Przyk�ady zastosowa� modeli decyzyjnych w dzia�alnoœci przedsi�biorstwa

• Modele decyzyjne w przygotowaniu dzia�alnoœci przedsi�biorstwa

• strategia wyboru produktu (co wytwarza�)

• strategia wyboru technologii (ile produkowa�)

• strategia wyboru miejsca lokalizacji (gdzie wytwarza�)

• strategia rozmieszczenia obiekt�w

• strategia organizacji zaopatrzenia (niezb�dne czynniki produkcji i ich iloœ�)

• strategia wykorzystania czynnika ludzkiego

Modele decyzyjne w planowaniu dzia�alnoœci produkcyjnej przedsi�biorstwa:

• problem przydzia�u zada� w czasie

• problem harmonogramowania zada� na urz�dzeniach

• problem planowania i kontroli przedsi�wzi�� z�o�onych z wielu zada� elementarnych

• Modele decyzyjne w planowaniu dzia�alnoœci marketingowej

• Modele decyzyjne w planowaniu dzia�alnoœci finansowej przedsi�biorstwa

Cechy metody bada� operacyjnych

• ukierunkowanie na podejmowanie decyzji

• interdyscyplinarny charakter bada� operacyjnych - koniecznoœ� tworzenia zespo��w specjalist�w z wielu dziedzin w celu formu�owania i rozwi�zywania modeli bada� operacyjnych

• podejmowanie decyzji na podstawie modelu analizowanych system�w, a nie bezpoœrednio na podstawie analizy system�w

• koniecznoœ� budowy modelu decyzyjnego i eksperymentowanie na nim wed�ug okreœlonych regu�

• lepsze poznanie procesu decyzyjnego i jego specyfiki dzi�ki metodzie budowy modelu decyzyjnego

• koniecznoœ� wykorzystywania techniki komputerowej

Etapy procedury rozwi�zuj�cej problemy decyzyjne za pomoc� bada� operacyjnych

• rozpoznanie sytuacji decyzyjnej i wynikaj�cego z niej problemu decyzyjnego

• budowa modelu decyzyjnego

• rozwi�zanie modelu decyzyjnego

• ocena poprawnoœci i weryfikacja modelu

• przygotowaniu decyzji i opracowanie systemu kontroli realizacji

Rodzaje modeli decyzyjnych

• model konceptualny

• model formalny (matematyczny)

• model optymalizacyjny

• model komputerowy

Klasyfikacja modeli decyzyjnych

• wed�ug liczby kryteri�w (jednokryteriowe, wielokryteriowe)

• wed�ug postaci funkcji celu i ogranicze� (liniowe, nieliniowe)

• wed�ug postaci zmiennych decyzyjnych (ci�g�e, dyskretne)

• wed�ug charakteru parametr�w modelu (deterministyczne, stochastyczne)

• wed�ug liczby etap�w opisu procesu decyzyjnego

Dzia�y bada� operacyjnych

• programowanie liniowe, optymalizacja dyskretna

• zagadnienie transportowe

• programowanie wielokryterialne

• programowanie dynamiczne

• teoria graf�w i sieci

• teoria gier strategicznych

• teoria masowej obs�ugi

• modele decyzyjne gospodarki zapasami

Uk�ad wektor�w liniowo niezale�nych, liniowo zale�nych

• uk�ad wektor�w jest liniowo zale�ny, je�eli chocia� jeden z nich jest kombinacj� pozosta�ych

• w uk�adzie wektor�w niezale�nych �adnego z tych wektor�w nie mo�na przedstawi� jako kombinacji liniowej pozosta�ych

Czy wektory jednostkowe tworz� uk�ad wektor�w liniowo zale�ny, czy liniowo niezale�ny?

Wektory jednostkowe w przestrzeni Rⁿ stanowi� uk�ad liniowo niezale�ny

Liczba wektor�w liniowo niezale�nych w przestrzeni n-wymiarowej

Maksymalna liczba liniowo niezale�nych wektor�w w przestrzeni Rⁿ wynosi n.

Baza zbioru, licznoœ� wektor�w liniowo niezale�nych, tworz�cych baz�.

• baz� zbioru S nazywamy liniowo niezale�ny uk�ad wektor�w b₁..b_k nale��cych do S, rozpinaj�cy zbi�r S

• liczba wektor�w stanowi�cych baz� zbioru S jest r�wna maksymalnej liczbie wektor�w liniowo niezale�nych nale��cych do S.

Czy dowolny element zbioru mo�na przedstawi� w spos�b jednoznaczny jako kombinacj� liniow� wektor�w bazowych tego zbioru?

Dla ustalonej bazy B zbioru S dowolny element a nale��cy do S mo�na przedstawi� w spos�b jednoznaczny jako kombinacj� liniow� wektor�w bazy.

Rozwi�zanie bazowe uk�adu r�wna�

• rozwi�zaniem bazowym uk�adu r�wna� nazywamy takie rozwi�zanie x(B) nale��ce do Rⁿ w kt�rym wszystkie zmienne niebazowe s� r�wne zeru (xR=0)

Wartoœci zmiennych niebazowych w rozwi�zaniu bazowym

• jw. = 0

Rozwi�zanie bazowe zdegenerowane

• rozwi�zanie bazowe nazywamy zdegenerowanym, je�eli chocia� jedna ze sk�adowych cz�œci bazowej (tzn. x_B) jest r�wna 0

Maksymalna liczba rozwi�za� bazowych uk�adu r�wna� o macierzy m x n.

• maksymalna liczba rozwi�za� bazowych uk�adu Ax = b, w kt�rym A jest typu mx n, r (A) =m, m<=n, wynosi
  

• m r�wna�, n niewiadomych

Posta� klasyczna zadania programowania liniowego

• posta� f-ji celu:
  

• warunki ograniczaj�ce:
  

• gdzie:

• (x₁, x₂...x_n) nale��ce do Rⁿ - wektor zmiennych decyzyjnych

• z nale��ce do R - wartoœ� f-ji celu

• (c₁...c_n) nale��ce do Rⁿ - wektor koszt�w (cen jednostkowych) ?????????????

• A = |a_ij| macierz wsp�czynnik�w nak�ad�w

• B = |b_i| wektor ogranicze� nak�ad�w

Posta� standardowa zdania programowania liniowego

• posta� f-ji celu:
  

• warunki ograniczaj�ce:
  

• gdzie:

• (x₁, x₂...x_n) nale��ce do Rⁿ - wektor zmiennych decyzyjnych

• z nale��ce do R - wartoœ� f-ji celu

• (c₁...c_n) nale��ce do Rⁿ - wektor koszt�w (cen jednostkowych) ??????

• A = |a_ij| macierz wsp�czynnik�w nak�ad�w

• B = |b_i| wektor ogranicze� nak�ad�w

Rozwi�zanie dopuszczalne zadania programowania liniowego

• dowolny wektor spe�niaj�cy warunki ograniczaj�ce

Rozwi�zanie bazowe zadania programowania liniowego

• jw. - wszystkie zmienne niebazowe = 0

• jeœli dla ka�dego
  , to takie rozwi�zanie nazywamy optymalnym

20. Rozwi�zanie optymalne zadania programowania liniowego

• dla dowolnego rozwi�zania dopuszczalnego x_o jeœli x<>x₀ f(x)<=f(x₀) ???????????

• ich iloœ� mo�e by� >1, mo�e ich nie by� w og�le (nieograniczona wartoœ� f-cji celu)

Kiedy zadanie programowania liniowego nazywamy sprzecznym

• kiedy zadanie nie ma rozwi�za� dopuszczalnych (metoda simpleks: w rozwi�zaniu optymalnym wyst�puj� niezerowe zmienne sztuczne)

Liczba zmiennych bazowych rozwi�zania bazowego dopuszczalnego zadania programowania liniowego

• il. warunk�w ograniczaj�cych?

Zbiory wypuk�e, wierzcho�ki zbioru wypuk�ego

• zbi�r C nale��cy do Rⁿ nazywamy wypuk�ym, je�eli dla dowolnych x₁,x₂ nale��cych do C oraz dla dowolnego 0<=�<=1 zachodzi: (� *x₁ + (1 - �)*x₂) nale�y do C.

Wierzcho�kiem zbioru wypuk�ego nazywamy p-t, dla kt�rego nie istniej� dwa r�ne p-ty x₁<> x₂<>x, �e x=ax₁+(1-a)x₂

Jaki zbi�r w przestrzeni (interpretacja geometryczna) tworzy zbi�r rozwi�za� dopuszczalnych zadania programowego liniowego?

• figura geometryczne zawarta mi�dzy wykresami funkcji ograniczaj�cych - mo�e by� zbiorem pustym lub by� nieograniczona ZBI�R WYPUK�Y

Gdzie w zbiorze rozwi�za� dopuszczalnych zadania programowania liniowego znajduj� si� rozwi�zania bazowe dopuszczalne?

• Jest punktem wierzcho�kowym zbioru rozwi�za� dopuszczalnych.

Gdzie w przestrzeni nale�y poszukiwa� rozwi�zania optymalnego zadania programowania liniowego?

• Rozwi�za� optymalnych zadania programowania liniowego nale�y szuka� wœr�d dopuszczalnych rozwi�za� bazowych uk�adu ogranicze�. (w wierzcho�kach zbioru rozwi�za� dopuszczalnych)

Liczba rozwi�za� optymalnych zadania programowania liniowego.

• zero - zadanie sprzeczne

• 1

• wiele

• brak sko�czonego rozwi�zania optymalnego

Zmienne os�abiaj�ce w zadaniach programowania liniowego

• Zmienne os�abiaj�ce (bilansuj�ce) s�u�� do usuni�cia nier�wnoœci < (dodanie zmiennej) lub > (odj�cie zmiennej) w ograniczeniach ZPL (podczas doprowadzania do postaci standardowej)

• posta� standardow� uzyskuje si� poprzez wprowadzenie zmiennych os�abiaj�cych (wektora zmiennych dodatkowych)

• Ax+x^d=b, b>=0

• X>=0, x^d>=0

Wtedy pocz�tkowym rozwi�zaniem bazowym jest: x=0, x^d=b ???????????????????????????????

Zmienne sztucznej bazy w zadaniach programowania liniowego

• s� to sztuczne wektory jednostkowe, dodawane, gdy nie mamy wystarczaj�cej iloœci wektor�w, mog�cych by� bazowymi (rozwi�zaniem dopuszczalnym jest rozwi�zanie, kt�rym nie wst�puj� niezerowe zmienne sztuczne)

Przyczyny i konsekwencje wprowadzania zmiennych os�abiaj�cych i zmiennych sztucznej bazy do warunk�w ograniczaj�cych zadania programowania liniowego

• os�abiaj�ce: wprowadzane, gdy warunki ogr. s� wyra�one w postaci nier�wnoœci

• sztuczna baza: wprowadzane. Gdy po uzyskaniu postaci standardowej nie mamy podmacierzy jednostkowej m-tego stopnia

• konsekwencje: modyfikacja f-ji celu tylko w przypadku zmiennych sztucznej bazy

Idea algorytmu simplex

• metoda simpleks po znalezieniu pocz�tkowego rozwi�zania bazowego dopuszczalnego wyznacza nast�pne (s�siednie) dopuszczalne rozwi�zania bazowe zale�ne od poprzedniego, polepszaj�ce wartoœ� funkcji celu. Przez s�siednie rozwi�zanie bazowe przyjmuje si� rozwi�zanie r�ni�ce si� od niego tylko jedn� zmienn� bazow�. (przeskakiwanie do s�siedniego wierzcho�ka zbioru)

Wyznaczanie pocz�tkowego rozwi�zania bazowego dopuszczalnego zadania programowania liniowego

• sprowadzenie zadania do postaci standardowej

• wyodr�bnienie lub stworzenie podmacierzy jednostkowej (wprowadzenie wektor�w sztucznej bazy)

Interpretacja element�w wektora wskaŸnik�w optymalnoœci w tablicy simpleksowej

• wskaŸniki optymalnoœci informuj� nas:

czy dane rozwi�zanie jest rozwi�zaniem optymalnym

czy wprowadzenie danej zmiennej do bazy zwi�kszy czy zmniejszy wartoœ� f-cji celu

Wyznaczanie elementu centralnego w tablicy simpleksowej

• obliczenie wskaŸnik�w optymalnoœci

• sprawdzenie, czy dane rozwi�zanie nie jest rozwi�zaniem optymalnym

• wybranie wskaŸnika optymalnoœci o najwy�szej wartoœci. Element centralny znajduje si� w kolumnie nad tym wskaŸnikiem. Sprawdzenie, czy nie mamy do czynienia z funkcj� celu o nieograniczonej wartoœci

• kontrola, czy wszystkie elementy w wybranej kolumnie nie s� <=0

• obliczenie ilorazu element�w x_b / x, wyb�r najmniejszego dodatniego ilorazu. EC znajduje si� w tym wierszu

Kiedy aktualne dopuszczalne rozwi�zanie bazowe zadania programowania linowego jest rozwi�zaniem optymalnym (opisz etap algorytmu simpleks)

• wtedy, kiedy wskaŸniki optymalnoœci s� <=0

Kiedy zadanie programowania liniowego nie ma sko�czonego rozwi�zania optymalnego (opisz etap algorytmu simpleks)

• je�eli istnieje j takie, �e z_j-c_j>0 przy kt�rym a_ij<=0 dla wszystkich i nale��ce do B to zadanie nie ma sko�czonego rozwi�zania optymalnego

Zadanie pierwotne, a zadanie poszerzone w metodzie simpleks

• funkcj� celu modyfikujemy o wsp�czynniki M przy dodatkowych wektorach sztucznej bazy

• modyfikujemy ograniczenia o wektory sztucznej bazy i os�abiaj�ce

• dodajemy kolejny wiersz w tabeli simpleksowej, obrazuj�cy iloœ� wsp�czynnik�w M w danej kolumnie K

Wyznaczanie rozwi�zania optymalnego zadania pierwotnego na podstawie rozwi�zania optymalnego zadania poszerzonego

• gdy wœr�d zmiennych bazowych do rozwi�zania optymalnego wyst�puj� niezerowe zmienne sztuczne - zadanie wyjœciowe jest sprzeczne

• gdy wœr�d zmiennych bazowych do rozwi�zania optymalnego wyst�puj�c zerowe zmienne sztuczne - odrzucamy je i otrzymujemy rozwi�zanie pierwotne

• gdy wœr�d zmiennych losowych nie ma zmiennych sztucznych - mamy rozwi�zanie optymalne zadania wyjœciowego

Post�powanie w przypadku degeneracji rozwi�zania zadania programowania liniowego - metoda perturbacji

• wyst�puje niezwykle rzadko w rzeczywistoœci

• degeneracja mo�e prowadzi� do cyklicznoœci

• Jeœli zachodzi alternatywa wyboru nr-u wiersza zmiennej do usuni�cia, to obliczamy ilorazy dla pozosta�ych wierszy, poczynaj�c od 1 szukamy iloraz�w x_i/x_k o najmniejszej nieujemnej wartoœci. Jeœli znaleŸliœmy, to t� zmienn� usuwamy z bazy, jeœli nie, to liczymy tak a� do ko�ca tablicy sympleksowej i za�amujemy si�, bo wtedy nie wiemy, kt�r� zmienn� wprowadzi� do bazy.

• Istnieje jeszcze kilka innych metod post�powania w przypadku degeneracji

Symetryczne / niesymetryczne pierwotne / dualne zadania programowania liniowego

• niesymetryczne zadanie dualne

• zadanie pierwotne: min f(x)=c^T X, AX=b, X>=0

• zadanie dualne: max g(w)=b^T X, A^T W <=c, brak wymaga�, aby w_i>=0

• symetryczne zadanie dualne

• zadanie pierwotne: min f(x)=c^T X, AX>=b. X>=0

• zadanie dualne: max g(w)=b^T X, A^T W<=c, W>=0

Posta� og�lna zagadnienia transportowego

Niech x_ij (i=1..m, j=1..n) oznacza wielkoœ� przewozu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy

Sformu�owane zadanie mo�na zapisa� w nast�puj�cej postaci:

Posta� funkcji celu

Warunki ograniczaj�ce:

(warunki bilansowe dostawc�w): „suma od j=1..n” xij<=ai, i=1..m

(warunki bilansowe odbiorc�w) „suma od i=1 do m” xij=bj j=1..n

xij>=0, i=1..m, j=1.n

gdzie:

X - macierz zmiennych decyzyjnych

z - wartoœ� f-ji celu

C - macierz koszt�w

a - wektor dostawy

b - wektor odbioru

Interpretacja warunk�w ograniczaj�cych zagadnienia transportowego

suma towar�w wysy�anych do odbiorc�w musi by� <= zasobom, kt�re posiadaj�

suma towar�w przyjmowanych przez odbiorc�w musi by� r�wna zapotrzebowaniu odbiorc�w

Zadanie transportowe zbilansowane, niezbilansowane.

Zadanie zbilansowane:

tj. suma zasob�w towar�w jest r�wna sumie zapotrzebowa�

Zadanie niezbilansowane - sumy te nie s� sobie r�wne

Metody sprowadzania zadania transportowego do postaci zbilansowanej

• wprowadzenie fikcyjnego odbiorcy lub fikcyjnego dostawcy:

• fikcyjny odbiorca ma zapotrzebowanie
  

• fikcyjny dostawca ma zapas
  

Czy zadanie transportowe zawsze posiada rozwi�zanie optymalne?

Tak, jeœli jest to zadanie zbilansowane, a do takiej postaci mo�emy zawsze doprowadzi�.

Czy zadanie transportowe zawsze posiada sko�czone rozwi�zanie optymalne?

Jw - tak, jeœli jest to zadanie zbilansowane, a do takiej postaci mo�emy zawsze doprowadzi�.

Warunki otrzymania rozwi�zania zadania transportowego o wartoœciach ca�kowitych

Jeœli wszystkie a_i i b_j w zadaniu transportowym zbilansowanym s� liczbami ca�kowitymi, to ka�de rozwi�zanie bazowe (tak�e optymalne) jest utworzone z liczb ca�kowitych

Liczba wszystkich zmiennych decyzyjnych w zadaniu transportowym o m dostawcach i n odbiorcach

m*n

Liczba zmiennych bazowych w rozwi�zaniu bazowym zadania transportowego

Z og�lnych w�asnoœci zadania programowania liniowego wynika, �e rozwi�zanie bazowe zadania transportowego sk�ada si� dok�adnie z m+n-1 zmiennych bazowych.

Etapy procedury rozwi�zywania zadania transportowego

• wyznaczanie wst�pnego rozwi�zania bazowego (np. metod� k�ta p�nocno-zachodniego, metod� minimalnego elementu macierzy koszt�w, metod� VAM)

• wyznaczanie rozwi�zania optymalnego (np. metod� potencja��w)

51. � Metody wyznaczania wst�pnego rozwi�zania bazowego zadania transportowego.

- metoda k�ta p�nocno-zachodniego

Wybieramy za ka�dym razem zmienn� bazow�, stoj�c� w rogu p�nocno-zachodnim redukowanej macierzy przewoz�w X. Pierwsz� zmienn� bazow� b�dzie zmienna x₁₁, ostatni� zmienna x_mn

- metoda minimalnego elementu macierzy koszt�w

Jako pierwsz� zmienn� bazow� wybieramy zmienn�, kt�rej odpowiada najmniejszy wsp�czynnik kosztu jednostkowego. Redukujemy zbi�r dostawc�w lub zbi�r odbiorc�w oraz korygujemy zasoby dostawc�w i zapotrzebowania odbiorc�w. Po redukcji ponownie wybieramy zmienn�, kt�rej odpowiada najmniejszy wsp�czynnik kosztu jednostkowego.

- metoda VAM

52. � Post�powanie w przypadku degeneracji rozwi�zania bazowego zadania transportowego.

Je�eli rozwi�zanie zadania transportowego ma mniej ni� M+n-1 zmiennych bazowych (tzw. zdegenerowane rozwi�zanie bazowe, w kt�rym co najmniej jedna zmienna bazowa jest r�wna zeru), nale�y do��czy� brakuj�c� liczb� zmiennych bazowych z wartoœciami zerowymi. Wyboru dokonujemy tak, aby graf rozwi�zania by� grafem sp�jnym i bez cykli.

53. � Interpretacja element�w tablicy wskaŸnik�w optymalnoœci w metodzie potencja��w.

Sprawdzamy, czy macierz wskaŸnik�w optymalnoœci C⁰ >=0. Jeœli tak, rozwi�zanie jest optymalne.

54. � Kryterium stopu w algorytmie rozwi�zywania zadania transportowego metod� potencja��w.

Metoda z wyk�adu: wszystkie wskaŸniki optymalnoœci s� liczbami dodatnimi

Metoda z �wicze�: wszystkie wskaŸniki optymalnoœci s� elementami ujemnymi (jak w metodzie simpleks)

55. � Przyk�ady problem�w decyzyjnych formu�owanych w postaci zadania transportowego.

• zagadnienie transportowo-produkcyjne

• zagadnienie wyboru lokalizacji produkcji

• zagadnienie minimalizacji pustych przebieg�w

56.��� Definicja gry.

Sytuacja decyzyjna mi�dzy stronami graj�cymi o przeciwstawnych interesach, sformalizowan� matematycznie.

57.��� Elementy sk�adowe gry.

• Zbi�r strategii

• zbi�r informacyjny

• regu�y

58.��� Gra o sumie zerowej, gra z natur�.

- gra o sumie zerowej wyst�puje, gdy suma wyp�at wygranych przez wygrywaj�cych r�wna si� sumie strat ponoszonych przez przegrywaj�cych

- gra z natur�: natura jako druga strona nie jest zainteresowana ko�cowym wynikiem gry, a wykonywane przez ni� ruchy maj� charakter losowy

59.��� Gra otwarta, gra zamkni�ta

Gra zamkni�ta jest to gra w kt�rej g�rna wartoœ� gry jest r�wna dolnej wartoœci gry (i r�wna wartoœci gry). Gra otwarta jest to gra w kt�rej wartoœci g�rna i dolna s� r��ne od siebie.

60.��� Co to jest strategia?

- dok�adnie sprecyzowana przed rozpocz�ciem gry regu�a decyzyjna, na podstawie kt�rej gracz podejmuje decyzj� (gracze nie znaj� nawzajem swoich strategii) ???????????????????????????????

61.��� Wartoœ� gry, czy oczekiwana wyp�ata w grze mo�e by� ujemna.

- œrednia kwota na parti�, kt�r� wygra�by w d�ugim okresie czasu jeden z graczy, gdyby obaj stosowali swoje najlepsze strategie

- tak

62.��� Jakie elementy s� konieczne dla istnienia gry ?

- niepewnoœ�

- ryzyko

- konflikt interes�w

63.��� Co to jest gra w postaci ekstensywnej, w postaci normalnej.

- gra w postaci normalnej: proces statyczny, ka�dy gracz dysponuje zbiorem przyporz�dkowanych mu strategii. Obaj gracze dokonuj� jednoczeœnie wyboru po jednej ze swoich strategii, �aden nie zna wyboru strategii swojego przeciwnika. Wyb�r ten jednoznacznie okreœla wynik gry (macierz wyp�at)

- gra w postaci ekstensywnej: wieloetapowy proces prowadzenia gry; ci�g ruch�w wykonywanych na przemian i nie jednoczeœnie (np. gra w szachy) (drzewo decyzyjne)

64.��� Gra sko�czona, gra niesko�czona.

- jeœli gra ma sko�czon� liczb� strategii, to jest to gra sko�czona, w przeciwnym wypadku - niesko�czona

65.��� Kiedy gr� nazywamy strategiczn� ?

Gdy poza ruchami losowymi wyst�puj� œwiadome wybory graczy (zgodne z przyj�t� strategi�) - za [5]

66.��� Strategia mieszana gracza, strategia czysta.

- strategia mieszana - strategia polegaj�ca na tym, �e gracz postanawia w pewnej ustalonej proporcji zastosowa� wiele z dost�pnych sposob�w dzia�ania

- strategia czysta - gracz decyduje si� na tylko jeden okreœlony spos�b dzia�ania podczas gry

67.��� Kiedy gra jest gr� œciœle konkurencyjn� ?

Kiedy wszyscy uczestnicy s� zainteresowani wygran�.

68.��� Podaj przyk�ady gier towarzyskich z kompletn� i niekompletn� informacj�. �

- kompletna: szachy, warcaby

- niekompletna: bryd�, poker

69.��� Kiedy uk�ad n strategii jest w r�wnowadze ?

Gdy w wyniku rozwi�zania gry uzyskaliœmy informacj�, �e optymalnym rozwi�zaniem jest stosowanie przez gracza n strategii z okreœlonym prawdopodobie�stwem

70.��� Co to jest punkt siod�owy gry, kiedy gra posiada punkt siod�owy.

- po�o�enie r�wnowagi, istnienie p-tu siod�owego informuje nas o istnieniu uk�adu strategii czystych w r�wnowadze (graczom najbardziej op�aca si� stosowa� strategie okreœlone nr wiersza i nr kolumny punktu siod�owego)

71.��� Kiedy gr� mo�emy rozwi�za� metod� graficzn� ?

- kiedy jeden z graczy ma tylko 2 strategie. (uk�ad 2xn lub mx2)

72.��� Co zapewnia uczestnikowi strategia maxyminowa ?

- gwarantowan� maksymaln� wartoœ� minimalnej (najmniejszej mo�liwej) wygranej - gracz wygra co najmniej .....jest to najbezpieczniejsza strategia gracza I

73.��� Co zapewnia uczestnikowi strategia minimaxowa ?

- gwarantowan� minimaln� wartoœ� maksymalnej (najwi�kszej mo�liwej) przegranej - gracz przegra co najwy�ej .....jest to najbezpieczniejsza strategia gracza II

74.��� Wymie� znane ci metody znajdowania wartoœci gry.

Wyznaczenie punktu siod�owego, rozwi�zanie uk�ad�w r�wna� w grach 2x2, metoda graficzna, wykorzystanie metod rozwi�zywania ZPL

75.��� Twierdzenie von Neumanna dla gier zamkni�tych.

Ka�da gra dwuosobowa o sumie zero posiada okreœlon� wartoœ�, a dla ka�dego gracza istnieje co najmniej jedna strategia optymalna (mo�e by� to strategia mieszana)

76.��� Dla jakich gier istnieje zawsze uk�ad n strategii w r�wnowadze ?

77.��� Metody wyznaczania strategii optymalnych dla gier dwuosobowych o sumie zerowej.

Metoda szukania punktu siod�owego, metoda dominant, metoda graficzna, metoda programowania liniowego

78.��� Jak nazywamy uk�ad strategii czystych w r�wnowadze ?

- jest to punkt siod�owy

79.��� Na czym polega metoda dominant ?

- usuwanie z macierzy wyp�at kolumn i wierszy reprezentuj�cych strategie zdominowane, gdy� d���cy do osi�gni�cia najwi�kszego zysku gracze nigdy nie zastosuj� tych strategii.

80.��� Co to znaczy dla gracza pierwszego, �e strategia i dominuje strategi� j ?

Strategia i da lepszy wynik, ni� strategia j (graczowi I nie op�aca si� stosowa� strategii j, gdy� strategia i da mu mniejsz� wygran� niezale�nie od zagrania gracza II)

81.��� Co to znaczy dla gracza drugiego, �e strategia i dominuje strategi� j ?

Strategia i da lepszy wynik, ni� strategia j (graczowi II nie op�aca si� stosowa� strategii j, gdy� strategia i da mu wi�ksz� przegran� niezale�nie od zagrania gracza I)

---