2πkn/N) część rzeczywista widma jest symetryczna a urojona asymetryczna; użyteczna informacja zawarta jest tylko w N/2 + 1 prążkach filtr cyfrowy: algorytm przekształcający sygnał wejściowy x[n] na wyjściowy y[n] który posiada założone właściwości transmitancja filtru: H(z)=Y(z)/X(z)=∑(l=0,N)blz-l / 1+∑(k=l,M)akz-k filtry rekursywne: przynajmniej jeden ze współczynników ak mianownika transmitancji jest rózny 0; sygnał wyjściowy filtru IIR zależy od próbek sygnału wejściowego i poprzednich wartości sygnału wejściowego; odp impulsowa jest nieskończona w czasie; przyczynowy filtr NOI jest stabilny bo bieguny jego transmitancji leżą wewnątrz okręgu jednostkowego; filtry nierekursywne: wszystkie współczynniki mianownika ak=0; sygnał wyjściowy zależy tylko od wejścia; odp impulsowa zawsze skończona w czasie; FIR zawsze stabilne; nie każdy SOI jest nierekursywny; realizacja filtru: za pomocą równania różnicowego; struktury IIR: postać bezpośrednia typu I: y[n]=∑(l=0,N)blx[n-l]-∑(k=0,M)aky[n-k] postać bezpoś typu II: struktura kanoniczna, potrzeba minimalną liczbę układów opóźniających, sumatorów i układów mnożących transponowanie grafu: jeśli zmienimy wejście z wyjściem to zmieniają się kierunki wszystkich gałęzi grafu ale transmitancja pozostaje bez zmian; struktura kaskadowa i równoległa struktury FIR: transmitancja: H(z)=∑(i=0,N-1)biz-i struktura bezpośrednia: y(n)=∑(i=0,N-1) h(i)x(n-i) struktura kaskadowa: H(z)=∏(k=1,K) (β0k+β0kz-1+β2kz-2) projektowanie FIR: metoda okien: wybieramy f graniczne, wyznaczamy odp imp, wyznaczamy nieskończoną odp imp z dyskretnym oknem czasowym, sprawdzamy uzyskaną odp f filtru i ewentualnie powtarzamy krok poprzedni optymalizacja średniokwadratowa: szukamy wag filtru którymi są współczynniki odp imp aproksymacja Czebyszewa: aproksymacja ch-ki amplitudowej próbkowanie w dziedzinie f: ustalamy punkty odp f w żądanych częstotliwościach i obliczenie odp imp przez dft projektowani IIR: transformata Z: dobieramy zera i bieguny transm filtru przez przemieszczanie ich na płaszczyźnie z niezmienność odp i impulsowej: próbkujemy odp imp filtru analogowego z okresem T transformacja bilingowa: projektujemy analogowy prototyp filtru i transformujemy dziedzinę analogową przekształcenia Laplace'a (s) na cyfrową dziedzinę trans Z (z)