Одесский национальный медицинский университет

Кафедра биофизики, информатики и медицинской аппаратуры

Методические указания

студентам 1 курса по теме

“ Основы дифференциального исчисления”

Утверждено на методическом совещании кафедры Протокол № от “___” ___ 2009 г. Зав кафедрой ___________________

Переутверждено на методическом совещании кафедры Протокол № от “___” ___ 201_ г. Зав кафедрой ___________________

Одесса 2009 г.

1.Тема: “ Основы дифференциального исчисления”.

2. Актуальность темы.

Методы математического анализа нашли широкое применение в клинической медицине и здравоохранении. Они используются, в частности, при разработке математических моделів для приблизительного описания функционирования отдельных систем и органов, моделей биологических систем. Современные медицина та биология при построению теории биосистем широко используют методы математического анализа связей исходных координат с входными действиями. Простейшее математическое описание таких связей можно сделать с помощью соответствующих алгебраических функций. Такие модели биосистем носят название функциональными. Знакомство с идеями и методами математического анализа является необходимым элементом профессионального образования каждого работника здравоохранения. Быстрый рост роли математических методов описания и анализа функционирования в последние связанное со стремительным развитием компьютерної техники и, особенно, соответствующего программного обеспечения.

С некоторыми программами моделирования и анализа медико-биологических процессов Вы познакомитесь на 2 курса, изучая курс "Медицинской информатики". Что касается темы первого занятия раздела, то ее актуальность определяется тем, что среди элементарных методов математического анализа чаще всего используют дифференциальное и интегральное исчисления.

3. Целые занятия.

Общей цілью занятие есть научить студентам сознательно использовать аппарат дифференциального исчисления при решении задач медико-биологического профиля.

Конкретные целые занятия - научить студентам вычислять :

• дифференциалы функции одной сменной;

• частинні производные;

• полные дифференциалы функций нескольких сменных

• градиенты.

Студент должен знать (2 уровень):

• интерпретацию механического и геометрического содержания производной;

• определение дифференциала функции одной сменной;

• интерпретацию механического и геометрического содержания дифференциала;

• определение частинної производной функции нескольких сменных;

• определение полного дифференциала функции нескольких сменных;

• определение градиента.

Студент должен овладеть привычками (3 уровень):

• вычисление производной функции одной сменной;

• вычисление дифференциала функции одной сменной;

• вычисление частинної производной функции нескольких сменных;

• вычисление полного дифференциала функции нескольких сменных;

• вычисление градиента.

4. Пути реализации целей занятия:

Для реализации целей занятия Вам необходимые такие исходные знания:

• постоянные и переменные величины;

• аргумент и функция;

• определение и интерпретацию производной функции;

• таблицу производных элементарных функций;

• производной алгебраической суммы, произведения, частные функций и производную составленной функции.

Вам необходимые также уметь вычислять производные элементарных функций с помощью таблицы производных и соответствующих правил.

5. Задача для проверки студентами своего исходного уровня знаний.

• Доведите равенство
  .

2 Найдите производную функции
.

(Правильный ответ
).

3 Найдите производную функции
.

(Правильный ответ
).

4 Найдите производную функции
.

(Правильный ответ
).

5 Найдите производную функции
.

(Правильный ответ
).

6. Информацию для упрочения исходных знаний-умений можно найти в пособиях:

1. Жуматій П.Г. Сеницька Я.Р. Элементы высшей математики. Методические указания для студентов медицинского інститута. Одесса, 1981.

7. Содержание учебного материала из данной темы с выделением основных узловых вопросов.

Переменная величина Y называется функцией независимой переменной величины X, званой аргументом, если каждому значению сменной X по некоторому закону поставлено в соответствие значения сменной Y.

Указывая, что Y является функцией аргумента X , применяют один из таких записей

Y = f (X), Y = F (X), Y = Y (X) .

Если вместо независимой сменной X используются значения функции X = g(t), то функция Y = f [g(t)] называется составленной или суперпозицией функций.

Производной функции Y = f (X) в точке X называется граница отношения прироста функции к приросту аргумента , когда прирост аргумента пpямує к нулю.

Геометрическое содержание производной: угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равняется значению ее производной в точке прикосновенья.

Дифференциалом dx независимой сменной X называют ее прирост .

Дифференциал dy функции Y равняется

dy = (X)*dx.

Дифференциал функции dy геометрически представляет собой соответствующий значению дифференциала аргумента прирост ординаты касательной к графику функции в данной точке.

Частинною производной функции нескольких сменных называют границу отношения частинного прироста функции к приросту соответствующего аргумента, когда последний пpямує к нулю.

Частинні производные функции U = f (X, Y) по X и Y обозначают так

Полный дифференциал du этой функции равняется

Градиентом функции
в точке М называется вектор

.

Частинні похідні в этой формуле вычисляют в точке М. Направление градиента совпадает с направлением наиболее резкого роста этой функции в точке М, а модуль характеризует скорость этот роста.

Правила вычисления производных простейших элементарных функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

.

8. Задача для самостоятельной подготовки студентов.

8.1 Задача для самостоятельного изучения материала с темы.

8.1.1. Практическое вычисление полных дифференциалов

Дифференциал функции одной сменной, например
, высчитать просто, если производная уже известная, потому что за определением
.

Ведь для вычисления дифференциала функции одной сменной довольно найти производную, а потом умножить ее на дифференциал аргумента dx.

Например,

,

тогда

.

Однако, в случае функции нескольких сменных, например,

расчеты усложняются. Как уже указывалось раньше, для функции нескольких сменных надо найти полный дифференциал du за формулой

.

В формулу входят частинні похідні по всем сменным, от которых зависит функция
то есть

Частинні производные вычисляют за теми же правилами, которые и обычные похідні, считая все сменные, кроме той, по которой ищется производная, постоянными.

Рассмотрим пример:

.

Видим, что зависит от двух сменных x и y. Итак, полный дифференциал равняется

.

Таким образом, надо определить частинні похідні
да
и подставить их значение в формулу для полного дифференциала
.

Чтобы высчитать частинну производную
, надо поступить точно так если бы в формулу для y вместо входила какая-то постоянная величина, например 5 или 10, или любое другое число. Вспомните, если

, то
.

Поэтому

.

Точно так же частинна производная

.

Подставляя эти результаты в формулу для полного дифференциала, получим искомый ответ

.

Запомните эти особенности вычисления частинних производных и тогда определение полного дифференциала осложнений не вызовет.

Рассмотрим пример, определим полный дифференциал функции

.

Видим, что зависит от двух сменных x и y. Итак, полный дифференциал равняется

.

Таким образом, надо определить частинні похідні
да
и подставить их значение в формулу для полного дифференциала du.

Вычисляя частинні производные, имеем

,
.

Подставляя эти результаты в формулу для полного дифференциала, получим искомый ответ

.

Для того, чтобы легко и безошибочно решать такие примеры, необходимо самостоятельно выполнить задачу, рекомендованные для самостоятельной работы.

8.1.2. Задачи для самостоятельного решения

1. Радиоактивный препарат, который используется для лучевой терапии онкологiчних заболеваний, распадается по закону

,

где N - число целых ядер в момент времени t, - начальное число радиоактивных ядер, λ - стала радиоактивного распада, t - время.

Определить активность радиоактивного препарата за формулой

.

2. Предельная кривая сила тока - продолжительность, которая связывает амплитуду i электрического тока (обычно прямоугольного импульса), и его продолжительность τ, определяется формулой Вейса:

,

где a - коэффициент пропорциональности, b - реобаза, то есть амплитуда импульса, который вызывает возбуждение только при очень большой продолжительности импульса τ (
).

Определить уменьшение di амплитуды, соответствующее увеличению продолжительности импульса на dτ.

3. Для приближенного описания связи между средней продолжительностью жизни животных T и дозой вещества D, вредно действующей на организм, Блюм и Дракли предложили формулу

где C и n постоянные, которые должными быть определенными по экспериментальным данным. Найти увеличение dt средней продолжительности жизни при сокращении дозы вредного вещества на dd.

4. При действия ускорений на рецепторы вестибулярного анализатора зависимость между максимальным углом α отклонение купули вертикального канала от ускорения a имеет вид

.

где m - масса рецептора (купули); P - вес рецептора; G - упругая сила, которая компенсирует силу тяготения, l, J и E - длина, момент инерции и модуль упругости купули.

Высчитать увеличение d, соответствующее приросту ускорение da .

5, 6. Чувствительность P разных биологических систем печени к влиянию разных доз D гепатотропної яды - чотирихлористого углерода согласно экспериментальным данным описывается, в частности, за формулами:

для ЛФ
,

для ЛАП
,

где ЛФ и ЛАП - активности щелочной фосфатазы и левцинаминопептидази.

Определить изменение активности dp, что возникает при увеличении дозы чотирихлористого углерода на dd.

8.1.3. Контрольные вопросы

1. Определение производной и ее практическое значение.

2. Определение дифференциала аргумента и функции.

3. Геометрическое содержание производной и дифференциала.

4. Производной и дифференциалы элементарных функций.

5. Производной и дифференциалы алгебраической суммы.

6. Производной и дифференциалы произведения и частные.

7. Производная и дифференциал составленной функции.

8. Определение частинної производной и ее вычисление.

9. Полный дифференциал и его вычисление.

10. Градиент функции, его модуль и направление.

8.2 Основная литература

1. Жуматій П.Г. “Математическая обработка медико-биологических данных. Задачи и примеры”. Одесса, 2009.

2. Жуматій П.Г. “ Основы дифференциального исчисления”. Одесса, 2009.

3. Жуматій П.Г. Сеницька Я.Р. Элементы высшей математики. Методические указания для студентов медицинского інститута. Одесса, 1981.

4. Чалый О.В., Агапов Б.Т., Цехмістер Я.В. Медицинская и биологическая физика. Киев, 2004.

8.3 Дополнительная литература

1. Ремізов О.M. Медицинская и биологическая физика. М., “Высшая школа”, 1999.

2. Ремізов О.M., Ісакова Н.Х., Максіна О.Г.. Сборник задач из медицинской и биологической физики. М., .,“Высшая школа”, 1987.

9. Задача для выполнения УДРС.

Студенты, которые хорошо овладели учебным материалом этой темы могут повысить уровень своей подготовки, решая задачи 1.23-1.26 из сборники задач О.М.Ремізова, Н.Х.Ісакової, О.Г.Максіної. Особую пользу принесет это во время подготовки к контрольной работе.

Методические указания сложил доц. П.Г.Жуматій.

1

9

---