ELEKTROTECHNIKA

Ćwiczenie 1. Rezonans napięć (szeregowy) i rezonans prądów (równoległy).

Dla obwodów elektrycznych zasilanych napięciem stałym, stosunek napięcia U między dwoma punktami przewodnika do natężenia prądu I płynącego przez ten przewodnik, jest wielkością stałą (prawo Ohma)

(1)

Wzór (1) stanowi definicję oporu elektrycznego (rezystancji) R danego przewodnika. Wykres zależności I = f(U) powinien być wg prawa Ohma linią prostą. Wiadomo jednak, że w praktyce opór elektryczny różnych elementów obwodu zależy np. od temperatury (żarówka), lub od napięcia (dioda półprzewodnikowa). Takie elementy obwodu nazywamy elementami nieliniowymi.

W obwodzie zasilanym napięciem zmiennym sinusoidalnym U=U₀ sin(t), zawierającym tylko opór omowy R prawo Ohma także jest spełnione, a natężenie prądu, niezależnie od pulsacji ω, jest równe:

(2)

gdzie U₀ oraz I₀ są wartościami maksymalnymi (amplitudami) odpowiednio napięcia i natężenia prądu. Ze wzoru (2) wynika, że napięcie i natężenie są w zgodnych fazach i proporcjonalne do siebie.

Sytuacja ulega zmianie, jeżeli elementem obwodu prądu zmiennego będzie pojemność C lub indukcyjność (samoindukcja) L. Rolę rezystancji odgrywa wtedy reaktancja pojemnościowa X_C lub reaktancja indukcyjna X_L. Są one równe:

(3)

i jak widać zależą od . W pierwszym obwodzie z pojemnością, natężenie prądu zmiennego wyprzedza napięcie o /2, czyli:

(4)

a w drugim natężenie opóźnia się o /2 względem napięcia, czyli:

(5)

Istotna jest analiza obwodu, w którym połączono szeregowo cewkę indukcyjną L, kondensator C i rezystor R. Obwód taki pokazano na rysunku 1. Stanowi on elektryczną analogię mechanicznego układu drgającego, złożonego z masy m, zawieszonej na sprężynie o stałej sprężystości k, i poruszającej się w ośrodku o stałej tłumienia b, pod wpływem okresowej siły zewnętrznej F_z.

Natężenie prądu I płynącego w takim obwodzie elektrycznym jest równe:

(6)

gdzie  jest przesunięciem fazowym pomiędzy napięciem i natężeniem prądu, a Z oznacza impedancję tego obwodu elektrycznego, określoną wzorem:

(7)

Jak widać ze wzoru (3) reaktancje pojemnościowa X_C i indukcyjna X_L, zależą od pulsacji  przyłożonego napięcia. Pierwsza odwrotnie proporcjonalnie, a druga wprost proporcjonalnie. Dlatego też impedancja obwodu RLC będzie od niej zależeć w sposób niemonotoniczny, wykazując minimum dla tej wartości , dla której
Widać to ze wzoru (7), wg którego impedancja Z obwodu jest wtedy równa oporowi omowemu R. Wskutek tego krzywa zależności amplitudy natężenia prądu I₀ od częstotliwości przyłożonego napięcia wykazuje maksimum przy pulsacji _rez, nazywanej częstotliwością rezonansową. Jest ona równa;

(8)

Zjawisko to nosi nazwę rezonansu napięciowego dla połączonych szeregowo elementów RLC. Dla szeregowego obwodu RLC mogą wystąpić 3 przypadki:

1.
- obwód ma charakter indukcyjny bo >0

2.
- obwód ma charakter pojemnościowy bo <0

3.
- warunek rezonansu napięć.

Do rezonansu można doprowadzić obwód przez odpowiedni dobór elementów L,C oraz częstotliwości f. Najczęściej rezonans szeregowy zachodzi przy częstotliwości rezonansowej f_rez. W warunkach rezonansu obwód jest charakteryzowany przez:

1. Impedancja obwodu jest najniższa i równa R. Wynika z tego, że jeśli znane są wartości elementów L i C i znana jest częstotliwość napięcia zasilającego, to rezonans napięć można z góry przewidzieć.

2. Napięcie i prąd w obwodzie pozostają w fazie (=0).

3. Prąd w obwodzie osiąga wartość najwyższą.

4. Napięcie na pojemności jest równe co do wartości napięciu na indukcyjności. Napięcia te mogą być znacznie wyższe od napięcia zasilania.

5. Moce bierne: indukcyjna i pojemnościowa są równe. Moc bierna oscyluje: energia pola magnetycznego zamienia się w energię pola elektrycznego i na odwrót. W tych oscylacjach źródło nie bierze udziału.

Rys.2. Krzywe rezonansowe w szeregowym obwodzie RLC dla trzech wartości rezystancji R₁<R₂<R₃. Δω zaznaczona na krzywej dla R₁ oznacza szerokość krzywej na poziomie 0.7 wartości prądu przy f_rez.

Przykładowe krzywe rezonansowe dla trzech wartości R, pokazano na rysunku 2.

W praktyce, musimy jeszcze uwzględnić, że cewka indukcyjna oprócz indukcyjności L wykazuje także pewną rezystancję R_Cu przewodu miedzianego, którym nawinięto cewkę.

Z analizy obwodu pokazanego na rysunku 1 wynika, że suma napięć na rezystorze R, indukcyjności L i pojemności C musi być równa napięciu zasilania, czyli:

U_R+U_L +U_C = U_GEN. (9)

Jeśli więc w warunkach rezonansu Z = R, to oznacza, że U_L ≅ U_C , czyli że oba napięcia mają przeciwne znaki, a ich suma jest bliska zeru. Obliczenia i eksperyment pokazują, że każde z tych napięć może w warunkach rezonansu wielokrotnie przekroczyć wartość napięcia generatora. Zjawisko jest nazywane rezonansem napięć lub rezonansem szeregowym. Przeciwne znaki napięć U_L i U_C wynikają ze wzorów (4) i (5), czyli z przesunięć fazowych pomiędzy napięciem i natężeniem prądu w obwodzie. Dla przypadku gdy reaktancje pojemnościowa i indukcyjna nie są sobie równe a więc gdy  ≠ _rez, wypadkowe przesunięcie fazowe w omawianym obwodzie można obliczyć ze wzoru:

(10)

Kąt  może zmieniać się w granicach od +/2 do /2, w zależności od udziału reaktancji pojemnościowej i indukcyjnej. W szczególnym przypadku, gdy są one równe, tg  jest równy zeru, a więc  = 0. Dla wszystkich układów rezonansowych, nie tylko elektrycznych, bardzo istotnym parametrem jest tzw. dobroć Q układu. Jest ona zdefiniowana jako:

(11)

Im większa jest wartość Q danego układu drgającego, tym ostrzejsza, i bardziej wąska jest krzywa rezonansowa. Obliczenia wykazują, że pomiędzy dobrocią Q i szerokością krzywej rezonansowej , zwaną szerokością połówkową, gdyż mierzymy ją na poziomie połowy mocy traconej przez układ, istnieje związek:

(12)

W elektrycznych układach rezonansowych energia jest zgromadzona w postaci energii pola elektrycznego naładowanego kondensatora i energii pola magnetycznego wytwarzanego przy przepływie prądu przez cewkę indukcyjną. Dla wyznaczenia wartości Q musimy zmierzyć szerokość krzywej rezonansu na wysokości 0.5 wartości maksymalnej mocy traconej, czyli na wysokości ok. 0.7 wartości maksymalnej natężenia prądu, (gdyż moc P zależy od kwadratu natężenia prądu P = I²R). Dobroć Q można też wyznaczyć na podstawie wzoru:

(przy rezonansie) (13)

Jeśli elementy L i C połączymy równolegle, tak jak pokazano na rysunku 3, to przy częstotliwości napięcia przemiennego równej ₀ zaobserwujemy zjawisko rezonansu, z tym, że tym razem będzie to rezonans prądów (równoległy) a nie napięciowy. Jego istotą jest przepływ prądu o dużym natężeniu pomiędzy kondensatorem C i cewką indukcyjną L. W tej sytuacji natężenie prądu pobieranego z zasilacza osiągnie w warunkach rezonansu wartość minimalną, a więc odwrotnie niż to miało miejsce dla obwodu szeregowego. Analiza matematyczna układu równoległego jest bardziej skomplikowana niż w przypadku obwodu połączonego szeregowo.

Podobnie jak dla rezonansu szeregowego zachodzą 3 przypadki:

1.
- obwód ma charakter indukcyjny, bo I_L > I_C , a także:

2.
- obwód ma charakter pojemnościowy, bo I_C > I_L

3.
- warunek rezonansu równoległego. Obwód ma charakter czynny (=0), a prąd

i napięcie są w fazie.

Prądy w gałęziach indukcyjnej i pojemnościowej są jednakowe co do wartości, ale w przeciwfazie. Moc bierna indukcyjna jest równa mocy biernej pojemnościowej. Rezonans zachodzi przy częstotliwości rezonansowej f_rez. Głównym zjawiskiem przy rezonansie równoległym jest minimalizacja prądu dopływającego do obwodu, podczas gdy w gałęziach biernych płyną duże prądy (mogą być znacznie większe od prądu dopływającego).

Realizacja ćwiczenia.

W ramach realizacji ćwiczenia należy przeprowadzić pomiary dla kilku wartości częstotliwości (w pobliżu częstotliwości rezonansowej), odnotować odczyty w tabeli i sporządzić wykresy napięć (rezonans szeregowy) i prądów (rezonans równoległy).

1. Połączyć odpowiednie gniazda na panelu z generatorem i woltomierzem cyfrowym. Obliczyć orientacyjną wartość częstotliwości rezonansowej f_rez (na podstawie znanych wartości L = 0.8 H,

i C = 1.65 F). Ułatwi to wybór odpowiedniego przedziału zmienności   f.

2. Przełącznik r/s ustawić w położenie „szeregowe (s)” lub „równoległe (r)”, zgodnie ze wskazaniami prowadzącego. Zalecane jest położenie „s”.

3. Ustawić na skali generatora, zbliżoną do rezonansowej, wartość częstotliwości . Przyspiesza to realizację pomiarów w przypadku wąskich krzywych rezonansowych.

4. Ustawić opornicę dekadową na wartość R=15.3 Ω.

5. Włączyć generator, a napięcie wyjściowe ustawić na 5 V. W tym celu wcisnąć czerwony klawisz oznaczony „7,5 V”, a potencjometrem ustawić wskazówkę miernika na 50 działek na górnej czerwonej skali (zakres 75 działek).

6. Zwiększając i zmniejszając częstotliwość napięcia przemiennego wokół częstotliwości rezonansowej, notować wskazania woltomierza U_R. Dla obwodu szeregowego zwrócić szczególną uwagę na wskazania U_R, gdyż są one miarą prądu w obwodzie i pozwalają porównać uzyskane wyniki z przewidywaniami najprostszej teorii, podanej we wstępie. W przypadku zauważenia zmian napięcia wyjściowego generatora przy regulowaniu częstości, należy skorygować wartość tego napięcia.

7. Pomiary jak w punkcie 6 wykonać dla dwu innych rezystancji R=310 Ω.

OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW (dla obwodu szeregowego)

1. Dla krzywych U_R (f) =R⋅^.I(f) wyznaczyć częstotliwość rezonansową i porównać ją z obliczoną na podstawie wzoru
   

2. Wykreślić krzywe zależności prądu w gałęzi (spadek napięcia na rezystancji R - U_R=RJ₀) w funkcji częstotliwości f.

3. Wyznaczyć szerokość krzywych J₀() (rys. 2) na poziomie 70% wartości odpowiadającej maksimum krzywych, zmierzonych dla każdej z trzech wartości R i obliczyć odpowiednie wartości dobroci Q ze wzoru
   .

Uwaga: woltomierze używane przy pomiarach są wyskalowane w wartościach skutecznych, a nie maksymalnych napięcia. Dlatego należy pomnożyć wskazania woltomierza przez
.

LITERATURA

1. I.W. Sawieliew, Kurs Fizyki Tom 2, PWN Warszawa 1989

2. E.M. Purcell, Elektryczność i magnetyzm, PWN Warszawa 1975

3. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa 1999

4. Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki część III, wyd. 2, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 1999

Pytania kontrolne.

1. Wyjaśnić pojęcia rezonansu prądowego i napięciowego.

2. Wyjaśnić pojęcie częstotliwości rezonansowej i podać wzór.

3. Narysować wykresy wskazowe dla układu elementów R, L, C przy połączeniu szeregowym oraz równoległym tych elementów.

4. Na czym polega kompensacja mocy biernej odbiorników o charakterze indukcyjnym np. silników indukcyjnych w dużych zakładach pracy?

5. Gdzie znajdują zastosowanie obwody rezonansowe?

1

2

Rys 1. Schemat szere-gowego obwodu RLC

Rys 3. Uproszczony schemat równoległego obwodu RLC

---