Test niezależności chi-kwadrat (test χ²)

H₀; cechy X i Y są niezależne

H₁; cechy X i Y są zależne

Do weryfikacji powyższych hipotez stosuje się statystykę χ²

Z tablic rozkładu chi-kwadrat odczytujemy: χ²_{α; (r - 1)(k - 1)}

Liczebności teoretyczne liczymy w następujący sposób:

=

Jeżeli χ² ≥ χ²_{α; (r - 1)(k - 1)} → H_o odrzucamy na rzecz H₁

Jeżeli χ² < χ²_{α; (r - 1)(k - 1)} → Nie ma podstaw do odrzucenia H_o o niezależności cech

Zadanie 1

W tabelce podane są informacje odnośnie konieczności noszenia okularów oraz czasu spędzanego przy komputerze. Sprawdź przy poziomie istotności alfa = 0,01 czy istnieje zależność między faktem noszenia okularów a długością czasu pracy przy komputerze.

czas pracy przy komputerze	Okulary		Razem
		tak		nie
do 5 godzin dziennie	90	90	180
powyżej 5 godzin dziennie	50	70	120
Razem	140	160	300

Zadanie 2

W tabelce podane są informacje odnośnie typu rodziny oraz liczby dotychczasowych zmian adresu. Sprawdź przy poziomie istotności alfa = 0,02 czy istnieje zależność między typem rodziny a liczbą zmian adresu.

Liczba zmian adresu	Typ rodziny			Razem
		Osoby samotne	Rodziny pełne		Rodziny emeryckie
ani jednej	90	120	130	340
jedna	140	150	90	380
więcej niż jedna	160	100	20	280
Razem	390	370	240	1000

PRZYKŁAD: Sprawdź, czy kolor włosów i kolor oczu są niezależne.

	Kolor oczu
Kolor włosów	Niebieskie	Czarne	RAZEM
Jasne	30	80	110
Ciemne	170	220	390
RAZEM	200	300	500

H₀; cechy X i Y są niezależne

H₁; cechy X i Y są zależne

Obliczenia pomocnicze (
):

	Kolor oczu
Kolor włosów	Niebieskie	Czarne	RAZEM
Jasne			110
Ciemne			390
RAZEM	200	300	500
Obliczenia pomocnicze (χ^2):
	Kolor oczu
Kolor włosów	Niebieskie	Czarne	RAZEM
Jasne			7,42
Ciemne			2,094
RAZEM	5,706	3,808	9,514

χ²obliczone = 9,514 χ²_{α; (r - 1)(k - 1)} =χ²_{0,05; (2-1)(2-1)}=3,841

χ² > χ²_{0,05; 1} ponieważ 9,514> 3,841

Odrzucamy hipotezę zerową na rzecz H₁. Kolor włosów i oczu są zależne od siebie.

---