Model ekonometryczny

WWW

Wstęp

Niniejszy model ma na celu określenie zależności ogólnej liczby wywołań stron WWW http://www.xxxxxxxx.pl od pozostałych czynników. Dane dotyczą roku 2001.W ostatnim czasie wiele witryn internetowych przechodzi spadek oglądalności, a niniejszy model ma na celu estymację parametrów mających główną przyczynę na aktualny stan popularności danego serwisu stron WWW.

Zmienną objaśnianą (endogeniczną) określoną jako Y w badaniu będzie zmienna ogólnej ilości wywołań stron WWW w danym miesiącu. Za zmienne objaśniające posłużą następujące zmienne:

• Ogólnej wielkości transferu danych z danych stron X1

• Ilości odwiedzonych stron i podstron X2

• Ilości sesji odbywających się na stronach. X3

Dane :inernet

miesiąc	Liczba wywołanych stron	Transfer w kb.	Odwiedzona ilość stron	Liczba sesji
styczeń	18129	52185	1749	539
luty	17345	47432	5006	2641
marzec	81537	250631	19234	1448
kwiecień	23456	18753	6536	1305
maj	52444	172970	7065	1235
czerwiec	40861	76543	6334	1387
lipiec	17463	47717	2374	814
sierpień	13245	3456	3875	1765
wrzesień	13195	9366	706	453
październik	5923	2456	500	798
listopad	1005	231	63	26

Wybór zmiennych do ekonometrycznego modelu związku

Przez wybór zmiennych objaśniających do modelu ekonometrycznego rozumieć należy taką selekcję (redukcję) zbioru złożonego z „kandydatek”, aby miał on sensowną interpretację merytoryczną i aby zapewniał opis zmiennej objaśnianej z założoną z góry dokładnością.

Kryteria w metodach wyboru zmiennych:

• Zmienne występujące w modelu powinny charakteryzować się dużą zmiennością,

• Należy zapewnić maksymalne skorelowanie zmiennej objaśnianej ze zmiennymi objaśniającymi,

• Zmienne objaśniające nie powinny być istotnie skorelowane między sobą,

• Należy dążyć do maksymalnego stopnia dopasowania modelu do rzeczywistych relacji gospodarczych, co wyraża się w maksymalizacji współczynnika determinacji R^2.

METODA HELLWIGA -(tzw. Metoda pojemności integralnych informacji) :

Idea tej metody sprowadza się do powołania na zmienne objaśniające takich zmiennych, które są mocno skorelowane ze zmienną objaśnianą i jednocześnie słabo skorelowane między sobą.

Punktem wyjścia jest zatem oszacowanie macierzy „R” - współczynników korelacji między potencjalnymi objaśniającymi („kandydatkami”) oraz wektora „Ro” -współczynników korelacji między zmienną objaśnianą z potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi.

Mając wyznaczone macierz R i wektor Ro przystępuje się do obliczania tzw. indywidualnych pojemności nośników informacji Xi o zmiennej Y, wchodzących w skład różnych kombinacji utworzonych z elementów danego k -elementowego zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających. A ogólna liczba tych kombinacji wynosi: l=2^k-1.

Indywidualne pojemności nośników informacji dla poszczególnych potencjalnych zmiennych objaśniających w ramach każdej kombinacji definiujemy według wzoru:

h_mj=r_j² : 1+∑|r_ij|

h_mj- wskaźnik indywidualnej pojemności informacji zmiennej X_j w m-tej kombinacji;

r_j- współczynnik korelacji zmiennej objaśnianej ze zmienną X_j;

r_ij- współczynnik korelacji między potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi X_i oraz X_j;

k_m- liczba potencjalnych zmiennych objaśniających w m-tej kombinacji.

Następnie oblicza się wskaźniki integralnej pojemności informacji w ramach każdej z „m”- kombinacji według wzoru: H_m=∑h_mj.

Przedstawiona metoda postępowania pozwala na wybór optymalnej kombinacji zmiennych objaśniających. Kryterium wyboru takiej kombinacji można zapisać jako: H_optimum = max H_m

Obliczenia :

L=2^3-1=7

C1	x1				H1	0,92989
C2	x2				H2	0,870898
C3	x3				H3	0,097854
C4	x1x2	0,495126	0,463716		H4	0,958842
C5	x1x3	0,744742	0,078371		H5	0,823113
C6	x2x3	0,602627	0,067711		H6	0,670338
C7	x1x2x3	0,437247	0,374861	0,057773	H7	0,869881

Optymalną kombinacją zmiennych objaśniających liczbę wywołań są:

X₁ i X_{2 .}

Szacowanie parametrów modelu z wieloma zmiennymi objaśniającymi

Szacowanie parametrów modelu ekonometrycznego sprowadza się do przypisywania nieokreślonym liczbowo parametrom konkretnych wartości liczbowych. Szacowanie to powinno być przeprowadzone w taki sposób, aby zapewniło najlepsze dopasowanie modelu do danych empirycznych.

Powszechnie wykorzystywaną metodą szacowania parametrów liniowych modeli ekonometrycznych jest metoda najmniejszych kwadratów.

Zastosowanie metody najmniejszych kwadratów wymaga przyjęcia następujących założeń:

• szacowany model jest modelem liniowym,

• zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi o elementach ustalonych,

• nie występuje zjawisko współliniowości zmiennych objaśniających,

• składnik losowy ma wartość oczekiwaną równą zeru i stałą skończoną wariancję,

• nie występuje zjawisko autokorelacji składnika losowego, czyli zależności składnika losowego w różnych jednostkach czasu.

W celu przedstawienia klasycznej metody najmniejszych kwadratów w zastosowaniu do modelu liniowego z wieloma zmiennymi objaśniającymi:

Y = α1 X1 + α2 X2 +...+ αk Xk + ε

wprowadzimy wzór na wektor (α^ )- ocen parametrów strukturalnych modelu :

α^ = ( X` * X ) ¹ * X` * Y gdzie:

α^ - to estymator wektora parametrów strukturalnych;

X - to macierz obserwacji dokonanych na zmiennych objaśniających;

Y - to wektor obserwacji dokonanych na zmiennej objaśnianej.

Obliczenia:

miesiąc	y	x1	x2	y^	et	et^2	(Yt-Ysr)^2
styczeń	18129	52185	1749	18919,23838	-790,2383817	624476,6999	59969536
luty	17345	47432	5006	23401,55226	-6056,552259	36681825,27	72726784
marzec	81537	250631	19234	84786,89891	-3249,898909	10561842,92	3098480896
kwiecień	23456	18753	6536	20570,71353	2885,286467	8324877,999	5841889
maj	52444	172970	7065	50228,87361	2215,126389	4906784,92	706018041
czerwiec	40861	76543	6334	31024,74038	9836,25962	96752003,32	224640144
lipiec	17463	47717	2374	19115,62232	-1652,622321	2731160,534	70728100
sierpień	13245	3456	3875	13328,44774	-83,44774407	6963,525991	159466384
wrzesień	13195	9366	706	9207,175982	3987,824018	15902740,4	160731684
październik	5923	2456	500	7577,747141	-1654,747141	2738188,1	398002500
listopad	1005	231	63	6441,98974	-5436,98974	29560857,43	618417424
					suma	208791721,1	5575023382

Y śred=		25873
Se^2=		23199080,12
Se=		4816,542341
Fi^2=		0,037451273
	18129								1		52185			1749
	17345								1		47432			5006
	81537								1		250631			19234
	23456								1		18753			6536
	52444								1		172970			7065
	40861								1		76543			6334
y=	17463					x=			1		47717			2374
	13245								1		3456			3875
	13195								1		9366			706
	5923								1		2456			500
	1005								1		231			63
	1		1		1		1	1		1		1	1		1		1
X T=	52185		47432		250631		18753	172970		76543		47717	3456		9366		2456
	1749		5006		19234		6536	7065		6334		2374	3875		706		500

	11	681740			53442
=	681740	1,06301E+11			7113305938
	53442	7113305938			552222776
	0,17167185		7,79045E-08			-1,76172E-05
=	7,79045E-08		6,81893E-11			-8,85901E-10
	-1,76172E-05		-8,85901E-10			1,49273E-08

	284603
	35860622427
	2574580221

	6295,009322
	0,18665937
	1,64860481

Postać modelu:

Badanie istotności parametrów strukturalnych

Badanie istotności parametrów strukturalnych (1, (2, ..., (k liniowego modelu ekonometrycznego ma na celu sprawdzenie, czy zmienne objaśniające istotnie oddziałują na zmienną objaśnianą, czy też nie. Dla każdego i = 1,2,...k weryfikuje się hipotezę zerową H0: [(i = 0] wobec alternatywnej H1: [(i <0].

Sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka:

t(i) =|α^_i | : S(α^_i)

α^i - wartość oceny parametru strukturalnego

D(α^i) - standardowy błąd szacunku tego parametru

Z tablic testu „ t ” -studenta dla przyjętego poziomu istotności ( oraz dla n-k stopni swobody odczytuje się wartość krytyczną I*. Jeśli Ii ≤ I*, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0. Parametr strukturalny (i różni się nie istotnie od zera, a zmienna objaśniająca Xi nie wpływa w istotny sposób na zmienną objaśniającą Y. Natomiast jeśli Ii > I*, hipotezę H0 należy odrzucić na rzecz hipotezy H1.

W tym przypadku parametr (i różni się w sposób istotny od zera i zmienna objaśniająca Xi oddziałuje w sposób istotny na zmienną objaśniającą Y.

Lub prościej:

t≥2 to parametr badany jest ISTOTNY;

t<2 to parametr badany jest NIE ISTOTNY.

Po zastosowaniu testu istotności T-studenta okazało się, że zmienna X5 czyli zmienna obrazująca liczbę samochodów o złym stanie technicznym nie jest zmienną istotną. W takim wypadku należy oszacować ponownie model wykluczając zmienną nieistotną.

Obliczenia:

	3982629	1,807312534	-408,7039431
	1,807312534	0,001581929	-0,020552093
	-408,7039431	-0,020552093	0,346299305

	1995,652525		3,154361415
	0,039773476		4,693061564
	0,588472009		2,801500811

Test Studenta wykazał istotność obydwu zmiennych modelu liniowego.

Przy zastosowaniu KMNK linowy model ekonometryczny ma postać:

[1995,65] [0,3997] [0,5884]

Interpretacja:

Przy wzroście wielkości transferu o jedną jednostkę ilość wywołań wzrośnie o 0,1866 jednostki.

Przy wzroście ilości odwiedzonych stron i podstron o jedną jednostkę ilość wywołań wzrośnie o 1,649 jednostki.

Przy szacowaniu parametru α1 mylimy się średnio o ± 0,3997, że wyniesie on 0,1866.

Przy szacowaniu parametru α2 mylimy się średnio o ± 0,5884, że wyniesie on 1,649.

Średnia wielkość liczby wywołań stron WWW wyniosła 25873.

Odchylenie standardowe reszt wynosi 3755,3 co oznacza, że wartości empiryczne liczby wywołań stron WWW odchylają się od wartości teoretycznych o ± 4816,46

Współczynnik zbieżności wynosi 0,0374 Informuje, że 3,74 % ilość wywołań stron WWW nie jest wyjaśniona przez zbudowany model.

Prognoza

Prognoza- wynik predykcji (czyli wnioskowania przyszłości na podstawie modelu ekonometrycznego).

Celem prognozy jest oszacowanie przyszłej ilości wywołań stron WWW na podstawie dostępnych obecnie danych.

Celem niniejszej pracy jest oszacowanie czy witryna będzie odwiedzana przez potencjalnych użytkowników sieci w grudniu danego roku.

Etapy prognozowania:

1. wyznaczenie przyszłych wielkości parametrów x1 i x2

Na podstawie linii trendu oszacowana wielkość transferu dla grudnia wyniesie : -9989

Na podstawie linii trendu oszacowana ilość odwiedzanych stron dla grudnia wyniesie -162,66

2) Po otrzymaniu prognoz dla poszczególnych zmiennych należy obliczyć przewidywaną ogólną liczbę wywołań stron WWW wg wzoru:

Ygrudzien=6295,01+0,1866*( -9989)+1,649*(-162,66)= 4162,8

Prognozowana liczba wywołań stron WWW wyniesie 4162,8 odwiedziny.

Średni błąd predykcji

Średni błąd predykcji określa w jakim stopniu rzeczywista wartość zmiennej objaśnianej morze odchylać się od wyznaczonej prognozy

Obliczenia:

	1
=	-9989
	-162,66	X =	1	-9989	-162,66

	0,17167185	7,79045E-08	-1,76172E-05
XTX-1	7,79045E-08	6,81893E-11	-8,85901E-10
	-1,76172E-05	-8,85901E-10	1,49273E-08

Se^2=

23199080,12

2044,432

Rzeczywista liczba wywołań stron WWW może odchylać się od wyznaczonej prognozy o +/- 2044,432

0,04911 *100%=4,9 %

Błąd predykcji stanowi 4,9 % prognozowanej liczby wywołań stron WWW .

Nie można obliczyć błędu prognozy ze względu na brak danych o rzeczywistym poziomie zjawiska.

Podsumowanie.

Na podstawie otrzymanych wyników widać wyraźny spadek zainteresowania witryną internetową. Obecny model w dobrym stopniu opisuje zależności pomiędzy zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi.

---