Zadanie 1

1. W pewnym punkcie odwzorowania płaszczyznowego elementarne skale długości w kierunkach głównych wynoszą: a = 1.000125, b = 0.999740. Podaj w [cm/km] wartość zniekształcenia długości w tym punkcie.

2. W pewnym punkcie odwzorowania płaszczyznowego zniekształcenie liniowe wynosi 3.5 cm/km. Podaj wartość elementarnej skali długości w tym punkcie

Zadanie 2

Opracować odwzorowanie dla obszaru Polski, charakteryzujące się minimalnymi zniekształceniami kątowymi i liniowymi równomiernie rozłożonymi na obszarze odwzorowywanym. Zaproponować przesunięcie początku układu współrzędnych X,Y tak aby dla całego kraju otrzymać współrzędne dodatnie, 6-cio cyfrowe.

Obszar Polski zawiera się w granicach ϕ(49°÷55°), λ(15°÷24°). W przybliżeniu ma kształt kolisty przez co szczególnie nadaje się do odwzorowań płaszczyznowych.

Minimalne zniekształcenia kątowe i liniowe będzie można uzyskać poprzez odpowiednie przyłożenie płaszczyzny odwzorowawczej:

• punkt główny w centrum obszaru odwzorowania,

• odwzorowanie sieczne,

• odpowiedni wybór rodzaju odwzorowania (ze względu na charakter zniekształceń).

Analiza odwzorowań możliwych do użycia zrealizowana zostanie z wykorzystaniem wzorów dla odwzorowań normalnych, gdyż wielkość zniekształceń jest funkcją jedynie odległości od punktu głównego (punktu styczności lub linii sieczności)

Punktem głównym odwzorowania płaszczyznowego mógłby być punkt o współrzędnych ϕ₀ = 52°, λ₀ =19.5°. Promień kuli do odwzorowania przyjęto równy R=6371 km. Odległość sferyczna (kąt p) od punktu głównego do granic obszaru odwzorowania wyniesie:

Skale i zniekształcenia w różnych odwzorowaniach płaszczyznowych:

Ortograficzne:
,
,

Środkowe:
,
,

Stereograficzne:
,
,

Postela:
,
,

Lamberta:
,
,

Maksymalne zniekształcenia będą występowały na skraju obszaru odwzorowania dla kąta p=3.6° (w przypadku odwzorowania stycznego), zaś zerowe zniekształcenia w punkcie głównym, tj. w tym przypadku punkcie styczności płaszczyzny z kulą.

Tabela 1.

Odwzorowania w poł. stycznym	Skala a Pkt.Gł ÷ Pkt.Sk	Skala b Pkt.Gł ÷ Pkt.Sk	Zn(a) [m/km] Pkt.Gł ÷ Pkt.Sk	Zn(b) [m/km] Pkt.Gł ÷ PktSk	2ω [′] Pkt.Gł ÷ Pkt.Sk.
Ortograficzne	1 ÷ 0.998027	1	0 ÷ -1.973	0	0 ÷ 14
Środkowe	1 ÷ 1.003958	1 ÷ 1.001977	0 ÷ 3.958	0 ÷ 1.978	0 ÷ 14
Stereograficzne	1 ÷ 1.000988	1 ÷ 1.000988	0 ÷ 0.988	0 ÷ 0.988	0
Postela	1	1 ÷ 0.062708	0	0 ÷ 62.708	0 ÷ -4.5
Lamberta	1 ÷ 0.999507	1 ÷ 1.000494	0 ÷ -0.493	0 ÷ 0.494	0 ÷ -6.8

Z tabeli 1 wynika, że stosunkowo niewielki maksymalne zniekształcenia liniowe i kątowe mają odwzorowania stereograficzne ok. 1m/km przy zerowych zniekształceniach kąta i Lamberta ok. ±0.5m/km przy 7′ zniekształceniu kąta.

Wartości zniekształceń ulegną zmianie w przypadku zastosowania płaszczyzny siecznej zamiast stycznej. Efekt sieczności uzyskuje się przez uwzględnienie dodatkowej skali (jednakowej dla całego obszaru). Odwzorowanie sieczne wykorzystuje się do uzyskania bardziej równomiernego rozkładu zniekształceń na całym obszarze odwzorowania np. w punkcie głównym i w punktach skrajnych zniekształcenie będzie jednakowe, co do wartości bezwzględnej, lecz o przeciwnych znakach.

W przypadku odwzorowania stereograficznego, stycznego zniekształcenie maksymalne wynosi: zn_styS=+0.988m/km w punkcie skrajnym i zn_styG=0.000m/km w punkcie głównym (niezależnie od kierunku, tab. 1). Równomierne rozłożenie zniekształceń uzyskane przez położenie sieczne byłoby następujące: zn_sieG = -0.494m/km w punkcie głównym oraz zn_sieS = +0.494m/km w punkcie skrajnym. Skale w tych punktach wyniosłyby odpowiednio: m_sieG = 0.999506 i m_sieS = 1.000494. Aby uzyskać takie wartości skal należałoby skale z położenia stycznego m_sty pomnożyć przez dodatkową skalę m₀ równą:

Dla punktu głównego będzie:
,

dla punktu skrajnego:

Zatem odwzorowaniu stycznemu należy nadać dodatkową skalę równą 0.999506.

W przypadku odwzorowania Lamberta w położeniu stycznym mamy do czynienia ze skalami (zniekształceniami) zależnymi od kierunków (tabela 1). Dla kierunku południkowego skala zmienia się w zakresie 1÷0.999507, a dla kierunku równoleżnikowego w zakresie 1÷1.000494. Takie wartości skal powodują, że południki doznają skrócenia zaś równoleżniki rozciągają się. Z tego względu dodatkowa skala m₀ (np. wynikająca ze zmiany położenia stycznego na sieczne) mogłaby spowodować bardziej równomierne rozłożenie zniekształceń w jednym kierunku i powiększenie zniekształceń w drugim kierunku. Wprowadzenie położenia siecznego (m₀<1) spowodowałoby zwiększenie zniekształcenia (skrócenia) w kierunku południkowym (w punkcie głównym m_sieG<1 a w punkcie skrajnym m_sieS<m_sty - wzrost zniekształcenia) i bardziej równomierne rozłożenie zniekształceń w kierunku równoleżnikowym (w punkcie głównym m_sieG<1 a w punkcie skrajnym m_sieS<m_sty - zmniejszenie zniekształcenia). Warto zauważyć (tabela 1), że maksymalne zniekształcenia występujące w odwzorowaniu stycznym Lamberta występują na skraju obszaru i co do wartości bezwzględnej są sobie równe: zn(a) = -0.493m/km i zn(b) = +0.494m/km.

Z powyższej analizy wynika, że bardziej równomiernego rozłożenia zniekształceń liniowych przy ich minimalnej wartości bezwzględnej w przypadku odwzorowania Lamberta nie można osiągnąć. Warto zauważyć, że odwzorowanie stereograficzne sieczne i Lamberta styczne charakteryzuje się identycznymi maksymalnymi zniekształceniami liniowymi (tabela 2)

Tabela 2.

Odwzorowanie	Skala a Pkt.Gł ÷ Pkt.Sk	Skala b Pkt.Gł ÷ Pkt.Sk	Zn(a) [m/km] Pkt.Gł ÷ Pkt.Sk	Zn(b) [m/km] Pkt.Gł ÷ PktSk	2ω [′] Pkt.Gł ÷ Pkt.Sk.
Stereograficzne sieczne	0.999506 ÷ 1.000494	0.999506 ÷ 1.000494	-0.494 ÷ +0.494	-0.494 ÷ +0.494	0
Lamberta styczne	1 ÷ 0.999507	1 ÷ 1.000494	0 ÷ -0.493	0 ÷ 0.494	0 ÷ -6.8

Propozycja przesunięcia początku układu współrzędnych:

Współrzędna X: dla 49° → 5448551 m

dla 55° → 6115721 m, średnio 5782136 m ≈ 5782000 m,

X₀ = 782000m X (244200m ÷ 912200m) (±3°),

Współrzędna Y: dla 5.5° na szerokości 49° → 401227 m

dla 5.5° na szerokości 55° → 350783 m,

należy przyjąć połowę współrzędnej większej czyli ≈ 200000 m,

Y₀ = 400000m Y (200000m ÷ 600000m) (±2.75°),

Współrzędna X zredukowana została o 5000000m w stosunku do współrzędnej mierzonej od równika. Obie współrzędne X,Y na obszarze całej Polski są liczbami dodatnimi, 6-cio cyfrowymi. Współrzędna X zachowała dodatkowo pewien związek z odległością od równika, bowiem różni się od niej o wartość ok. 5000000m.

≈ 400 km

---