Ostatniej nocy wioskę Smurfów nawiedziła straszna ulewa. Kilku godzinny intensywny opad deszczu spowodował paraliż w wiosce i sprawił, że część wioski zostało kompletnie odcięta od świata. Papa Smurf rozpoczął natychmiastową akcje ratunkową .

Wioska dysponuje tylko dwoma amfibiami - Gimbosmurf i Kangosmurf do przewożenia dobytku smurfów o. Gimbosmurf porusza się z prędkością 6 km/h i spala 8 litrów paliwa na godzinę. Kangosmurf porusz się z prędkością 8 km/h spalając przy tym 12 litrów paliwa na godzinę. Ponadto amfibie te mogą być eksploatowane w określonych przedziałach czasowych. Gimbosmurf w czasie krótszym niż 6 h/dobę a Kangosmurf nie dłużej niż 8 h/dobę.

Gumisie ruszyli z pomocą i udostępnili wysokiej klasy amfibie o dużej mocy do ratowania dobytku Smurfów .W bajce jak i w życiu nic nie ma za darmo i Bunia ustaliła cenę usługi na poziomie 20 i 30 gumijagód za godzinę. Wypożyczone pojazdy mogą poruszać się z prędkością 18 i 20 km/h. Pracując nie więcej niż 18 i 20 h/dobę zużywając 17 i 20 litrów paliwa na godzinę.

Obojętna na sytuację wioski nie pozostała także sąsiadująca z nią Kraina Muminków. Zgodziła się ona udostępnić Wiosce Smurfów swój sprzęt do walki z sytuacjami kryzysowymi po następujących cenach. Za wypożyczenie pierwszej amfibii zgodziła się pobrać odpłatność w wysokości 10 gumijagód za godzinę, za drugą amfibię 15 gumijagód za godzinę. Prędkość poruszania się w przypadku pierwszej amfibii wynosi 10 km/h, natomiast drugiej 14 km/h. Maszyny te zużywają odpowiednio 14 i 15 litrów paliwa na godzinę . Maszyny nie mogą być eksploatowane nie dłużej niż: pierwsza - 10 h/dobę, druga - 14 h/dobę.

Do kosztów wypożyczenia sprzętu Wioska Smurfów będzie musiała doliczyć koszty zakupu paliwa ( 1 litr = 2 gumijagody).

Czy Papa Smurf powinien wypożyczyć dodatkowy sprzęt umożliwiający ewakuację wioski i ratowanie dobytku Smurfów, wiedząc, że dostępne środki nie są wystarczające, aby poradzić sobie z tragiczną sytuacją społeczeństwa, które ucierpiało na skutek tego wydarzenia?. Papa Smurf musi pamiętać także o tym, że w najgorszym wypadku opady mogą spowodować podniesienie się obecnego stanu wody co spowoduje konieczność ewakuacji o kolejne 30 kilometrów. Jaką decyzja powinien podjąć Papa Smurf, aby koszty akcji były jak najmniejsze?

Cel : Wykorzystanie posiadanego sprzętu po jak najniższym koszcie!

A: Ustalenie przeciętnej liczby kilometrów do ewakuacji:

70 = liczba kilometrów ewakuacji

100=liczba kilometrów ewakuacji w wypadku dodatkowych opadów deszczu

B: Obliczenia mające na celu wskazanie kosztu całkowitego przypadającego na ewakuacje km drogi przez poszczególne amfibie.

Tablica 1: Zestawienie danych dotyczących prędkości poszczególne amfibie podczas ewakuacji, zużycia paliwa oraz kosztu wypożyczenia.

Â	PrÄ™dkość w km/h	Zużycie paliwa w l/h	Cena wypożyczenia sprzÄ™tu za godzinÄ™*
A1	6	8	-
A2	8	12	-
A3	10	14	10
A4	14	15	15
A5	18	17	20
A6	20	20	30

*cena najmu nie uwzględnia kosztu paliwa

Tablica 2: Dane dotyczące zużycia paliwa na ewakuacje km drogi poszczególnych amfibii

Â	Zużycie paliwa na ewakuacje km drogi
A1	8/6 = 1,3
A2	12/8 = 1,5
A3	14/10 = 1,4
A4	15/14 = 1,1
A5	17/18 = 0,9
A6	20/20=1,0

Legenda:

A1- amfibia I ( należąca do Wioski Smurfów)

A2 - amfibia II ( należąca do Wioski Smurfów)

A3 - amfibia III ( należąca do Gumisi )

A4 - amfibia IV ( należąca do Gumisi)

A5 - amfibia V ( należąca do Krainy Muminków)

A6 - amfibia VI (należąca do Krainy Muminków)

Tablica 3: Koszt ewakuacji 1 km terenu przez każdą z amfibii

Â	Koszt paliwa km*	Koszt wypożyczenia sprzÄ™tu na km**	Koszt caÅ‚kowity na km
A1	1,3 * 2 = 2,7	-	2,7
A2	1,5 * 2 = 3,0	-	3,0
A3	1,4 * 2 = 2,8	1	3,8
A4	1,1 * 2 = 2,1	1,1	3,2
A5	0,9 * 2 = 1,9	1,1	3,0
A6	1,0 * 2 = 2,0	1,5	3,5

* cena paliwa na km to iloczyn zużycia paliwa na km i ceny paliwa

** cena wypożyczenia sprzętu to iloraz ceny wypożyczenia sprzętu na godzinę

przez prędkość poruszania się amfibii w km/h

C: Przedstawienie postaci funkcji celu i dalsze obliczenia

FC: 2,7x1 + 3,0x2 + 3,8x3 + 3,2x4 + 3,0x5 + 3,5x6 MIN

Zmienne decyzyjne:

X1 - ilość przejechanych km przez amfibię I

X2 - ilość przejechanych km przez amfibię II

X3 - ilość przejechanych km przez amfibię III

X4 - ilość przejechanych km przez amfibię IV

X5 - ilość przejechanych km przez amfibię V

X6 - ilość przejechanych km przez amfibię I

Warunki ograniczajÄ…ce:

1. x1 +x2 +x3 +x4 + x5 + x6 => 70

2. x1 +x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <= 100

3. x1 <= 6

4. x2 <= 8

5. x3 <= 10

6. x4 <= 14

7. x5 <= 18

(8) x6 <= 20

FC	2,7	3	3,8	3,2	3	3,5
zmienne	X1	X2	X3	X4	X5	X6
	6	8	4	14	18	20	224,2
warunki
	1	1	1	1	1	1	70	70
	1	1	1	1	1	1	70	100
	1	0	0	0	0	0	6	6
	0	1	0	0	0	0	8	8
	0	0	1	0	0	0	4	10
	0	0	0	1	0	0	14	14
	0	0	0	0	1	0	18	18
	0	0	0	0	0	1	20	20

RAPORT WYNIKÓW

Komórka celu (Min)
	Komórka	Nazwa	Wartość początkowa	Wartość końcowa
	$H$2	zmienne	0	224,2
Komórki decyzyjne
	Komórka	Nazwa	Wartość początkowa	Wartość końcowa
	$B$2	zmienne	0	6
	$C$2	zmienne	0	8
	$D$2	zmienne	0	4
	$E$2	zmienne	0	14
	$F$2	zmienne	0	18
	$G$2	zmienne	0	20
Warunki ograniczajÄ…ce
	Komórka	Nazwa	Wartość komórki	formuła	Status	Luz
	$H$3	Â	70	$H$3>=$I$3	Wiążące	0
	$H$4	Â	70	$H$4<=$I$4	Nie wiążące	30
	$H$5	Â	6	$H$5<=$I$5	Wiążące	0
	$H$10	Â	20	$H$10<=$I$10	Wiążące	0
	$H$6	Â	8	$H$6<=$I$6	Wiążące	0
	$H$7	Â	4	$H$7<=$I$7	Nie wiążące	6
	$H$8	Â	14	$H$8<=$I$8	Wiążące	0
	$H$9	Â	18	$H$9<=$I$9	Wiążące	0

RAPORT WRAŻLIWOŚCI

Komórki decyzyjne
	Â	Â	Wartość	Przyrost	Współczynnik	Dopuszczalny	Dopuszczalny
	Komórka	Nazwa	końcowa	krańcowy	funkcji celu	wzrost	spadek
	$B$34	O1	6	0	2,7	1,1	1E+30
	$C$34	O2	8	0	3	0,8	1E+30
	$D$34	O3	4	0	3,8	1E+30	0,3
	$E$34	O4	14	0	3,2	0,6	1E+30
	$F$34	O5	18	0	3	0,8	1E+30
	$G$34	O6	20	0	3,5	0,3	1E+30
Warunki ograniczajÄ…ce
	Â	Â	Wartość	Cena	Prawa strona	Dopuszczalny	Dopuszczalny
	Komórka	Nazwa	końcowa	dualna	w. o.	wzrost	spadek
	$H$37	.(1)	70	3,8	70	6	4
	$H$38	.(2)	70	0	100	1E+30	30
	$H$39	.(3)	6	-1,1	6	4	6
	$H$40	.(4)	8	-0,8	8	4	6
	$H$41	.(5)	4	0	10	1E+30	6
	$H$42	.(6)	14	-0,6	14	4	6
	$H$43	.(7)	18	-0,8	18	4	6
	$H$44	.(8)	20	-0,3	20	4	6

RAPORT GRANIC

Â	Cel	Â
Komórka	Nazwa	końcowa
$H$34	Â	224,2
Â	Zmienne decyzyjne	Â		Dolna	Cel		Górna	Cel
Komórka	Nazwa	końcowa		granica	Wynik		granica	Wynik
$B$34	O1	6		6	224,2		6	224,2
$C$34	O2	8		8	224,2		8	224,2
$D$34	O3	4		4	224		10	247
$E$34	O4	14		14	224,2		14	224,2
$F$34	O5	18		18	224,2		18	224,2
$G$34	O6	20		20	224,2		20	224,2

ANALIZA WRAŻLIWOŚCI - INTERPRETACJA WYNIKÓW

Należałoby zacząć od tego, że nasze zadanie ma tylko jedno rozwiązanie. Dowiedziałyśmy się o tym analizując raport wrażliwości, ponieważ wartość końcowa i przyrost krańcowy zmiennej decyzyjnej nie są równe zero. Jednak to nie świadczy jeszcze o niczym, musiałyśmy sprawdzić dla każdego warunku ograniczającego wartość ceny dualnej. W naszym zadaniu jest ona równa zero w warunkach: 2 i 5 ale odpowiedni warunek ograniczający( w raporcie wyników) nie jest wiążący, dlatego zadanie ma jedno rozwiązanie.

RAPORT WYNIKÓW

W raporcie wyników z zawartości części pierwszej Komórka celu wynika, że minimalny przy danych warunkach ograniczających koszt akcji wyniesie 224,2 gumijagód.

Osiągnięcie takiego kosztu jest możliwe(Komórki decyzyjne) dzięki ewakuacji przez:

- amfibiÄ™ I - 6 km drogi,

• amfibiÄ™ II - 8 km drogi,

• amfibiÄ™ III - 4 km drogi,

• amfibiÄ™ IV - 14 km drogi,

• amfibiÄ™ V - 18 km drogi,

• amfibiÄ™ VI - 20 km drogi

Z ostatniego fragmentu raportu wyników (Warunki ograniczające) dowiadujemy się, że ograniczenie opisujące pracę amfibii 3 jest luźne (nie wiążące) przy decyzji optymalnej. Wartość 6 w kolumnie Luz dla piątego warunku ograniczającego informuje, że w trakcie wykonywania optymalnej akcji amfibia trzecia nie zostanie dobrze wykorzystana, gdyż Smurfy z obszaru 60km drogi nie zostaną ewakuowani. Wartość 30 w kolumnie Luz dla drugiego warunku ograniczającego informuje, że smurfy z obszaru 30 kilometrów drogi zostaną ewakuowani w wyniku pogorszenia się warunków pogodowych.

Natomiast warunki dotyczące amfibii 1,2,4,5 i 6 są napięte (wiążące) przy decyzji optymalnej. Oznacza to, że przy optymalnej akcji usuwania szkód w pełni zostaną wykorzystane pługi 1,2,4,5,6.

RAPORT WRAŻLIWOŚCI

Dla zmiennych decyzyjnych ( O1, O2, O3, O4, O5, O6 ) wartość w kolumnie Przyrost krańcowy jest równa zero, co oznacza, że jakakolwiek zmiana dodatnich wartości zmiennych decyzyjnych nie może być brana pod uwagę.

Liczby w kolumnach Dopuszczalny wzrost i Dopuszczalny spadek określają tzw. zakresy stabilności decyzji optymalnej względem zmian wartości poszczególnych wag funkcji celu. I tak z wiersza przyporządkowanego zmiennej O1 odczytujemy, że jeśli współczynnik c1 z funkcji celu ( koszt jednostkowy amfibii pierwszej równy 1 gumijagodzie) zmniejszy się nie więcej niż o 1E+30, to nie spowoduje to zmiany decyzji optymalnej przy niezmienionych kosztach jednostkowych: x2 = 3,0; x3 = 3,8; x4 = 3,2; x5 = 3,0; x6=3,5. Zmiana decyzji nie nastąpi również gdy c1 wzrośnie nie więcej niż 1,1 gumijagody za godzinę, niezmienną decyzję optymalną otrzymamy jeśli c1 należy (0; 3,8>. Zmieni się jednak wartość funkcji celu. Analogicznie z pozostałymi pługami.

Druga część raportu wrażliwości dotyczy warunków ograniczających i zawiera informacje o stabilności decyzji optymalnej względem zmian wyrazów wolnych z warunków ograniczających.

Drugi i piąty warunek ograniczający w zadaniu są nie wiążące (luźne):

1. luźny drugi warunek ograniczający przy decyzji optymalnej oznacza, że limit wydajności pracy amfibii nie został wykorzystany w całości.

2. Piąty warunek ograniczający jest także niewiążący przy decyzji optymalnej, co oznacza, że wydajność amfibii trzeciej nie została wykorzystana w całości (O5=4), należy stwierdzić, że zwiększenie wydajności pracy tej amfibii powyżej 4 km nie wpłynie na szybkość ewakuacji smurfów i ratowania dobytku, a co za tym idzie również na spadek kosztu - wskazuje na to zerowa wartość ceny dualnej,

Trzeci, czwarty, szósty, siódmy, ósmy warunek ograniczający są napięte (wiążące) przy decyzji optymalnej. Oznacza to, że:

1. dostępna wydajność pracy pierwszej amfibii jest wykorzystany w całości. Gdyby jednak była możliwość zwiększenia wydajności pracy tej amfibii o godzinę, przy nie zmienionym czasie pracy innych amfibii, to optymalna ewakuacja smurfów przez pozostałe amfibie gwarantowałoby łączny koszt o 1,1 gumijagód mniejszy od minimalnego kosztu 224,2 osiąganego bez zwiększenia wydajności pracy tej amfibii.

2. analogicznie w pozostałych warunkach.

Informacje zawarte w komórkach dopuszczalny wzrost i dopuszczalny spadek dotyczą zmian wyrazów wolnych, ale takich zmian, które nie zmienią zestawu dodatnich zmiennych decyzji optymalnej, chociaż wartości tych zmiennych mogą ulegać zmianie.

1. jeśli wydajność pracy trzeciej amfibii zmniejszyłaby się o co najwyżej 6 km/h (do dolnej granicy krytycznej 4) lub zwiększyłaby się o dowolną wielkość (górna granica 1E+30) nie spowodowałoby to żadnych zmian w wydajności amfibii (warunek ten jest luźny),

2. jeśli wydajność pracy pierwszej amfibii zmniejszyłaby się o co najwyżej 6 km/h (do dolnej granicy krytycznej 0) lub zwiększyłaby się o 4 (górna granica 10) , optymalny koszt ewakuacji będzie nadal przewidywał dane amfibii (wartość funkcji celu zmieni się o b*(-1,1))

RAPORT GRANIC

Podaje informacje o dopuszczalnych zakresach zmian wartości każdej ze zmiennych decyzyjnych, które osiągnęły wartość dodatnią, przy nie zmienionych wartościach pozostałych zmiennych decyzyjnych. Każda taka zmiana musi spowodować zmianę - pogorszenie - wartości funkcji celu.

Z raportu granic dla analizowanego zadania wynika, że gdyby wartość zmiennej decyzyjnej O1 - wydajność pierwszej amfibii wynosiła zero, to przy nie zmienionych wartościach pozostałych zmiennych decyzyjnych funkcja celu wyniosłaby 224,2 etc.

2

---