2.2 Odwzorowania płaszczyznowe (azymutalne)

Odwzorowaniem płaszczyznowym normalnym nazywamy odwzorowanie powierzchni kuli na płaszczyznę, w którym spełnione są dwa następujące warunki:

• obrazy południków tworzą pęk prostych przecinających się pod takimi samymi kątami jak południki na kuli,

• 
  obrazy wszystkich równoleżników są kołami współśrodkowymi, których środek leży w wierzchołku powyższego pęku

gdzie
- funkcja kąta p,

Dla tak przyjętych układów równania obu powierzchni będą miały postać:

(2.2.1)

- I forma kwadr. dla kuli
- I forma kwadr. dla płaszczyzny

Zatem wzór ogólny na skalę w odwzorowaniu płaszczyznowym będzie miał postać:

Następnie wyznaczymy skale główne odwzorowania. Kierunki główne pokrywają się tu z kierunkami południków i równoleżników (linii parametrycznych)

Skala w kierunku południków:
Skala w kierunku równoleżników:

2.2.1 Odwzorowania płaszczyznowe

Rzut ortograficzny - jeśli rzutowanie powierzchni kuli na płaszczyznę zrealizujemy wzdłuż prostych prostopadłych do płaszczyzny to otrzymamy rzut ortograficzny.

A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:

W tym odwzorowaniu południki ulegają skróceniu, a równoleżniki zachowują swój długość, kąty ulegają powiększeniu a pola powierzchni zmniejszeniu

Rzut środkowy (gnomiczny, centralny)

W tym odwzorowaniu nie zakładamy z góry warunku na zniekształcenia. Obraz powierzchni kuli otrzymujemy jako rzut, którego środek jest w środku kuli:

Funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:

W tym odwzorowaniu południki i równoleżniki ulegają wydłużeniu, kąty ulegają zmniejszeniu a pola powierzchni powiększeniu

Rzut stereograficzny (wiernokątny)

Warunkiem wiernokątności odwzorowania jest równość skal w kierunkach głównych:

A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:

W tym odwzorowaniu południki i równoleżniki ulegają wydłużeniu, kąty zachowują się bez zniekształceń a pola powierzchni powiększeniu

2.2.2 Odwzorowania płaszczyznowe nieperspektywiczne

Odwzorowanie równoodległościowe Postela

W tym przypadku założymy, że długości w kierunku południków nie ulegają zniekształceniu:

założenie to prowadzi do równania:
→
→

Geometryczna interpretację tego wzoru

przedstawia rys. 5:

W tym odwzorowaniu południki zachowują swoją długość, równoleżniki ulegają wydłużeniu, kąty kąty i pola powierzchni ulegają powiększeniu

Odwzorowanie równopolowe Lamberta

Zakładamy w tym przypadku, że skala pola jest równa jedności stąd:

Wstawiając wyrażenia na a i b otrzymujemy:
→

A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:

W tym odwzorowaniu południki ulegają skróceniu, równoleżniki ulegają wydłużeniu, kąty powiększają się a pola powierzchni nie ulegają zmianie.

2.2.3 Odwzorowania płaszczyznowe ukośne i poprzeczne

Omawiane wyżej odwzorowania normalne są szczególnym przypadkiem odwzorowania ukośnego. Punkt główny (G) w odwzorowaniu ukośnym nie pokrywa się z biegunem (B) lecz znajduje się w dowolnym punkcie na powierzchni kuli. Wyprowadzone wzory odwzorowań normalnych można wykorzystywać w przypadku odwzorowania ukośnego pod warunkiem zastąpienia współrzędnych (λ,p) współrzędnymi azymutalnymi (biegunowymi) (α,δ) (Rys. 7)

Związek między współrzędnymi biegunowymi (α,δ) i geograficznymi (ϕ,λ) wynika z trójkąta sferycznego GBP (Rys.8)

Wzory kolejnych (omawianych wyżej) odwzorowań płaszczyznowych w przypadku odwzorowań ukośnych będą miały postać:

gdzie funkcja r(δ) odpowiada funkcji r(p) z odwzorowań normalnych np. dla odwzorowania płaszczyznowego. W przypadku odwzorowania poprzecznego punkt główny znajduje się na równiku kuli (ϕ₀=0°). Wtedy wzory (...) ulegną uproszczeniu.

2.2.4 Odwzorowania płaszczyznowe sieczne

W odwzorowaniach płaszczyznowych siecznych płaszczyzna przecina kulę stykając się z nią wzdłuż tzw. okręgu sieczności (rys. 8). Sieczność uzyskuje się poprzez nadanie odwzorowaniu dodatkowej skali liniowej mniejszej od jedności. Między skalami liniowymi w odwzorowaniu siecznym i stycznym zachodzi związek:

gdzie m₀ jest dodatkową skalą powodującą sieczność. Niezależnie od rodzaju odwzorowania, odwzorowania sieczne charakteryzują się bardziej równomiernym rozkładem zniekształceń liniowych w stosunku do odwzorowań stycznych. Odpowiednio dobrana skala m₀ dla danego obszaru odwzorowania umożliwia uzyskanie najmniejszych (co do wartości bezwzględnych) zniekształceń liniowych.

Z równania (..) wynika również związek między współrzędnymi X,Y w odwzorowaniu stycznym i siecznym:

Kartografia matematyczna. Odwzorowania płaszczyznowe kuli - skrót

2

B

P′

r(p)

Rys. 1

y

x

r(p)

P′

B

R

B

P′

r(p)

Rys. 2

P

R

B

P′

r(p)

Rys. 3

P

R

B

P′

r(p)

Rys. 4

P

R

R

B

P′

r(p)

Rys. 5

P

r(p)

B

P′

r(p)

Rys. 6

P

r(p)

α

G

90°-ϕ

P′

B

P(ϕ,λ)

P

G(ϕ₀,λ₀)

Rys. 7

B

δ

α

δ

P(ϕ,λ)

90°-ϕ

G(ϕ₀,λ₀)

Rys. 8

B

P

G

P′

B

okrąg styczności

---