Sprawozdanie z ćwiczenia:

Zera i bieguny a jego odpowiedź impulsowa i transmitancja

Podstawy i algorytmy przetwarzania sygnałów (2).

Wkonali:Paweł Fornalczyk

Marcin Śpiewak

Grupa: Wtorek 18.55-20.35

1. Wyznaczanie pierwiastków wielomianów z wykorzystaniem funkcji roots(argument)

Np.:

p=[1 -1 0.5]

r = roots(p)

1. 
   
   

2. 
   
   

3. 
   
   

4. 
   
   

5.

6.

Pierwiastki wielomianów w1, w2, w3 oraz w3 są sprzężone, pierwiastki wielomiany w5 mają tylko część urojoną, natomiast wielomianu w6 mają część rzeczywistą i urojoną równą co do wartości.

2. Wyznaczanie współczynników wielomianów przy pomocy funkcji poly(argument)

Funkcja poly(arg) zwraca wartości współczynników wielomianu, gdy parametrami wejściowymi są pierwiastki tego wielomianu.

1.

2.

3.

5.

6.

Na podstawie tych pkt. ćwiczenia możemy stwierdzić że funkcje polly() i roots() są odwrotne czyli

p = poly(r) i r = roots(p)

3. Wpływ położenia pojedynczego bieguna leżącego na osi rzeczywistej na odpowiedzi impulsową układu.

Rozpatrujemy 6 charakterystycznych położeń bieguna, w tym celu modyfikuje skrypt zeropole.m :

a)

Rys.1 z=0

Brak odpowiedzi impulsowej. Filtr nie wpływa na transmitowany sygnał

b) z=1.5 - biegun dodatni, położony poza obszarem koła jednostkowego.

Odpowiedź impulsowa jest nieskończona, logarytmicznie rosnąca. Układ niestabilny

Rys.2 z=1.5

c) z = 0.5 - biegun dodatni, położony wewnątrz koła jednostkowego

Rys.3 z=0.5

Odpowiedź impulsowa jest skończona i zanika logarytmicznie. Filtr jest dolnoprzepustowy, blokuje wysokie częstotliwości, co obrazuje charakterystyka amplitudowa. Układ stacjonarny.

d) z=1 - biegun dodatni położony na okręgu

Rys.4 z=1

Odpowiedź impulsowa nieskończona, układ jest warunkowo stacjonarny.

e) z =- 0.5 - biegun ujemny, położony wewnątrz koła jednostkowego

Rys.5 z=-0.5

Odpowiedź impulsowa jest skończona i ma charakter zanikających oscylacji (układ stabilny). Filtr wydobywa z sygnału określone pasmo. Szerokość tego pasma zależeć będzie o tego, jak blisko okręgu jednostkowego biegun jest położony (im bliżej, tym pasmo węższe).

f) z = -1 - biegun ujemny, leży na okręgu jednostkowym

Rys.6 z=-1

Odpowiedź impulsowa jest nieskończona i ma charakter oscylacyjny o stałej amplitudzie, charakterystyka fazowa liniowa.

4. Wpływ położenia pary sprzężonych biegunów na przebieg odpowiedzi impulsowej układu pobudzonego impulsem jednostkowym.

W tym punkcie wykorzystuje również skrypt zeropole.m.

Rys.7 dwa bieguny z=0.8
0.5i

Rys.8 dwa bieguny z=0.3
0.5i

Rys.9 dwa bieguny z=0.3
0.8i

Rys.10 bieguny na kole jednostkowym

Jeśli bieguny sprzężone położone są bezpośrednio na kole jednostkowym to układ pracuje jak generator.

Rys.11 biegun poza kołem jednostkowym

Najważniejszy wniosek z pkt. Tego i poprzedniego to, że jeżeli wszystkie bieguny znajdują się wewnątrz koła jednostkowego , to filtr będzie stabilny, natomiast jeżeli jakikolwiek biegun znajdzie się poza kołem to filtr będzie nie stabilny. Gdy bieguny będą na kole jednostkowym , mówimy wówczas o warunkowej stabilności.

Położenie zer nie ma wpływu na stabilność układu. Na rys. 7-9 bieguny leżą wewnątrz kola jednostkowego, widzimy ze zmieniając ich położenie od środka układu oraz kąt między sobą wpływamy na charakterystykę fazową i amplitudową, i tak im większy kąt tym wtedy char. amplitudowa przesuwa się w stronę większych częstotliwości , jeśli bieguny zbliżają się do środka układu wtedy char. amplitudowa ulega spłaszczeniu.

5. Wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową układu, którego transmitancja opisana jest zależnością:

Pierwiastki licznika to zera transmitancji:

Pierwiastki mianownika to bieguny transmitancji:

6. Projektowanie układów dyskretnych metodą „ zer i biegunów”

1. Mamy sygnał użyteczny o częstotliwości fu = 20 Hz do którego dodają się zakłócenia

sieciowe fn = 50 Hz. Sygnał jest próbkowany z częstotliwością fpr = 1000 Hz.

Zaprojektować układ, który usunie z sygnału zakłócenia sieciowe o częstotliwości 50

Hz i wzmocni sygnał użyteczny.

Projektując układy metodą zer i biegunów posługuje się następującymi właściwościami tej metody: umieszczając zero transmitancji w pobliżu wybranej f powoduje tłumienie tej częstotliwości przez układ. Jeżeli zero leży na okręgu jednostkowym to układ całkowicie usuwa z sygnału składową o danej częstotliwości. Natomiast zbliżanie bieguna do okręgu (do wewnątrz) w wybranym punkcie powoduje wzmacnianie składowej związanej z tym pkt. , tym bardziej im bliżej okregu.

fragment skryptu:

fs=1000

bieguny = 0.98*[exp(i*2*pi*((20/fs))),exp(-i*2*pi*(20/fs))];

zera = 1*[exp(i*2*pi*((50/fs))),exp(-i*2*pi*(50/fs))];

W zerze obserwujemy skok char fazowej.

2. Zaprojektować filtr dolnoprzepustowy o częstotliwości granicznej fg = 200 Hz.

Częstotliwość próbkowania sygnału fpr = 1000 Hz

Analogicznie jak wyżej bieguny będą wzmacniały częstotliwości do f granicznej a częstotliwością powyżej fg = 200 Hz będą odpowiadały zera. Potrzeba również określić promienie kolejnych biegunów, wszystkie zera będą leżały na kole jednostkowym

fp=1000

bi = [ 50 100 200 ];

r = [0.96 0.7 0.96]; % promienie kolejnych biegónów

bieguny = r*[exp(i*2*pi*((bi/fs))),exp(-i*2*pi*(bi/fs))]; %

zr = [ 250 350 400 450];

zera = [exp(i*2*pi*((zr/fs))),exp(-i*2*pi*(zr/fs))];

3. Zaprojektować filtr górnoprzepustowy o częstotliwości granicznej fg = 200 Hz.

Częstotliwość próbkowania sygnału fpr = 1000 Hz.

Analogicznie jak wyżej bieguny będą wzmacniały częstotliwości powyżej f granicznej a częstotliwością poniżej fg = 200 Hz będą odpowiadały zera.

4. Zaprojektować filtr pasmowo - przepustowy o paśmie przepustowym od fpr/8 do fpr/4.

Gdzie fpr oznacza częstotliwość próbkowania.

Częstotliwością w paśmie przepustowym od fpr/8 do fpr/4. będą odpowiadały bieguny, natomiast dal częstotliwości poza pasmem będą przypisane zera

---