ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ

Macierzą nazywamy odwzorowanie a z iloczynu kartezjańskiego M
N
R

Macierzą prostokątną, o m wierszach i n kolumnach, nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i,j), gdzie
,
, liczbę

Macierz nazywamy kwadratową, gdy liczba wierszy równa jest liczbie kolumn. Gdy tak nie jest macierz nazywamy prostokątną.

Macierz wierszowa (kolumnowa) / Wektor wierszowy (kolumnowy)
gdy jeden wiersz (kolumna)

Główną przekątną macierzy kwadratowej tworzę elementy
, gdzie i
(1,n)

Macierz diagonalna - macierz, która poza główna przekątną posiada same zera. Zawsze jest macierzą symetryczną.

Stopień macierzy kwadratowej - ilość kolumn / wierszy tej macierzy

Macierz jednostkowa - macierz diagonalna, która na głównej przekątnej posiada same jedynki

Macierz symetryczna - macierz kwadratowa, w której

Macierz trójkątna - pod / nad główną przekątną są same zera

Osobliwości algebry macierzy:

- mnożenie nie jest przemienne

-
- nie wynika z tego, że A=O lub B=O

-
nie wynika z tego, że D=E

Działania na macierzach:

1. Transponowanie

- transponować macierz to znaczy zamienić wiersze na kolumny

-

- A - symetryczna

2. Dodawanie dwóch macierzy

- muszą mieć te same wymiary

-

3. Mnożenie macierzy przez liczbę R

-

4. Odejmowanie

A-B=A+(-1)B

5. Mnożenie macierzy przez macierz

• nie jest przemienne!

• warunek: pierwsza macierz musi mieć taką sama liczbę kolumn jak druga wierszy

• iloczyn macierzy przez macierz jednostkową równy jest tej macierzy; macierz jednostkową jest elementem neutralnym mnożenia

Wyznaczniki

det A - wyznacznik / determinant A

Wyznacznik jest liczbą związaną z macierzą w sposób jednoznaczny

Każde zaburzenie naturalnego porządku w zbiorze liczb naturalnych nazywamy inwersją

Definicja wyznacznika: Wyrażenie
, gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie możliwe permutacje
liczb naturalnych 1,2,...,n i k - ilość inwersji w permutacji
, nazywamy wyznacznikiem macierzy A.

Reguła Sarrusa- liczenie wyznacznika macierzy stopnia 2, 3 (przez dopisywanie kolumn / wierszy)

Minorem (
) macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy powstały z macierzy A w wyniku usunięcia z niej i-tego wiersza i j-tej kolumny

Dopełnieniem algebraicznym (
) elementu
macierzy A nazywamy iloczyn:

Twierdzenie Laplace'a

Wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) i ich dopełnień algebraicznych.

- rozwinięcie wyznacznika względem i-tego wiersza

- rozwinięcie wyznacznika względem j-tej kolumny

Własności wyznaczników :

1. jeżeli w dowolnym wierszu / kolumnie znajdują się same zera to wyznacznik równy jest 0

2. zamiana kolejności dwóch dowolnych wierszy / kolumn powoduje zmianę znaku wyznacznika na przeciwny

3. wspólny czynnik elementów dowolnego wiersza / kolumny można wyłączyć przed symbol wyznacznika

4. wyznacznik macierzy, w której dwa dowolne wiersze / kolumny są proporcjonalne lub jednakowe jest równy 0

5. wyznacznik macierzy, której dowolny wiersz / kolumna jest kombinacją liniową innych wierszy / kolumn jest równy 0

6. Tw. Cauchy'ego

Jeżeli macierze A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia to:

7. wartość wyznacznika nie ulega zmianie jeżeli do elementów dowolnego wiersza / kolumny dodamy elementy innego wiersza / kolumny pomnożone przez dowolną liczbę rzeczywistą

8. wyznacznik macierzy równy wyznacznikowi macierzy transponowanej

9. suma iloczynów elementów pewnego wiersza/kolumny i dopełnień algebraicznych odpowiadających elementów innego wiersza / kolumny jest równa zeru

macierz osobliwa - wyznacznik ma równy zero

macierz nieosobliwa - macierz o wyznaczniku różnym od zera

Rząd macierzy

- wiersze macierzy

Wiersze
nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli istnieje taki układ liczb
, z których co najmniej jedna jest różna od zera, spełniający zależność

Jeżeli powyższa zależność zachodzi zachodzi tylko w przypadku, gdy
, to wiersze
nazywamy liniowo niezależnymi. (Mówimy, że wiersze lub kolumny macierzy są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy nie są liniowo zależne).

Jeżeli wiersz lub kolumna będzie postaci same zera z wyjątkiem jednego elementu to mamy gwarancję, że ten wiersza / ta kolumna jest liniowo niezależna.

Jeżeli wiersz / kolumna składa się z samych zer to jest liniowo zależny.

Rzędem macierzy nazywamy maksymalna liczbę liniowo niezależnych kolumn macierzy.

Twierdzenie:

Maksymalna ilość liniowo niezależnych wierszy macierzy jest równa maksymalnej ilości liniowo niezależnych kolumn tej macierzy.

Własności rzędu macierzy:

• 
  

• rząd macierzy, w której wszystkie elementy równe są zero jest równy 0

• rząd macierzy jednowierszowej / jednokolumnowej, w której przynajmniej jeden element jest różny od zera jest równy 1

• Rząd macierzy nie ulega zmianie gdy:

• usuniemy z niej wiersz / kolumnę składająca się z samych ser

• przeprowadzimy na macierzy operacje elementarne :

• zamiana kolejnością dwóch dowolnych wierszy / kolumn macierzy

• pomnożenie dowolnego wiersza / kolumny przez dowolną liczbę R różną od zera

• dodanie do dowolnego wiersza / kolumny innego wiersza / kolumny pomnożonego przez dowolną liczbę R

• transponowanie macierzy

Metody wyznaczania rzędu macierzy:

1. na podstawie definicji

2. wynika z twierdzenia:

Twierdzenie: rząd macierzy jest równy maksymalnemu stopniowi nieosobliwej podmacierzy danej macierzy

3. sprowadzenie macierzy do postaci bazowej (kanonicznej) za pomocą działań elementarnych

Twierdzenie: rząd macierzy jest równy stopniowi macierzy jednostkowej występującej w jej postaci bazowej.

Macierz odwrotna

Def: Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
spełniającą następujący warunek:

Metody wyznaczania macierzy odwrotnej:

1. dla małych macierzy
   ; jeżeli powstały układ sprzeczny to nie będzie macierzy odwrotnej

2. Twierdzenie: jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą to istnieje do niej macierz odwrotna wyrażona wzorem:
   

- macierz dołączona, czyli transponowana macierz dopełnień algebraicznych

3. metoda operacji elementarnych, odwracania macierzy

Metoda ta polega na :

• 
  zapisaniu nowej macierzy poprzez dopisanie do macierzy A z prawej strony macierzy I
  

• 
  wykonaniu operacji elementarnych NA WIERSZACH (!!!) nowo utworzonej macierzy, tak aby na miejscu macierzy A pojawiła się macierz
  . Wtedy na miejscu macierzy I pojawi się macierz odwrotna
  

• macierz odwrotna do macierzy odwrotnej
  jest identyczna z daną macierzą, czyli
  

• A,B - nieosobliwe macierze tego samego stopnia
  

• Macierz transponowana macierzy odwrotnej równa jest macierzy odwrotnej do macierzy transponowanej, czyli
  

• Wyznacznik macierzy odwrotnej
  jest odwrotnością wyznacznika macierzy A, tzn.
  

---