I TD 2006.11.21

Laboratorium z fizyki

Ćw. nr : 8

Pomiar momentu bezwładności wahadła Maxwella.

Dariusz Tokarski

L 5

1. WSTĘP TEORETYCZNY.

- Dynamika bryły sztywnej ruchu postępowego i obrotowego - zasady dynamiki:

Przez bryłę sztywną rozumiemy ciało, które pod działaniem dowolnie wielkich sił nie ulega ani odkształceniu postaci (zmiana kształtu), ani odkształceniu objętości. Odległość dwóch dowolnych punktów bryły sztywnej pozostaje niezmienna.
         Bryła sztywna może wykonywać dwa rodzaje ruchów prostych: ruch postępowy i ruch obrotowy. (Jeśli bryła odbywa równocześnie oba te rodzaje ruchów, to powstaje, ruch złożony, którym bliżej nie będziemy się zajmowali.) Ruch postępowy bryły sztywnej jest to taki ruch, przy którym dowolny odcinek łączący dwa punkty bryły, np. A i B, zachowuje stale położenie do siebie równoległe.

Wszystkie punkty bryły sztywnej, odbywającej ruch postępowy, zakreślają drogi równe oraz mają jednakowe prędkości i przyspieszenia. W związku z tym badanie ruchu postępowego bryły sztywnej sprowadza się do badania ruchu jakiegokolwiek dowolnie wybranego punktu bryły.
         Jeśli bryła sztywna wprawiona jest w ruch obrotowy, można w niej wyodrębnić szereg punktów nie poruszających się. Zbiór tych punktów leżących na jednej prostej stanowi tzw. oś obrotu. Oś obrotu jest stała, jeżeli z biegiem czasu nie zmienia swego położenia ani w ciele ani w przestrzeni. Pozostałe punkty bryły zataczają tory kołowe w płaszczyznach prostopadłych do osi. Promienie tych kół równe są odległościom rozpatrywanych punktów od osi obrotu.

Niech płaszczyzna przedstawia płaszczyznę jednego z możliwych przekrojów bryły prostopadłych do osi obrotu, a punkt O niech będzie śladem osi obrotu.
Rozważmy położenie dowolnie wybranego w tej płaszczyźnie promienia wodzącego OM₀ w chwilach t = 0, t₁ i t₂ Punkty A₀, A'₀ i A''₀ po czasie t₁ zajmą położenia A₁ , A'₁ i A''₁, a po czasie t₂ - położenia A₂, A'₂ i A''₂ Każdy z tych punktów w odstępie czasu t₂ - t₁ zakreślił drogę równą odpowiednio łukowi A₁A₂, A'₁A'₂ i A''₁A''₂. Długości tych łuków są różne, a więc i prędkości liniowe poszczególnych punktów są niejednakowe, są zależne od ich odległości od osi obrotu.
         W związku z zależnością prędkości liniowej od odległości od osi obrotu wygodniej jest charakteryzować ruch obrotowy za pomocą innej wielkości, a mianowicie prędkości kątowej. Niech A₀O oznacza położenie początkowe w chwili t = 0 dowolnego promienia wodzącego pomyślanego w bryle sztywnej. Po czasie t₁ ten promień wodzący zajmuje nowe położenie A₁O przesunięte względem poprzedniego o kąt j₁, po czasie t₂ - położenie A₂O przesunięte względem początkowego o kąt j₁. A zatem w czasie Dt = t₂-t₁ promień wodzący zakreślił kąt A₁OA₂ = j₂ - j₁ = Dj. Średnio na jednostkę czasu przypada kąt obrotu

Powyższą wielkość nazywamy średnią prędkością kątową.
         Jeśli ruch obrotowy jest jednostajny, to znaleziona prędkość kątowa średnia jest zarazem prędkością kątową chwilową. Ogólnie jednak prędkość kątową (chwilową) wyznaczamy przez przejście do granicy, gdy Dt -> 0. A zatem

Z rozważań dotyczących ruchu po okręgu wiemy już, że w układzie SI wyraża się w rad/s.
         Ze względu na sztywność obracającej się bryły zachowanie się każdego dowolnie wybranego promienia wodzącego w każdym przekroju bryły prostopadłym do osi obrotu będzie charakteryzowała ta sama prędkość kątowa w. Można zatem tę wielkość traktować jako podstawową wielkość kinematyczną charakteryzującą ruch obrotowy. Ruch obrotowy bryły sztywnej jest jednostajny, gdy w = const.
         Prędkość kątową umówiono się traktować jako wektor skierowany wzdłuż osi do toru bryły, o punkcie przyłożenia wybranym dowolnie na tej osi. Zwrot tego wektora jest określony regułą korkociągu. Ustawiamy korkociąg wzdłuż osi obrotu i rączkę korkociągu obracamy w kierunku obrotu bryły. Kierunek przesuwania się korkociągu wyznacza zwrot wektora prędkości kątowej.
         W ruchu obrotowym niejednostajnym prędkość kątowa nie jest stała. Możemy więc posługiwać się pojęciem przyspieszenia kątowego a, zdefiniowanego jak poprzednio:

Przyspieszenie kątowe wyraża się w rad/s².
         Znów ze względu na sztywność bryły przyspieszenie kątowe a charakteryzuje zachowanie się każdego z jej punktów (oczywiście nie lezących na osi obrotu).
         Przyspieszenie kątowe jest również wektorem. W przypadku ruchu obrotowego dokoła stałej osi jest ono skierowane wzdłuż osi obrotu. Zwrot wektora przyspieszenia kątowego jest zgodny ze zwrotem wektora prędkości kątowej w ruchu przyspieszonym, przeciwny - w ruchu opóźnionym
         Dla każdego z punktów bryły (nie leżących na osi obrotu) są ponadto spełnione zależności:

gdyż każdy z tych punktów odbywa ruch po okręgu o promieniu r.

Zasady dynamiki:

Pierwsza zasada dynamiki: Ciało, na które nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

Druga zasada dynamiki: Siła działająca na ciało równa jest pochodnej pędu względem czasu.

Trzecia zasada dynamiki: Jeśli ciało A działa na ciało B pewną siłą to ciało B działa na ciało A siłą równą co do wartości, lecz przeciwnie skierowaną.

Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego: Jeśli moment siły działającej na bryłę sztywną wynosi zero, to bryła sztywna pozostaje w spoczynku lub wykonuje ruch obrotowy jednostajny

Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego: Jeżeli na ciało sztywne działa stały i niezrównoważony moment siły, to ciało to wykonuje ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony (lub jednostajnie opóźniony), w którym przyspieszenie (opóźnienie) kątowe jest wprost proporcjonalne do działającego momentu siły, a odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności ciała.Moment siły działającej na bryłę sztywną jest równy pochodnej momentu pędu względem czasu.

Trzecia zasada dynamiki: Jeśli na bryłę sztywną A działa bryła sztywna B pewnym momentem siły to bryła B działa na bryłę A momentem BA odwrotnym do momentu AB.

- Zasada zachowania energii:

W mechanice klasycznej ważną rolę odgrywa zasada zachowania energii mechanicznej. Jeżeli na poruszające się ciało działają tylko siły zachowawcze, to całkowita energia ciała pozostaje stała i podczas ruchu może nastąpić zmiana energii potencjalnej w kinetyczną i na odwrót.

Jako przykład można rozważyć tzw. wahadło (koło) Maxwella w postaci krążka zamocowanego na osi i zawieszonego bifilarnie. Wahadło znajdujące się na pewnej wysokości h ma energię potencjalną:

gdzie:

m - masa krążka wraz z osią,

g - przyśpieszenie ziemskie.

Uwolniony z podparcia krążek spada, wykonując ruch obrotowy i postępowy, a tym samym jego energia kinetyczna składa się z dwóch członów:

- energia kinetyczna ruchu postępowego,

- energia kinetyczna ruchu obrotowego.

Zasada zachowania energii, przy zaniedbaniu oporów ruchu, wyraża się, więc równaniem:

- prędkość kątowa w ruchu obrotowym wokół osi krążka,

gdzie:

v - prędkość przesuwania się środka masy układu,

r - promień krążka,

I - moment bezwładności krążka względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy. Moment ten jest sumą momentu bezwładności osi wahadła, momentu bezwładności samego krążka oraz dodatkowych pierścieni nakładanych na krążek w czasie wykonywania pomiarów.

Zakładając, że ruch środka masy krążka jest ruchem jednostajnie przyśpieszonym, bez prędkości początkowej, to z równań:

i

otrzymujemy związek:

Po wstawieniu do równania wyrażeń na v i
, wyliczamy moment bezwładności wahadła Maxwella:

Masa m w tym wzorze jest sumą mas osi
, krążka
i pierścienia nałożonego na krążek
.

Ze wzoru (2) widzimy, że moment bezwładności wahadła Maxwella można wyznaczyć doświadczalnie mierząc czas t opadania krążka oraz drogę h przebytą w czasie t.

Można przyjąć, że siła naciągu w nitce działa w środku jej grubości. W związku z tym w celu wyznaczenia r należy zmierzyć średnicę d osi wahadła z nawiniętą nicią a następnie wyznaczyć r z zależności:

Na wynik obliczeń momentu bezwładności mają wpływ zarówno niedokładności pomiarów, jak i brak spełnienia założeń dotyczących zasady zachowania energii, czy tego, że ruch jest ruchem jednostajnie przyśpieszonym.

W inny sposób można wyznaczyć moment bezwładności I traktując elementy wahadła jako współosiowe walce i krążki. Momenty bezwładności poszczególnych elementów można znaleźć w tabelach, przyjmując, że są to regularne bryły geometryczne z osią obrotu przechodzącą przez ich środki masy:

gdzie:

- promień osi wahadła,

- promień zewnętrzny krążka,

- promień zewnętrzny pierścienia.

2. WYKONANIE ĆWICZENIA.

-Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest pomiar momentu bezwładności wahadła Maxwella.

Rys. 1. Pomiar średnicy osi wahadła.

-Opis wykonania pomiarów:

1. Włączono przyrząd do sieci.

2. Na krążek wahadła nałożono dowolnie wybrany pierścień poczym dociśnięto go do oporu.

3. Nawinięto na osi wahadła nić i unieruchomiono je przy pomocy elektromagnesu.

4. Sprawdzono, czy dolna krawędź pierścienia pokrywa się z zerem skali naniesionej na kolumnę.

5. Wyzerowano zegar.

6. Zmierzono wartość czasu spadania wahadła.

7. Powtórzono pomiar czasu 10 razy, w celu wyznaczenia wartości średniej.

8. Pomiary powtórzono dla innego pierścienia.

-Lista wykorzystanych przyrządów:

- wahadło Maxwella

- sekundomierz

- suwmiarka

- linijka

3. TABELE Z WYNIKAMI POMIARÓW.

m	m	m	d	r	r	h	t	I	I
[ g]	[ g]	[ g]	[mm]	[mm]	[mm]	[m]	[ s ]			[%]
32,5	124	258,8	11,4	5	5,35	0,41	2,256	0,000714	0,000713	2,74
																	2,299
																	2,294
																	2,290
																	2,244
																	2,231
																	2,276
																	2,239
																	2,236
																	2,239
							32,5				124	517	11,4	5	5,35	0,41	2,433	0,001305	0,001307	1,91
																	2,348
																	2,416
																	2,404
																	2,363
																	2,442
																	2,442
																	2,378
																	2,408
																	2,329

Tab. 1. Tabela pomiarowa.

4. OBLICZENIA.

- obliczenia szukanych wartości:

m- masa krążka
wraz z osią
i pierścieniem
nałożonym na krążek:

- średni czas opadania krążka dla serii pomiarów:

- promień osi wahadła

- promień zewnętrzny krążka

- promień zewnętrzny pierścienia

d - średnica osi wahadła z nawiniętą nicią

Moment bezwładności
wyznaczony doświadczalnie wg wzoru:

g - standardowe przyspieszenie ziemskie

h - droga opadania krążka

Wartość teoretyczna
momentu bezwładności (obliczona wg wzorów na momenty bezwładności dla poszczególnych elementów przyjmując, że są to regularne bryły geometryczne z osią obrotu przechodzącą przez ich środki masy):

- analiza niepewności pomiarowych:

Błąd względny pomiarów momentu bezwładności:

Zapis wyników:

5. WNIOSKI.

Moment bezwładności wahadła Maxwella wyznaczony doświadczalnie jest bliski wartości teoretycznej i wynosi:
, zaś w drugim przypadku:
, niewielkie błędy świadczą o poprawnie wykonanym ćwiczeniu.Moment bezwładności wahadła Maxwella zwiększa się wraz ze wzrostem masy pierścienia. Dla każdego pierścienia przebyta droga, masa osi, masa krążka a także poszczególne promienie są równe, więc nie ma to wpływu na wyniki pomiarów. Decydującym elementem o wartości bezwładności jest masa pierścienia. Czas opadania pierścienia rośnie wraz ze wzrostem masy co jest spowodowane większym momentem bezwładności.

---