Ćwiczenie nr 1 Wahadło fizyczne

1.Wstęp teoretyczny:

Ruch obrotowy

Kinematyka ruchu obrotowego:

Wielkością analogiczną do przesunięcia dla ruchu obrotowego jest przesunięcie kątowe
.

Natomiast wielkością analogiczną dla prędkości jest prędkość kątowa:

Kolejną wielkością charakteryzującą ruch obrotowy jest przyspieszenie kątowe:

Podstawowe zależności między podanymi wielkościami:

Dla ruchu po okręgu: v=R
oraz a=R
, gdzie R jest promieniem okręgu.

Dla
= const ruch jest ruchem jednostajnym, w przeciwnym wypadku jest to ruch niejednostajny (zmienny).

Dynamika ruchu obrotowego:

Moment bezwładności
jest wielkością charakterystyczną dla danego ciała.

Moment pędu
gdzie r jest wektorem położenia lub promieniem wodzącym, a p - pędem liniowym ciała. Zgodnie z regułą prawej ręki L jest skierowany prostopadle zarówno do p jak i do r.

Moment siły jest wielkością analogiczną dla siły w ruchu postępowym i wyraża się wzorem:

gdzie r jest wektorem przesunięcia.

Podane wielkości związane są następującymi zależnościami:

Sformułować można także II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego:

oraz
.

Moment bezwładności jest wielkością zależną od obiektu. Dla jednorodnego pręta o długości l i masie m względem osi prostopadłej do niego i przechodzącej przez środek jego masy wyraża się następującym wzorem:

Dla nieskończenie małego elementu pręta:
, gdzie r jest odległością tego elementu od osi obrotu,a dm - masą tego elementu.
oraz

Więc dla całego pręta:

Twierdzenie Steinera:

Dotyczy metody liczenia momentu bezwładności (i m.in. w takich problemach znajduje zastosowanie, by ułatwić obliczenia tak, by nie wymagały całkowania) dla ciał poruszających się ruchem obrotowym wokół zadanej osi (na ryc.1 oś z momentem bezwł. I), równoległej do osi przechodzącej przez środek masy.

Rys.1

, gdzie
jest momentem bezwładności dla osi przechodzącej przez środek masy, d jest odległością między równoległymi osiami, a m - masą ciała.

Ruch harmoniczny prosty:

Odbywa się pod wpływem siły harmonicznej F=-kx.

Równanie ruchu:

Rozwiązaniem tego równania jest
gdzie
a
jest fazą początkową ruchu.

Amplitudą
nazywamy najdalsze (maksymalne) wychylenie ciała w duchu harmonicznym.

Okresem drgań
nazywamy czas, w którym ciało wykonuje 1 pełne drgnięcie.

nazywamy częstością drgań.

Natomiast częstotliwość
definiujemy jako liczbę drgań w jednostce czasu.

Wahadło matematyczne (rys. b oraz ryc.2) jest modelem składającym się z punktu materialnego o masie m zawieszonego na nieważkiej nici, który możemy wprowadzić w ruch harmoniczny.

rys.2

Z podobieństwa trójkątów:
=>

Ponieważ mg/x jest stałe => F=-kx która jest siłą harmoniczną.

Okres drgań dla takiej siły wynosi
i jest okresem drgań dla wahadła matematycznego.

Wahadło fizyczne (rys. a):obiekt składający się z dowolnego ciała sztywnego zawieszonego w punkcie obrotu.

Moment siły działającej na to ciało wynosi
, a ponieważ
, to otrzymujemy
=> dla małych wychyleń
dlatego wtedy

Ponieważ mgl/I jest wielkością stałą => powyższe równanie ma postać tę samą co
, tak więc
, gdzie
oraz
.

2. Cel doświadczenia:

Celem doświadczenia jest wyznaczenie momenty bezwładności korzystając z pomiarów okresu drgań i porównanie go do momentu bezwładności wyznaczonego z wymiarów geometrycznych bryły sztywnej.

3. Opis metody pomiarowej:

Dokonujemy pomiaru masy bryły (pręta) korzystając z wagi. Następnie mierzymy za pomocą przymiaru liniowego długość pręta (l) oraz odległość środka ciężkości od osi obrotu(a). Umieszczamy pręt w statywie, który jest tak skonstruowany, aby bryła miała jak największa swobodę drgań. Wychylamy pręt z położenie równowagi i dziesięciokrotnie mierzymy czas określonej liczby okresów drgań. Dokonane pomiary wykorzystujemy podczas obliczeń.

4. Wyniki pomiarów:

Tabela1: Pomiar masy i długości pręta

	Pręt
	masa [kg]	l [m]	a [m]
Wartość	0,666	0,750	0,276
Niepewność standardowa	0,001	0,001	0,0011
	0,001502 0,0015	0,001333 0,0013	0,003986 0,004

Tabela 2: Pomiar masy i długości pierścienia

	Pierścień
	masa [kg]	Rw[m]	Rz[m]	a[m]
Wartość	1,431	0,25	0,28	0,12
Niepewność standardowa	0,001	0,001	0,0011

(wartości niepewności pomiaru mają swoje źródło w dokładności przyrządów, którymi dane wielkości były mierzone - waga podająca masę z dokładnością do 1 grama oraz linijka z podziałką o dokładnością co do 1mm)

Niepewność pomiaru a:

u(a)=
0,001118034=0,0011[m]

(pierwsza wartość niepewności to niepewność pomiaru l podzielona przez 2, wartość druga to niepewność pomiaru długości a mierzona linijką)Tabela 2:Pomiar czasu drgań dla pręta

Pomiar czasu drgań dla pręta
Lp.	Liczba drgań k	Czas drgań t [s]	Okres drgań Ti [s]	Wartość średnia okresu Tśr [s]	niepewność standardowa u(T) [s]
1	25	33,27	1,33
2	25	33,27	1,33
3	25	33,28	1,33
4	25	33,06	1,32
5	25	33,12	1,325	1,325	0,001
6	25	33,29	1,331
7	25	33,19	1,327	= =0,000749 0,0007
8	25	33,14	1,325
9	25	33,22	1,328
10	25	33,28	1,331

Niepewność standardową wyraża wzór:

[s]

Gdzie n oznacza liczbę wykonanych pomiarów.

6.Opracowanie wyników pomiarów:

Średni okres:

[s]

Moment bezwładności pręta obliczony z:

1) z wymiarów geometrycznych

=
[kg · m2]

2) z okresu drgań

[kg · m2]

Z Twierdzenia Steinera:

[kg · m2]

Wyznaczenie niepewności pomiarowej
(w jednostce [kg · m2]) dla pomiarów geometrycznych ze wzoru:

Po uproszczeniu:

Podstawienie danych:

[kg · m2]

Niepewność
dla momentu wyznaczonego z okresu drgań:

Po podstawieniu wzoru i danych:

[kg · m2]

Niepewność
dla momentu bezwładności wyznaczonego z twierdzenia Steinera (ogólny jest taki sam jak dla
, więc od razu podajemy z podstawionymi wzorami i danymi):

[kg · m2]

Tabela 3: Wyniki obliczeń momentów bezwładności dla pręta

	Io wyznaczone z okresu drgań [kg · m2]	Is wyznaczone z twierdzenia Steinera [kg · m2]	Is wyznaczone z pomiarów geometrycznych [kg · m2]
Wartość	0,0816	0,03137	0,03122
Niepewność standardowa	0,0004	0,00019	0,00010
	0,004902 0,005	0,006057 0,006	0,003203 0,003

Różnica porównywanych momentów bezwładności:

(ze Steinera)-
(z pom.geom.)= 0,03137-0,03122 [kg · m2]= 0,00015 [kg · m2]

Niepewność różnicy momentów bezwł.(jednostka [kg · m2]):

7.Wnioski:

Momenty bezwładności w doświadczeniu obliczone zostały dwiema metodami:

1) Pomiar okresu drgań bryły sztywnej, korzystając następnie z Twierdzenia Steinera.

2) Pomiar masy i długości, a następnie skorzystanie ze wzoru na moment bezwładności dla pręta.

Momenty bezwładności obliczone dwiema metodami okazały się porównywalne, a wręcz zbliżone do siebie (uwzględniając błędy pomiarowe).

Źródłem różnic w pomiarach mogły być opory powietrza, które spowodowały tłumienia drgań (w rzeczywistości dokładne czasy poszczególnych okresów różnią się od siebie, różnice byłyby bardziej widoczne, gdybyśmy w doświadczeniu zwiększyli liczbę wahnięć).

Opory te nie były rozważane w obliczeniach.

Ewentualny błąd człowieka został zniwelowany przez liczne powtórzenia doświadczenia oraz uśrednienie wyników.

Metoda wykorzystująca wymiary geometryczne wydaje się być bardziej dokładna, ponieważ na jej wynik nie mają wpływu tłumienia (posiada najmniejszy błąd pomiarowy). Największy błąd pomiarowy posiada moment bezwładności uzyskany z okresu drgań, co może wynikać po pierwsze z niedokładności osób dokonujących pomiarów (czego poprawę można by uzyskać przez zwiększenie liczby powtórzeń doświadczenia oraz zamianę osób dokonujących pomiaru, a także zastąpienie osób mniej sprawnych manualnie, osobami doświadczonymi). Można także użyć dokładniejszych urządzeń pomiarowych.

---