Odwzorowania azymutalne (płaszczyznowe) w położeniu biegunowym.
Podział:
- centralne;
- równokątne (stereograficzne);
- ortograficzne;
- równopolowe Lamberta;
- równoodległościowe Postela.
Punkt główny odwzorowania, w tym przypadku jest umiejscowiony dokładnie na biegunie, który jest jednocześnie punktem zenitalnym. Płaszczyzna równika stanowi płaszczyznę horyzontu. Siatka geograficzna złożona jest z południków i równoleżników. Południki krzyżują się w biegunie oraz przecinają pod kątem prostym równoleżniki. Obrazy południków w położeniu biegunowym zawsze tworzą pęk prostych. Kąty między obrazami południków na płaszczyźnie rzutów są takie same jak kąty między południkami na kuli ziemskiej. W zależności od przyjętego sposobu konstrukcji siatki odstępy między obrazami równoleżników w miarę oddalania się od bieguna ( punkt główny - środek):
- rosną:
- centralna;
- stereograficzna;
- są jednakowe:
- równoodległościowe Postela;
- maleją:
-równopolowa Lamberta;
- ortograficzna.
Siatki azymutalne w położeniu biegunowym, najprostsze konstrukcyjnie, są rzadko wykorzystywane. Częściej wykorzystuje się położenia ukośnie czy poprzeczne, a sama siatka mieści się na niewielkim arkuszu.
Siatka azymutalna centralna
Inaczej nazywana siatką środkową, ortodromową lub gnomoniczną. Używana już była w VI w. p.n.e. przez Talesa z Miletu do prezentacji map układu gwiazd. W siatce tej odległość między równoleżnikami w marę oddalania się od punktu styczności rosną. Ogranicza to stosowanie tej siatki, ponieważ w położeniu centralnym nie można zrzutować na płaszczyznę oraz zniekształcenia bardzo rosną w miarę oddalania się od środka. Cechuje się jednak pewną własnością, której nie posiada żadne inne odwzorowanie: wszystkie łuki kół wielkich, stanowiące najkrótsze odległości między dwoma dowolnymi punktami na kuli ziemskiej (ortodromy) odwzorowują się na niej jako linie proste.
Siatka stereograficzna
Jest to siatka równokątna, a jej twórcą był prawdopodobnie Hippach i jej pierwszym zastosowaniem była powierzchnia nieba. Jest to rzut perspektywiczny, w którym promienie rzutujące wychodzą ze środka odwzorowanej bryły. Obwód tego koła jest jednocześnie obrazem równika. Odstępy między obrazami równoleżników rosną wraz ze wzrostem odległości od punktu głównego , ale odbywa się to mniej gwałtownie niż w siatce centralnej. Odwzorowanie stereograficzne ma także inną właściwość. Dowolne koło znajdujące się na powierzchni kuli odwzorowuje się na koło, niezależnie od płaszczyzny rzutów.
Odwzorowanie azymutalne ortograficzne
Powstaje ono wówczas, gdy punkty węzłowe siatki geograficznej rzutowane są na płaszczyznę promieniami wychodzącymi z punktu znajdującego się w nieskończoności, co oznacza, że promienie rzutujące są równoległe i padają prostopadle na płaszcz snę rzutów. Równoleżniki są współśrodkowymi okręgami o rzeczywistych długościach ( wyrażonych w skali). Odstępy między obrazami równoleżników, w przeciwieństwie do siatek centralnej i stereograficznej, szybko maleją w miarę oddalania się od punktu styczności. Oznacza to, że zniekształcenia długości w kierunku południków oraz zniekształcenia pól powierzchni i kątów rosną od punktu głównego na zewnątrz siatki.
Nieperspektywiczne:
Odwzorowanie azymutalne równodługościowe Postela (nazwa pochodzi od twórcy) XVI w.
W biegunowej siatce Postela obrazy południków są liniami o wiernie odtworzonej długości. Odwzorowują się one zatem w postaci pęku odcinków przecinających się w punkcie głównym pod rzeczywistymi kątami. Równoleżniki tworzą okręgi współśrodkowe, ale ze względu na przyjęte założenie odstępy między nimi są rzeczywiste. W tym odwzorowaniu można więc przedstawić całą kulę ziemską ( nie ma takiej możliwości w przypadku siatek omówionych poprzednio). Dzięki zachowaniu rzeczywistych długości wzdłuż obrazów wertykałów (połowa kół wielkich - obwodowe koła Ziemi zbiegające się na biegunach) siatka Postela jest stosowana przede wszystkim do sporządzania map radiokomunikacji morskiej i lądowej. Umożliwia bezpośrednie odczytywanie rzeczywistych odległości. Znakomicie nadaje się do prezentacji obszarów polarnych, kontynentów i planiglobów oraz w astronomii.
Odwzorowanie azymutalne równopolowe Lamberta (nazwa pochodzi od twórcy) 1772
Nieperspektywiczność oznacza, że podobnie jak w przypadku siatki Postela, nie można tego odwzorowania otrzymać w wyniku rzutu geometrycznego. Siatka ta spełnia warunek zachowania zgodności pól powierzchni obrazu i oryginału. W odwzorowaniu tym można przedstawić całą kulę ziemską. Odstępy między równoleżnikami maleją w miarę oddalania się od punktu głównego odwzorowania, ale odbywa się to znacznie wolniej niż w przypadku siatki ortograficznej. Występuje tu brak zniekształceń pól powierzchni, jednak występują niewielkie zniekształcenia liniowe i kątowe, ale tylko obrazu półkul. Szerokie zastosowanie ma przede wszystkim w kartografii szkolnej.