1. Testy:

1. T - Studenta:

odrzucam
na korzyść hipotezy alternatywnej, parametr strukturalny istotnie wpływa na zmienną objaśnioną y.

brak podstaw do odrzucenia
, możemy sądzić, że parametr strukturalny nieistotnie wpływa na zmienną objaśnioną y.

2. F - wybór stopnia wielomianu trendu:

brak podstaw do odrzucenia
, nie nastąpił istotny spadek wariancji resztowej - wybieramy trend z niższym stopniem.

odrzucamy
na korzyść hipotezy alternatywnej, nastąpi istotny spadek wariancji resztowej - wybieramy trend z wyższym stopniem.

3. DW:

reszty losowe, brak autokorelacji składnika losowego rz. I

• Gdy
  

reszty nielosowe, występuje autokorelacja składnika losowego rz. I

• Gdy
  , wówczas
  

DW(DW*) > dlu brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej - autokorelacja składnika losowego rz. I nie występuje

DW(DW*) < dl odrzucam hipoteze zerową na korzyść hipotezy alternatywnej - autokorelacja składnika losowego rz. I występuję

dl < DW(DW*) < du test nie rozstrzyga o autokorelacji składnika losowego rz. I

4. Test Quenouille'a:

wspólczynnik autokorelacji rzędu
jest nieistotny statystycznie

współczynnik autokorelacji rzędu
jest istotny statystycznie

, t= 1,2,…q

odrzucam hipotezę zerową na korzyść alternatywnej, współczynnik autokorelacji rzędu
jest istotny statystycznie, występuje autokorelacja co najmniej rzędu
.

brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, współczynnik autokorelacji rzędu
jest nieistotny statystycznie.

5. Ljunga-Boxa:

każdy współczynnik autokorelacji od 1 do rzędu p jest nieistotny statystycznie

przynajmniej jeden współczynnik korelacji rzędu od 1 do p jest statystycznie istotny

p)

Q≥Q* odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej, możemy sadzić, że przynajmniej jeden współczynnik korelacji rzędu od 1 do p jest statystycznie istotny.

Q<Q* brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, możemy sądzić, że każdy współczynnik autokorelacji od 1 do rzędu p jest nieistotny statystycznie.

2. Wnioskowania na podstawie wyników:

1. testu Durbina-h:

2. testu CUSUM:

brak zmian w parametrach, parametry stabilne

zmiany w parametrach, parametry niestabilne

Statystyka testu: Harvey-Collier

brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej - brak zmian w parametrach - parametry stabilne

z empirycznym poziomem błędu p odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej - występują zmiany w parametrach - parametry niestabilne

3. testu normalności rozkładu reszt:

składniki losowy ma rozkład normalny

składnik losowy nie ma rozkładu normalnego

Statystyka testu: Chi-kwadrat

brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej - rozkład reszt posiada cechy rozkładu normalnego

z empirycznym poziomem błędu p odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej - rozkład reszt nie posiada cech rozkładu normalnego

4. testów autokorelacji:

brak autokorelacji składnika losowego

autokorelacji składnika losowego

brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej - brak autokorelacji składnika losowego

z empirycznym poziomem błędu p odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej - autokorelacja składnika losowego występuje.

3. Model trendu:

Zapisanie otrzymanego modelu: P_t =∑α_jt_j

Gdzie:

t- zmienna czasowa przyjmująca wartości t=1,2,...,n,

r- stopień wielomianu trendu,

α_j- parametry modelu trendu.

W zależności od parametru r, hipotezy modelowe przyjmują postaci:

r = 0 Y_t = α₀ + η_t,

r = 1 Y_t = α₀+α₁t + η_t

r = 2 Y_t =α₀+α₁t+α₂t² + η_t

r = 3 Y_t =α₀+α₁t + α₂t² +α₃t³ + η_t

.

.

.

4. Model sezonowości:

Zapisanie otrzymanego modelu: S_t = Σd_kQ_kt

Gdzie:

d_k - parametry modelu sezonowości oznaczające o ile wartość zjawiska odchyla się od poziomu średniego, wyłącznie z tytułu wahań sezonowych,

Σd_k = 0 - co oznacza, że wahania sezonowe w skali roku wznoszą się wzajemnie,

m - liczba podokresów w roku,

Q_kt - zmienna zero-jedynkowa przyjmująca wartość jeden zawsze w okresie gdy (t-k) dzieli się bez reszty przez m i zero w pozostałych okresach,

Q_kt= 1 gdy (t-k) dzieli się przez m bez reszty

0 w pozostałych okresach

Hipoteza modelowa:

Model sezonowości kwartalnej ma następującą postać:

St= d₁Q_1t + d₂Q_2t + d₃Q_3t + d₄Q_4t

Model sezonowości kwartalnej bez stałej:

Yt = d₁Q_1t + d₂Q_2t + d₃Q_3t + d₄Q_4t + η_t

Model sezonowości kwartalnej ze stałą ma następującą postać:

Yt = α₀ + d₁Q_1t + d₂Q_2t + d₃Q_3t + d₄Q_4t + η_t

Model sezonowości kwartalnej ze stałą i trendem liniowym ma postać:

Yt = α₀ + α₁t + d₁Q_1t + d₂Q_2t + d₃Q_3t + d₄Q_4t + η_t

5. Model AR:

Hipoteza modelowa:

Y_t = α₁Y_t-1 + α₂Y_t-2 + α₃Y_t-3 + ... + α_pY_t-p + ξ_t

Zapis otrzymanego modelu:

Y_t = Σα_iY_t-i + ξ_t

Gdzie:

p- rząd autoregresji, czyli maksymalne opóźnienie zmiennej objaśnianej,

α₁,α₂,α₃,...,α_p - parametry modelu autoregresyjnego

ξ_t - proces resztkowy (biały szum)

6. Budowa modelu struktury procesu (hipoteza modelowa, zapisanie otrzymanego modelu),

Eliminacja a posteriori-Metoda selekcji nieistotnych zmiennych typu aposteriori, polega na eliminacji, w pojedynczym kroku jednej najsłabszej zmiennej objaśniającej x i ponowną estymację modelu. Najsłabsza zmienna- wartość statystyki p- największa lub t- najmniejsza.

Jeśli chodzi o konkretny przykład hipotezy i zapisy modelu to w punkcie 7 jest wszystko napisane na konkretnym przykładzie.

7. Procedury budowy modelu zgodnego (kolejne kroki postępowania, hipoteza modelowa, zapisanie modelu końcowego)

Model zgodny

Model zgodny zakłada zgodność harmonicznej struktury procesu objaśnianego z łączną harmoniczną strukturą procesów objaśniających oraz procesu resztowego, który jest niezależny od procesów objaśniających.

Jest to model uwzględniający wewnętrzną strukturę dynamiczną każdego z procesów objaśnianych i objaśniających, przy czym proces resztowy pozostaje białym szumem.

Etapy specyfikacji liniowego modelu zgodnego:

1. Badanie wewnętrznej struktury procesu endogenicznego i procesów egzogenicznych:

- wyodrębnienie trendu,

- wyodrębnienie składnika sezonowego,

- ustalenie rzędów opóźnień poszczególnych procesów (na ogół rzędu autoregresji).

2. Sformułowanie ogólnego modelu zawierającego maksymalny stopień wielomianu trendu

(czyli wybrać trend o największym stopniu, który wyszedł spośród badanych zmiennych), sezonowość oraz maksymalny rząd autoregresji dla każdego procesu.

Hipoteza modelowa: przykład

zmienna	st.w. trendu	sezonowość	autokorelacja	Rząd AR
Y	1	+	TAK	2
X1	1	-	TAK	1
X2	1	-	TAK	1
X3	2	+	TAK	1
X4	1	+	TAK	2

Hipoteza na podstawie tabeli

1. Patrzymy na tabelę- wybieramy największy stopień wielomianu trendu z całej tabeli( w tym wypadku kwadratowy)

2. Sezonowość- jeżeli występuje chociaż raz to ją uwzględniamy

3. Autoregresja- 2 opóźnienia na Y dodajemy zmienną objaśniającą X1 i jej 1 opóźnienie

Hipoteza modelowa:

Y_t= ℒ₀ + ℒ₁t + ℒ₂ t² + d₁Q_{1, t} +…+ d₁₂Q_12,t + ℒ ₃Y_t-1 + ℒ₄Y_t-2 + ℒ ₅X_1,t + ℒ₆X_1,t-1+ ℒ₇X_{2 t} +ℒ₈X_{2, t-1} + ℒ₉ X_{3 t} +ℒ₁₀X_{3, t-1} +ℒ₁₁ X_4,t + ℒ₁₂X_4,t-1 + ℒ₁₃X_4,t-2 + ε_t

3. Oszacowanie postaci pierwotnej modelu zgodnego uwzględniającej wszystkie wyspecyfikowane składniki.

4. Weryfikacja modelu na podstawie badania istotności zmiennych oraz własności reszt.( Jeśli przy któreś z sezonowości są gwiazdki (*,**,***) to jej w ogóle nie ruszamy. Dokonujemy estymacji innych zmiennych po największym p lub najmniejszym t-Studenta.

Model końcowy:

Y_t= a₀ + a₁t + a₂ t² + d ^{^}₁Q*_{1, t} +…+ d^₁₁Q*_11,t + a ₃Y_t-1 + a₅X_1,t +a₈X_{2, t-1} +a₁₀X_{3, t-1} +a₁₂X_4,t-1+ ε_t

W miejsce a wstawić konkretne wartości

Y_t= -60628,6 + -106,723 t + 4,32117 t² + -696,280 Q*_{1, t} +…+ 637,569Q*_11,t -0,705101Y_t-1 + 35,8439 X_1,t + 266,884 X_{2, t-1} + 55,5243X_{3, t-1} + 2,64454X_4,t-1

( nie jestem pewna czy w seznowośći współczynnik wstawia się za d^₁ czy za Q*_1,t)

5. Następnie robimy prognozy , wyznaczamy błędy ex-post, ex- ante.

6. Interpretacja ocen parametrów strukturalnych oraz ocena dopasowania modelu.

8. Model ARMA(p,q) (zapis, identyfikacja):

• Można stosować do modelowania stacjonarnych szeregów czasowych tj. takich, w których występują jedynie wahania losowe wokół średniej lub szeregów niestacjonarnych prowadzących do stacjonarnych.

• W przypadku, gdy rzeczywisty proces charakteryzuje się zmienną w czasie wartością średnią, to należy ją usunąć.

• Eliminacja trendu i sezonowości powinna nastąpić przed różnicowaniem procesu.

• Stosowanie do konstrukcji prognoz modeli ARMA, ARIMA wymaga dysponowania długim szeregiem czasowym (min. 50)

• W modelu w którym nie występuję elementy związane ze średnią ruchomą (q=0) model sprowadza się do AR(p) - który estymuje się za pomocą metody KMNK

• Jeżeli q
  0 estymacja KMNK prowadzi do uzyskania estymatorów asymptotycznie obciążonych - stosujemy tu metodę największej wiarygodności MNW.

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• Funkcja autokorelacji ACF, funkcja autokorelacji cząstkowej PACF , metodologia Boxa Jenkinsa

AR(p) - ACF maleje wykładniczo lub jest sinusoidą tłumioną

- PACF urywa się po odstępie p

MA(q) - ACF urywa się po odstępie q

- PACF maleje wykładniczo lub jest sinusoidą tłumioną

ARMA(p,q) - ACF i PACF łagodnie zanikają

9. Błędy ex ante (dopuszczalność prognozy)

- informują o spodziewanej wielkości odchyleń rzeczywistych wartości zmiennej prognozowanej od prognoz

• Błąd predykcji - błąd bezwzględny

- wariancja predykcji

- błąd średni predykcji

Interpretacja -w okresie prognozowanym rzeczywiste wartości zmiennej prognozowanej będą się różnić od wartości prognoz średnio o +/- V_T

• Względny błąd predykcji

Interpretacja :
- prognoza dopuszczalna (V_g*=5-10%)

Błędy ex post (trafność prognozy)

- informują o rzeczywistej różnicy między rzeczywistymi wartościami zmiennej prognozowanej (realizacje) a prognozami

• Średni błąd predykcji ME - błąd bezwzględny

ME>0 prognozy niedoszacowane

ME<0 prognozy przeszacowane

• Średni absolutny błąd predykcji MAE

• Błąd średniokwadratowy MSE

Wyznaczany i analizowany w celu umożliwienia wstępnej oceny, czy wariancja błędu prognozy jest stała, czy zmienia się w czasie.

• Pierwiastek błędu średniokwadratowego

Interpretacja - rzeczywiste wartości zmiennej prognozowanej w okresie prognozowanym różniły się średnio od wyznaczonych prognoz o RMSE

• 5. Średni błąd procentowy MPE

- prognozy trafne

• 6. Średni absolutny procentowy (względny) błąd prognoz

• Współczynnik Janusowy

,

J=0 rząd dokładności predykcji jest równy rzędowi dokładności modelu w próbie,

J>1 dezaktualizacja modelu

• Współczynnik Theila

,

- w okresie prognozowanym przeciętny względny błąd predykcji wyniósł I

I²=

+
+

S -odchylenie standardowe

r - współczynnik korelacji

- obciążoność predykcji

- niedostateczna elastyczność/wahania

- niedostateczna zgodność

10. Prognoza przedziałowa

- przedział liczbowy, w którym z zadanym prawdopodobieństwem zawiera się nieznana wartość zmiennej objaśnianej Y w okresie T.

Założenie! zmienna prognozowana ma rozkład normalny, z prawdopodobieństwem 1-α można sądzić, że rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej będzie w przedziale:

średni błąd predykcji (miara ex ante)

wartość dystrybuanty rozkładu normalnego odpowiadająca wiarygodności
, odczytujemy ją z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego (dla
).

11. Ocena wartości prognostycznej modelu ekonometrycznego

• Należy zbadać istotność parametrów występujących w modelu za pomocą testu t-Studenta( podpunkt 1). Z wyłączeniem sezonowości przynajmniej jeden parametr musi być istotny.

• Miary dopasowania modelu

a) Wariancja resztowa S²(u) i odchylenie standardowe reszt S(u).

Dla regresji Y względem X wariancję resztową określa wzór

, gdzie

y_i - rzeczywista wartość zmiennej objaśnianej

ŷ_i - wartość teoretyczna zmiennej objaśnianej (na podstawie modelu)

n - liczebność próby

k - liczba szacowanych parametrów modelu

Odchylenie standardowe reszt jest to pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej, S(x)=√S²(x). Odchylenie to informuje, że wartości empiryczne zmiennej objaśnianej y_i różnią się od wartości teoretycznej ŷ_{i ,} otrzymanych na podstawie modelu regresji, średnio o +/- S(x). Odchylenie standardowe reszt jest miarą bezwzględną( absolutną), wyrażoną w takich jednostkach, w jakich jest wyrażona zmienna objaśniająca.

b) Współczynnik zmienności losowej

gdzie:

- średnia arytmetyczna empirycznych wartości zmiennej objaśnianej

Współczynnik ten informuje, jaki procent dniej arytmetycznej zmiennej objaśnianej sanowi odchylenie standardowe reszt. Jeżeli współczynnik zmienności nie przekracza założonej z góry wartości granicznej, V_u ≤ V*, przy czym V* ustala się maksymalnie na poziomie 15%, to odchylenie wartości empirycznych zmiennej objaśnianej od jej wartości teoretycznych można uznać za niewielkie. Świadczy to również o dobrym dopasowaniu modelu do danych empirycznych.

c) współczynnik determinacji:

gdzie:

y_i - rzeczywista wartość zmiennej objaśnianej

ŷ_i - wartość teoretyczna zmiennej objaśnianej (na podstawie modelu)

- średnia arytmetyczna empirycznych wartości zmiennej objaśnianej

Współczynnik determinacji R² informuje o tym jaka część całkowitej zmienności (zmian) zmiennej objaśnianej została wyjaśniona przez oszacowany model regresji ( lub inaczej przez zmiany zmiennej objaśniającej). Jeżeli R² przekracza pewną wielkość graniczną przyjętą z góry, R^2≥ R²_g, przy czym R²_g ustalane jest umownie( np. R²_g=85%), to można uznać, że stopień dopasowania modelu do danych empirycznych jest wysoki.

d) współczynnik zbieżności

Współczynnik zbieżności
informuje o tym, jaka część całkowitej zmienności( zmian) zmiennej objaśnianej nie została wyjaśniona przez zmiany zmiennej objaśniającej występującej w modelu regresji. Im niższa jest wartość
( bliższa zeru), tym dopasowanie modelu do danych empirycznych jest lepsze.

• Własności reszt- testy autokorelacji, test normalność rozkładu reszt ( podpunkt 2)

• Stabilność ocen parametrów- test CUSUM ( podpunkt 2)

12. Założenia predykcji na podstawie modelu ekonometrycznego

Sformułowanie prognozy wymaga wykonania wielu kroków, często specyficznych dla danego zadania, niemniej jednak układający się w pewien ogólny schemat, którego schemat ułatwia i poprawia organizację procesu prognostycznego.

W procesie prognozowania, występuje dwóch partnerów: odbiorca prognozy, czyli: odbiorca prognozy, czyli osoba zlecająca wykonanie prognozy, oraz prognosta, czyli wykonawca prognozy.

Etapy predykcji:

1. Sformułowanie zadania prognostycznego

W tym etapie należy okeślić obiekt, zjawisko, zmienne, które mają podlegać prognozowaniu, cel wyznaczania prognozy, wymagania co do dopuszczalności i horyzontu prognozy.

Główną role odgrywa odbiorca, prognosta jest konsultantem pomagającym w precyzowaniu ustaleń. Predykcja w określeniu zadania prognostycznego jest niezwykle ważna, ponieważ na tym etapie ustala się zakres działań prognosty, a więc praktycznie decyduje się o postaci wyniku, jaki ma być uzyskany.

2. Podanie przesłanek prognostycznych

Sformułowanie przesłanek wymaga współpracy obu partnerów procesu prognozowania, przy czym prognosta odgrywa rolę podstawową, gdyż zdaje odbiorcy pytania o realia zjawiska prognozowanego i konfrontuje z nim swoje opinie, uzyskane w wyniku studiów literaturowych dotyczących teorii i dotychczasowych badań zjawiska, a także opinie z innych źródeł. Efektem tych prac są hipotezy o czynnikach kształtujących zjawisko, deklaracja prognosty co do postawy wobec przyszłości zjawiska oraz określenie zbioru danych potrzebnych do sporządzenia prognozy i zebranie tych danych.

3. Wybór metody prognozowania

Wybór metody prognozowania jest konsekwencją zaakceptowanych przesłanek prognostycznych. Wybór metod zależy również od rodzaju posiadanych danych.

4. Wyznaczenie prognozy

Czynność ta powinna przebiegać zgodnie z ogólnym schematem wybranych metod, a gdy to nie jest możliwe, należy w opisie postępowania ująć wszelkie podjęte decyzje. Samo sformułowanie prognozy powinno odpowiadać określeniu zadania prognostycznego.

5. Ocena dopuszczalności prognozy

Ocena dopuszczalności musi być podana w sposób zgodny z żądaniem odbiorcy w pierwszym etapie.

6. Weryfikacja prognozy

Weryfikacja polega na określeniu trafności prognozy za pomocą któregoś błędu prognozy ex post, gdy prognoza dotyczyła zmiennej ilościowej, lub na porównaniu prognozowanego stanu zmiennej jakościowej ze stanem zweryfikowanym. Gdy prognoza okazała się trafna, prognosta analizuje słuszność swego postępowania. Jeśli nie, to prognosta dąży do określenia przyczyn swego błędu

13. Modele adaptacyjne

• Metoda średniej ruchomej

- wygładzenie szeregu czasowego (metoda mechaniczna) -zastąpienie rzeczywistych wartości szeregu średnimi arytmetycznymi

Założenia :

- poziom wartości zmiennej prognozowanej prawie stały, z niewielkimi odchyleniami losowymi (wahania przypadkowe)

- brak tendencji rozwojowej , wahań sezonowych i cyklicznych

k- stała wygładzania, czyli liczba wyrazów średniej ruchomej (k=10-15 dla danych dziennych, k=3-5 dla miesięcznych)

k=1 - model naiwny, y_Tp = y_t-1

Do wyznaczenia liczby wyrazów średniej ruchomej używa się średni kwadratowy błąd prognozy ex post ( wyraża odchylenia prognoz wygasłych od wartości zmiennej prognozowanej):

, delta = √MSE

n- liczba wyrazów szeregu czasowego zmiennej prognozowanej

Prognozy :

y_Tp =

• Model Browna (prosty model wygładzania wykładniczego)

Założenia :

- prawie stały poziom zmiennej prognozowanej, wahania przypadkowe

Prognozy:

y*_t = αy_t-1 + (1-α)y*_t-1 , gdzie α
(0;1], α- parametr wygładzania

lub y*_t=y*_t-1 + αq_t-1 , gdzie q_t-1=y_t-1-y*_t-1

y*₁=y₁

• Model Holta

Założenia :

- występuje trend i wahania przypadkowe

F_t-1 = αy_t-1 + (1-α)(F_t-2 + T_t-2) ,α,β
[0;1]

T_t-1 = β(F_t-1- F_t-2) + (1-β)T_t-2

F _t-1 = wygładzona wartość zmiennej prognozowanej na okres t-1 ; F₁=y₁

T_t-1 = wygładzona wartość przyrostu trendu na okres t-1 ; T₁= y₂-y₁

Prognoza :

Y*_t = Fn + (t-n)Tn , gdy t>n (gdy wychodzimy poza próbę) ; y*₁=y₁

MIN- średni kwadratowy błąd prognoz wygasłych

• Model Wintersa

Założenia :

- występuje trend, wahania sezonowe i wahania przypadkowe

• Wersja addytywna (amplituda wahań stała, taka sama)

F_t-1 = α(y_t-1 - S_t-1-r) + (1-α)(F_t-2 + T_t-2) , α,β,γ
[0;1]

T_t-1 = β(F_t-1 - F_t-2) + (1-β)T_t-2

S_t-1 = γ(y_t-1 - F_t-1) + (1-γ)S_t-1-r

F- ocena wartości średniej ;F₁=y₁ -średnia z wartości w pierwszym cyklu

T- ocena przyrostu trendu ;T1=y₂-y₁ - różnica średnich wyznaczonych dla drugiego i pierwszego okresu cyklu

S- ocena wskaźnika sezonowości; średnia różnic odpowiadających tej samej fazie cyklu wartości zmiennej prognozowanej i wygładzonych wartości trendu

r- długość cyklu sezonowego (np.dla danych miesięcznych r=12)

Prognoza:

y*_t = Fn+ (t-n)Tn + S_t-r

MIN- średni kwadratowy błąd prognoz wygasłych

• Wersja multiplikatywna (amplituda wahań zmienia się z okresu na okres)

F_t-1 = α
+ (1-α)(F_t-2 + T_t-2)

T_t-1 = β(F_t-1-F_t-2) + (1-β)T_t-2

S_t-1 = γ
+ (1-γ)S_t-1-r

Prognoza:

y*_t = (Fn + (t-n)Tn)S_t-r

MIN- średni kwadratowy błąd prognoz wygasłych

• Model trendu pełzającego

Założenia:

- nieregularne zmiany w trendzie

k - stała wygładzania (k<n ustalana arbitralnie)

Etap I - szacowanie parametrów liniowych trendu

d(t)≤ j ≤ g(t), gdzie

d(t) = {1 t=1,2,…,k

t-k+1 t=k+1,…,n

g(t) = { t t=1,2,…,n-k+1

n-k+1 t=n-k+2,…,n.

Etap II - ustalenie średniej wartości wygładzonych wartości teoretycznych z liniowych modeli trendu

_{t =}

Prognozy :

- przyrosty funkcji trendu
_t+1 =
_t+1 -
_t

- średnia w przyrostów
=
w_t+1

- wagi harmoniczne realizujące postulat powtarzania informacji

=

; t = 1,…, n-1.

Etap III - odchylenie standardowe przyrostów trendu pełzającego

sw = [

)² ]^0,5

Etap IV - ekstrapolacja trendu

y*τ =
_n + (τ - n)

Etap V - przedział prognozy- konstrukcja

P {y*_τ - u_τs_w ≤ y_τ ≤ y*_{τ +} u_τs_w}= p , gdzie u_τ = u
, n< τ ≤ 2n-1.

---