Wyznaczenie modułu Younga

metodą jednostronnego rozciągania

Ćwiczenie nr 9

Opis teoretyczny

Jeśli na jakieś nieruchome ciało wywierana jest pewna siła, to znaczy jeśli doznaje ono pewnego ciśnienia p, to w ciele tym występują odkształcenia, czyli deformacje.

Odkształcająca ciało siła zewnętrzna powoduje zmianę odległości międzycząsteczkowych. Tej zmianie przeciwstawiają się siły międzycząsteczkowe ciała, dzięki którym powstaje tzw. opór sprężysty albo siła sprężystości; siła ta jest skierowana przeciwnie względem siły odkształcającej, a co do wartości jej równa. Siła oporu sprężystego jest tym większa, im większe jest odkształcenie; rośnie ona liniowo wraz z odkształceniem. Ilościowo ujmuje tę zależność prawo Hook'a, które wyraża się równaniem:

p=kα (1)

α - oznacza tu odkształcenie względne, p - ciśnienie, k - jest to współczynnik proporcjonalności zwany modułem sprężystości, który ma dla danego materiału wartość zależną od rodzaju odkształcenia. Z chwilą, gdy ustaje działanie zewnętrznej siły odkształcającej, ciało powraca do pierwotnego stanu. Oczywiście następuje to tylko wówczas, gdy siła odkształcająca nie przekracza pewnej granicy, tzw. sprężystości, w przeciwnym bowiem razie doznane odkształcenia ciała nie ustępują z chwilą zniknięcia siły zewnętrznej. Takie odkształcenia nazywamy plastycznymi. Prawo Hook'a jest słuszne jedynie w odniesieniu do odkształceń sprężystych, a więc znikających wraz z działaniem siły zewnętrznej.

Każdy współczynnik wyraża się w jednostkach ciśnienia. Wynika to ze wzoru (1), z którego współczynnik sprężystości

k=p/α . (1')

Odkształcenie względne α wyraża się stosunkiem odkształcenia bezwzględnego do początkowych wymiarów ciała i jest wobec tego liczbą oderwaną.

Największe znaczenie praktyczne ma moduł sprężystości na wydłużenie. Nosi on nazwę modułu Younga i oznaczany jest symbolem E. Na podstawie wzoru (1') moduł Younga :

E=p/α .

Z wyrażenia tego łatwo odczytać sens fizyczny modułu Younga: jest to takie ciśnienie, które spowodowałoby odkształcenie względne równe jedności (oczywiście przy nieprzekraczaniu granicy sprężystości). W przypadku prostego wydłużenia

α=∆l/l

będzie równe jedności, gdy ∆l=l, tzn. gdy pręt zostanie rozciągnięty do podwójnej długości. W praktyce rzadko można osiągnąć takie odkształcenia bez przekroczenia granicy sprężystości.

Moduł Younga jest jedynie pewną stałą, mającą orientować o wielkości sił sprężystych w danym ciele.

Aby wyznaczyć moduł Younga metodą jednostronnego rozciągania na podst. równania (2), należy przeprowadzić doświadczenia z wydłużaniem badanego materiału w postaci drutu.

Badany drut umocowany jest w specjalnym uchwycie przytwierdzonym do sztywnego wspornika stalowego przymocowanego do ścian. Na dolnym końcu drutu zawieszona jest szalka, na którą kładziemy ciężarki. Na szalce tej umieszczamy na stałe obciążenie prostujące - 0.5 kg. Mierzymy średnicę drutu za pomocą śruby mikrometrycznej, a następnie odległość pomiędy działkami skali mikroskopu odczytowego porównując średnice wskazówki zmierzoną za pomocą śruby mikrometrycznej z ilością działek zajmowanych przez nią na skali.

Śruba mikrometryczna - pozwala mierzyć wymiary liniowe z dokładnością do 0,01mm. Przedmiot mierzony umieszczamy pomiędzy główką śruby, a nieruchomym ramieniem. Części ruchome: główka i bębenek przesuwają się przy obrocie śruby wzdłuż nieruchomego walca z naciętą na nim skalą milimetrową. Obwód bębna podzielony jest na 50 lub 100 części; skok śruby wynosi odpowiednio 0,5mm lub 1mm. Skok śruby jest to mierzona wzdłuż osi walca odległość, o którą przesuwa się główka śruby przy obrocie bębna o 3600. Grubość przedmiotu odczytujemy w mm na skali głównej, a setne części na bębenku.

Przebieg doświadczenia i obliczenia

Na początku doświadczenia mierzymy pięciokrotnie długość początkową drutu za pomocą miary metrowej, której dokładność wynosi 1mm, przy obciążeniu prostującym 0.5kg. Średnia długość drutu przyjmuje, że wynosi l_{0 ­}= 91.96cm. Następnie mierzymy średnicę drutu, za pomocą śruby mikrometrycznej, której dokładność wynosi 0,01mm. Średnia średnic drutu d­­­­­­_0­­­=0,816mm.

Wyznaczamy odległość między działkami skali mikroskopu odczytowego porównując średnicę wskazówki zmierzoną zapomocą śruby mikrometrycznej z ilością działek zajmowanych na skali. Z obliczeń wynika, iż jedna działka na skali mikroskopu wyosi 0,06mm.

Następnie mierzymy przyrost długości drutu dla obciciążeń dodatkowych i obliczamy moduł Younga

Gdzie F=Mg - siła wydłużająca, q - przekruj drutu.

E średnie natomiast wynosi:

Szkicujemy wykresy zależności

- rys 1., rys 2.

Nachylenie tak otrzymanych prostych obliczyłem w Excelu. W obudwu wykresach nachylenie otrzymałem 0,2.

Aby obliczyć z nachylenia moduł Younga należy dokonać następujących przekształceń:

Gdzie nachylenie jest równe pochodnej naszej funkcji, czyli :

Analiza błędów

Błąd wyznaczenia modułu Younga wyliczymy metodą różniczki zupełnej :

Wnioski

Doświadczenie polegające na wyznaczaniu modułu Younga przez pomiar wydłużenia podało nam wartość tegoż modułu , która nieznacznie różni się od wartości podanej w innych źródłach . Moduł ten zależy od materiału z jakiego wykonane jest dane ciało i w naszym doświadczeniu jest on dosyć dokładny . Moduł Younga zwany jest stałą materiałową , która charakteryzuje dany rodzaj ciała . Pośród metali największe wartości modułów ma stal , a najmniejsze aluminium . Jak widać z wykresu zależność wydłużenia od przyłożonego ciężaru maleje , a potem rośnie . Wyniki oraz pezprowadzony na ich podstawie wykres nie jest dokładny , co może być spowodowane

" zmęczeniem drutu " . Jak widać z pomiarów wydłużenia drutu nie były trwałe - były to odkształcenia sprężyste , ponieważ przy odkładaniu ciężaru drut wracał do punktu wyjścia .

1

8

Marcin Grześczyk

I rok „bis” - Fizyka

29.10.1999

dr T. Biernat

(2)

- dokładność 1 działki na skali mikroskopu

---