3. RÓWNANIE BILANSU ENERGETYCZNEGO

Model przepływu z wymianą energii

Analizując przepływ strumienia gazu przez silnik posługujemy się uproszczonym modelem pozwalającym na stosowanie stosunkowo prostych równań opisujących, z dostateczną dla inżynierskich potrzeb dokładnością, procesy zachodzące w kanale przepływowym, w którym zachodzi wymiana ciepła i pracy z otoczeniem.

Zakłada się, że:

• przepływ jest ustalony - wartości parametrów strumienia w dowolnym przekroju (dowolnym wycinku przekroju) zależą tylko od miejsca położenia przekroju (nie zależą od czasu). Oznacza to, że nie uwzględnia się pulsacji strumienia (duże częstotliwości, małe amplitudy);

• w każdym punkcie przekroju płaszczyzną prostopadłą do osi kanału, parametry posiadają jednakową, uśredniona wartość;

• powietrze i spaliny traktuje się jako gaz doskonały.

Badanie przepływów przez silnik za pomocą równań termogazodynamicznych będzie dokonywane na podstawie ogólnego modelu przepływu strumienia.

Rys. 3.1 Ogólny model przepływu z wymianą energii

W przypadku doprowadzenia ciepła zewnętrznego lub pracy efektywnej do strumienia, przyjmuje się te wielkości jako dodatnie (q_z>0, l_e>0), w przypadku zaś odprowadzenia ich od strumienia - jako ujemne (q_z<0, l_e<0).

Równanie pierwszej zasady termodynamiki

Jednym z fundamentalnych praw fizyki w odniesieniu do maszyn cieplnych jest pierwsza zasada termodynamiki, którą dla przemian odwracalnych gazu znajdującego się w układzie zamkniętym zapisuje się (w odniesieniu do 1 kg czynnika roboczego) równaniem:

(3.1)

Ciepło doprowadzone do układu w przemianie 1-2 zostaje zużyte na zwiększenie energii wewnętrznej gazu oraz na wykonanie pracy bezwzględnej (zewnętrznej) przemiany.

Po zróżniczkowaniu równanie przyjmie postać:

a gdy praca bezwzględna ogranicza się do zmiany objętości gazu:

(3.2)

Powyższe równanie ma zastosowanie również w układach przepływowych, jeżeli założy się, że układ odniesienia porusza się wraz ze strumieniem. Wygodniej jest jednak w równaniu pierwszej zasady termodynamiki zastąpić energię wewnętrzną gazu jego entalpią zdefiniowaną równaniem:

które p zróżniczkowaniu przyjmie postać:

Wyznaczając z powyższego równania du i wstawiając do równania (3.2) dostaniemy:

Po scałkowaniu od stanu początkowego do końcowego otrzymamy równanie pierwszej zasady termodynamiki w postaci:

(3.3)

W równaniu tym wyrażenie:

nazywa się pracą techniczną i w ogólnym przypadku oznaczane jest symbolem l_t1-2. Zatem możemy zapisać:

(3.4)

Ciepło doprowadzone do układu w czasie przemiany 1-2 zostaje zużyte na zwiększenie jego entalpii oraz na wykonanie pracy technicznej przemiany.

Ciepło przemiany q_1-2 składa się z ciepła zewnętrznego q_z1-2 oraz z ciepła tarcia q_r1-2, które jest równoważne pracy na pokonanie oporów tarcia l_r1-2:

(3.5)

Łatwo wykazać, że praca techniczna przemiany politropowej zdefiniowanej równaniem:

może być wyrażona wzorem:

(3.6)

Przyrost entalpii można natomiast wyrazić jako:

(3.7)

Po założeniu, że przepływ jest adiabatyczny (q_z1-2=0), można obliczyć pracę pokonania oporów tarcia wstawiając równania (3.6) i (3.7) do równania (3.5):

(3.8)

Z równania tego wynika, że:

• dla procesu sprężania (l_r1-2>0, T₂>T₁) wykładnik politropy n>κ

• dla procesu rozprężania (l_r1-2>0, T₂<T₁) wykładnik politropy n<κ

• dla przemian izentropowych (l_r1-2=0) wykładnik politropy n=κ

Wartość wykładnika politropy da się wyznaczyć przy znajomości parametrów stanu gazu w punktach skrajnych przemiany, np. z zależności:

Równanie energetyczne przepływu

Przeprowadzając bilans energii dla modelu przepływu przedstawionego na rys.3.1 można napisać równanie:

(3.9)

Równanie energetyczne przepływu (3.9) określa związek ilościowy pomiędzy wymianą ciepła i pracy z otoczeniem a występującymi, na skutek tej wymiany, przyrostami entalpii i energii kinetycznej.

Interpretacja równania energetycznego zależy od tego, do jakiego odcinka kanału przepływowego silnika (zespołu) zostanie ono zastosowane.

1. Przepływ przez wlot i dyszę - przepływ bez wymiany ciepła i pracy (l_e1-2 = 0, q_z1-2 = 0):

2. Przepływ przez sprężarkę - przepływ z wymianą pracy ale bez wymiany ciepła (l_e1-2 = l_S,
q_z1-2=0):

Praca efektywna doprowadzona do sprężarki zostaje zużyta na przyrost entalpii strumienia i zmianę jego energii kinetycznej .

3. Przepływ przez komorę spalania - przepływ bez wymiany pracy ale z wymianą ciepła (l_e1-2 = 0, q_z1-2=q_KS):

4. Przepływ przez turbinę - przepływ z wymianą pracy ale bez wymiany ciepła (l_e1-2 = l_T, q_z1-2=0):

Spadek entalpii w turbinie zamieniany jest na pracę efektywna odbierana na wale turbiny oraz przyrost energii kinetycznej strumienia.

Uogólnione równanie Bernouliego

Jest to postać równania energetycznego zawierająca jedynie wielkości mechaniczne, tj. prace i energie kinetyczne, nie zawiera entalpii i ciepła. Ma zastosowanie do przepływów przez kanały bez wymiany ciepła z otoczeniem.

Jeżeli z równania (3.5), wyrażającego pierwszą zasadę termodynamiki, wyznaczymy q_z1-2 i wstawimy do równania energetycznego (3.9) to otrzymamy uogólnione równanie Bernouliego w postaci:

(3.10)

Interpretacja równania dla przepływu przez sprężarkę (dp>0, l_e1-2 = l_S):

Praca efektywna doprowadzona na wał sprężarki zostaje zużytkowana na wykonanie pracy technicznej politropowego sprężania, zmianę energii kinetycznej strumienia oraz na pracę pokonania oporów tarcia

Interpretacja równania dla przepływu przez turbinę (dp<0, l_e1-2 = -l_T):

Praca techniczna politropowego rozprężania w turbinie zostaje zużytkowana na pracę efektywna odbierana na wale turbiny, na przyrost energii kinetycznej oraz na prace pokonania oporów tarcia.

Jeżeli założyć, że przepływ jest energetycznie odosobniony (l_e1-2 = 0), izentropowy (l_r1-2 = 0) i nieściśliwy (ρ = const), to otrzymamy:

Po scałkowaniu i uporządkowaniu dostaniemy:

(3.11)

Prawo Bernouliego

Jeżeli przepływ jest energetycznie odosobniony, izentropowy i nieściśliwy to suma ciśnienia statycznego i dynamicznego jest wielkością stałą wzdłuż kanału przepływowego.

Sumę ciśnienia statycznego i dynamicznego nazywa się ciśnieniem całkowitym (spiętrzenia):

(3.12)

Wykorzystując pojęcie ciśnienia całkowitego (3.12), prawo Bernouliego można zapisać równaniem:

(3.13)

4

l_e1-2

2

p₂

-

c₂

+

h₂

1

h₁

p₁

c₁

2

+

-

1

q_z1-2

---