Politechnika Wrocławska Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego

Wrocław, 19.12.2000

Wyznaczenie Siły Krytycznej Sprężystego

Wyboczenia Giętnego

Wykonał: Bartosz Kosek Andrzej Kuszell

sprawdził: dr inż. J. Rządkowski

1. Część teoretyczna

1.1. Wstęp teoretyczny

Wyboczenie sprężyste bisymetrycznego pręta jednoprzęsłowego o stałym cienkościennym przekroju otwartym i dowolnych warunkach podparcia na końcach , ściskanego osiowo stałąsiłą P , opisuje układ równań różniczkowych ;

EI_xy^IV + P_y^II = 0

EI_yy^IV + P_x^II = 0

_^V + (Pi_o² - GI_s)^II = 0

x,y, - przemieszczenia liniowe wzdłuż osi x , y oraz kątowe w płaszczyźnie xy.

II , IV - drugie oraz czwarte pochodne danych przemieszczeń.

i_o - biegunowy promień bezwładności względem środka ciężkości przekroju .

E,G - moduły sprężystości podłużnej i poprzecznej .

I_x,I_y,I_,I_s - momenty bezwładności.

Pierwsze równanie jest równaniem różniczkowym wyboczenia giętnego w płaszczyźnie yz , drugie - wyboczenia giętnego w płaszczyźnie xz , a trzecie - wyboczenia skrętnego pręta.

Rozwiązując te równania wyznaczyć można trzy wzajemnie niezależne wartości obciążenia P(Px,Py,P) , z których obciązenia najmniejsze , zwane krytycznymi dla rozpatrywanego pręta , przedstawić można wzorami:

• 
  siła krytyczna wyboczenia giętnego w płaszczyżnie yz,

- siła krytyczna wyboczenia giętnego w płaszczyżnie xz,

gdzie:

l - długość teoretyczna pręta ,

_x , _{y ,} _ - współczynniki długości wyboczeniowej.

Współczynniki długości wyboczeniowej _ przyjmują wartości:

• dla przegubowego podparcia obu końców pręta - 1,0

• dla przegubowego podparcia jednego , drugi zamocowany sztywno - 0,6992

• dla sztywnego zamocowania obu końców - 0,5

• dla sztywnego zamocowania jednego końca , drugi jako swobodny - 2,0

Smukłości pręta ;

• przy wyboczeniu giętnym w płaszczyźnie yz

• przy wyboczeniu giętnym w płaszczyźnie xz

Z trzech sił krytycznych znaczenie praktyczne dla rozpatrywanego pręta będzie miała siła o najmniejszej wartości , sile tej będzie odpowiadać największa wartość smukłości.

1.2. Wyznaczenie obciążenia krytycznego wyboczenia giętnego.

Zakładamy , że pręt w płaszczyźnie mniejszej sztywności zginania ma taką krzywiznę początkową , że kształt jego osi w stanie nie obciążonym można przedstawić wzorem :

Wyrażenie to zostało dobrane w ten sposób , że spełnia warunki podparcia pręta. Jeżeli pręt zostanie obciążony siłą ściskającą P , to odchylenie osi pręta od stanu prostoliniowego wyniesie:

Wprowadzenie zastępczego obciążenia poprzecznego pręta o intensywności:

które jest równoważne wpływowi krzywizny początkowej na linię ugięcia pręta x(z) umożliwia przedstawienie równania różniczkowego linii ugięcia pręta w postaci:

Ogólne rozwiązanie równania otrzymamy za pomocą przekształcenia Laplace`a , a po wprowadzeniu do ogólnego rozwiązania stałych całkowania , wyznaczonych z warunków wynikających ze sposobu podparcia rozpatrywanego pręta i uwzględnienie warunku  = 1,0 otrzymamy równanie linii ugięcia:

Na podstawie powyższego wzoru wyznaczyć można ugięcie w połowie długości pręta δ=x(0,5l) , ugięcie to wyniesie:

Wprowadzenie zależnosci δ = f(P) , która dla P<P_ykr przedstawia się w postaci wykresu , który służy do doświadczalnego wyznaczenia obciążenia krytycznego wyboczenia giętnego pręta.

Doświadczalne wyznaczenie obciążenia krytycznego wyboczenia giętnego pręta przeprowadzić można także za pomocą metody Southwella . W metodzie tej wykorzystuje się wzór na ugięcie , któremu nadaje się postać równania:

Równanie to jest liniowe względem współrzędnych δ/P oraz δ , wyznaczona zostaje więc prosta o współczynniku kierunkowym tgγ = P_ykr

Określenie więc podczas badań , w postaci dyskretnej , zależności δ_i = f_i(δ_i/P_i) , a następnie aproksymacja otrzymanych wyników prostą:

której parametry  ,  obliczamy np. metodą najmniejszych kwadratów , umożliwia wyznaczenie wartości obciążenia krytycznego oraz krzywizny początkowej pręta z równości ;

P_ykr^d =  , a = 

1.3 Cel i przebieg ćwiczeń.

Celem ćwiczeń jest doświadczalne wyznaczenie metodą obciążeń krytycznych sprężystego wyboczenia giętnego dla jednoprzęsłowych , osiowo ściskanych prętów o cienkościennym przekroju otwartym , podpartych przegubowo na obu końcach .

Dla pręta o przekroju w kształcie wąskiego prostokąta będzie to obciążenie krytyczne wyboczenia giętnego w płaszczyźnie mniejszej sztywności zginania.

W celu wykonania ćwiczenia należy:

1. zmierzyć długość i wymiary przekroju poprzecznego pręta,

2. obliczyć moment bezwładności Iy przekroju poprzecznego,

3. obliczyć wartość siły krytycznej P_ykr ( w MN )

4. sprawdzić prawidłowość podparcia pręta i działanie czujnika zegarowego,

5. odnotować wskazanie czujnika jako w_o,

6. obciążyć pręt (w ćwiczeniu co 800 N ) i przy każdorazowym dociążeniu odczytać wskazania czujnika zegarowego.( pręt obciążyć do wartości około 0,7P_ykr ).

7. Wyniki zestawić w tabeli.

8. Sporządzić wykres δ w funkcji δ/P

9. Wyznaczyć na podstawie wykresu siłę krytyczną P_ykr^d (wMN)

10. Obliczyć procentową różnicę między wartością siły krytycznej wyznaczonej teoretycznie i doświadczalnie:

2. Wykonanie ćwiczenia

2.A pręt o przekroju prostokąta i wymiarach: 5,1 x 12,1 mm x 199,0 mm

2.B I_y = hg³/12 = 12,1⋅5,1³ / 12 = 133,76 mm⁴ = I_y

2.C P_ykr = ²⋅E⋅Iy / (_y⋅l_e)² = 3,14²⋅205⋅133,76/(1,0⋅199)² = 6,83 kN = P_ykr

2.D Pręt zamocowany poprawnie

2.E Początkowe wskazania czujnika: lewy = 4.98, prawy = 5.51

2.F

Nr	lewy czujnik [mm]	prawy czujnik [mm]	siła P [kN]
0	4,98	5,51	0,0
1	4,98	5,51	0,8
2	4,89	5,60	1,6
3	4,77	5.72	2,4
4	4,64	5,84	3,2
5	4,47	6,01	4,0
6	4,16	6.31	4,8
7	4,34	6,13	4,0
8	4,57	5,90	3,2
9	4,75	5,72	2,4
10	4,89	5,60	1,6
11	4,98	5,51	0,8
12	4,98	5,51	0,0

2.G

Lp.	Obciążenie [kG]	Siła ściskająca [kN]	Wskazanie czujnika [mm]	Ugięcie pręta [mm]	δi/Pi [mm/kN]
1	2	3	4	5	6
1	0	0,0	4,980	0,000	0
2	80	0,8	4,980	0,000	0
3	160	1,6	4,890	0,090	0,05625
4	240	2,4	4,765	0,215	0,08958
5	320	3,2	4,640	0,340	0,10625
6	400	4,0	4,470	0,510	0,1275
7	480	4,8	4,160	0,820	0,17083
8	400	4,0	4,340	0,640	0,16
9	320	3,2	4,570	0,410	0,12813
10	240	2,4	4,750	0,230	0,09583
11	160	1,6	4,890	0,090	0,05625
12	80	0,8	4,978	0,002	0,0025
13	10	0,0	4,980	0,000	0

2.H, I, J

Obliczenia w programie MatCAD 2000:

P_ykr^d =  = 6.98 kN

(P_ykr-P_ykr^d)/P_ykr = (6.98-6.83)/6.98 = 2.15%

Wnioski: W trakcie wykonywania ćwiczenia w hali laboratorium panowała dosyć niska temperatura, co mogło spowodować zgęstnienie smaru w czujnikach zegarowych. Wynikiem tego były niemiarodajne pierwsze trzy wyniki. Pozostałe wyniki pomiarów należy uznać za prawidłowe - pewien ich rozrzut na wykresie jest spowodowany trudnymi do uniknięcia uchybieniami (np. zbyt niska lub za wysoka wartość siły ściskającej) oraz niedokładnościami w odczytach. Ostatecznie jednak doświadczenie potwierdza wynik obliczeń teoretycznych. Co więcej, ostateczny rezultat badań (siła krytyczna z doświadczenia jest większa od wyznaczonej teoretycznie) wskazuje na to, że obliczając siłę krytyczną ze wzoru normowego nawet, jeśli popełniamy niewielki błąd, to na korzyść bezpieczeństwa konstrukcji.

---