1. WYMIENIĆ I OPISAĆ TENSOR STANU NAPRĘŻEŃ W PŁYNIE

Jeżeli przez
oznaczymy naprężnie działające na powierzchnię
(tzn. powierzchnię prostopadłą do osi x (bo ta powierzchnia posiada wektor jednostkowy normalny do niej (wersor) =i), w kierunku osi y, to takie naprężenie oznaczymy jako
. Tak, więc

(1.8)

Takich składowych naprężeń będzie dziewięć. Można je przedstawić dla wygody w postaci macierzowej

(1.9)

Taką wielkość nazywa się w matematyce tensorem T, a więc jest to wielkość o dziewięciu składowych.

Wielkości po przekątnej reprezentują naprężenia normalne do powierzchni a pozostałe to naprężenia styczne.

Tak więc naprężenia działające na element płynu można podzielić na naprężenia normalne i naprężenia styczne.

Naprężenia normalne przyjęto oznaczać poprzez symbol
. Tak, więc mamy równości:

,
,
(1.10)

Ilustracja rozkładu naprężeń pokazana jest na Rys 1.3

Rys 1.3 Stan naprężeń na elemencie płynu

2. WYMIENIĆ I OPISAĆ WŁAŚCIWOŚCI PŁYNU

Gęstość płynu

Generalnie gęstość płynu jest zdefiniowana jako stosunek masy m zawartej w pewnej objętości
do tej objętości. Wielkość ta zależy od rodzaju płynu, jego parametrów oraz zmieniać się może w przestrzeni. Można napisać, iż dla danego płynu gęstość jest funkcją położenia oraz czasu, czyli

(1.11)

Gdyby nas interesowała lokalna gęstość w punkcie C rozpatrywanego obszaru przepływu (patrz Rys 1.4), to jest ona zdefiniowana jako

(1.12)

Rys 1.4 Definicja gęstości w punkcie

Używa się też wielkości odwrotnej do gęstości. Jest to tzw. objętość właściwa v

(m³/kg)

Rozszerzalność i ściśliwość cieczy

Rozszerzalność cieczy uwzględnia współczynnik rozszerzalności objętościowej
na skutek zmian temperatury.

(1.13)

Ściśliwość cieczy określa współczynnik ściśliwości
zdefiniowany jako

(m²/N) (1.13a)

Można go przedstawić w innej postaci a mianowicie

, gdzie masa m = idem,

stąd

(1.13b)

Odwrotnością współczynnika ściśliwości jest tzw. moduł sprężystości
.

(1.13c)

Wymiarem
jest N/m².

Ciecze odznaczają się małą ściśliwością i dlatego współczynnik
jest wielkością bardzo małą.

W przypadku gazów współczynnik ściśliwości
nie jest stały i zależy od sposobu sprężania.

Napięcie powierzchniowe

Napięcie powierzchniowe jest to własność fizyczna cieczy, która pojawia się w sytuacji, gdy istnieje powierzchnia swobodna ciecz-gaz. Na granicy rozdziału tych dwóch płynów występuje po stronie cieczy dodatkowa siła skierowana do wnętrza cieczy. Wynika ona z niezrównoważenia sił Van der Waalsa od strony gazu i cieczy (od strony cieczy są one większe. W wyniku tego kropla dąży np. do kształtu kulistego (Rys1.5).

Miara tego jest tzw. napięcie powierzchniowe
między cieczą i gazem. Oprócz tego wyróżnia się napięcia powierzchniowe między cieczą i ciałem stałym
oraz między ciałem stałym a gazem
.

Relacje między tymi trzema napięciami ujmuje tzw. kąt zwilżania
.

Rys 1.5 Ilustracja napięć powierzchniowych

Płyny Newtonowskie: lepkość

Płyny (ciecze i gazy) posiadają taką właściwość, iż ulegają deformacji pod wpływem przyłożonego naprężenia stycznego. Zależnie od relacji między przyłożonym naprężeniem stycznym a deformacją elementu płynu rozróżniamy dwie główne klasy płynów:

- Płyny newtonowskie oraz

- Płyny nie-newtonowskie.

Płyny, dla których naprężenia styczne są proporcjonalne do prędkości deformacji płynu nazywamy płynami newtonowskimi. Wszystkie inne płyny są płynami nie - newtonowskimi.

Dla analizy tego zagadnienia rozpatrzmy przypadek pokazany na Rys 1.6.

Mamy dwie płyty równoległe, z których górna porusza się z prędkością
pod wpływem przyłożonej siły
.

Naprężenia styczne przyłożone do elementu płynu można napisać jako

(1.16)

gdzie
jest powierzchnią kontaktu płynu z płytą.

Rys 1.6 Ilustracja deformacji elementu płynu

Podczas małego przyrostu czasu
element płynu ulega deformacji, od pozycji początkowej MNOP do pozycji M'NOP'. Prędkość deformacji D jest zdefiniowana jako

(1.17

Płyn jest Newtonowski, jeżeli naprężenie styczne jest proporcjonalne do prędkości deformacji D, czyli

(1.18)

Ostatnią zależność można rozpisać mając na uwadze następujące związki:

(1.19a)

(1.19b)

Stąd w oparciu o oba powyższe związki mamy

(1.19c)

Idąc z czasem do zera (
) otrzymuje się prędkość deformacji elementu płynu dla

przepływu jednowymiarowego

(1.17a)

Wobec tego dla płynu Newtonowskiego można w oparciu o (1.18) napisać

(1.20)

Należy pamiętać, iż naprężenia styczne działają w płaszczyźnie stycznej do kierunku przepływu i są one proporcjonalne do pochodnej prędkości w kierunku normalnym do przepływu.

Dla płynów newtonowskich ogólnie można napisać

(1.21)

gdzie współczynnik proporcjonalności
zwany jest dynamicznym współczynnikiem lepkości. Zależność (1.21) jest zwana prawem Newtona.

Dynamiczny współczynnik lepkości ma wymiar kg/m s.

Stosunek dynamicznego współczynnika lepkości do gęstości nazywa się kinematycznym współczynnikiem lepkości
.

(1.22)

Kinematyczny współczynnik lepkości ma wymiar (
).

Lepkość zależy głównie od temperatury, nieznacznie od ciśnienia.

Przykłady gęstości płynów

Przykłady lepkości płynów

Przebieg lepkości powietrza i wody w funkcji temperatury

3. JAKIE SĄ ISTOTNE CECHY RUCHU LAMINARNEGO I TURBULENTNEGO?

Cechą charakterystyczną ruchu turbulentnego jest fluktuacja prędkości.

Pomiędzy ruchem laminarnym a całkowicie turbulentnym występuje ruch przejściowy, określany współczynnikiem intermitencji:

γ=0 - ruch laminarny;

γ<1 - ruch przejściowy

γ=1 - ruch turbulentny.

Drugim parametrem charakteryzującym ruch turbulentny jest stopień turbulencji, określony na podstawie wartości średniej prędkości:
; T - okres uśredniania. Wówczas wektor prędkości ruchu turbulentnego:
, u' - fluktuacja prędkości dookoła ruchu średniego, czyli w rzucie na poszczególne kierunki:

Stopień turbulencji:

W przepływie laminarnym, nazywanym również uwarstwionym, poszczególne warstewki elementarne płynu nie mieszają się ze sobą, ale zsuwają się po sobie w sposób uporządkowany, z oporami określonymi prawem tarcia Newtona.

4. Napisz wyrażenie na przyspieszenie elementu płynu w postaci całkowitej (substancjalnej) pochodnej prędkości po czasie. Podaj interpretację fizyczną składowych tego przyspieszenia.

Istotnym pojęciem w metodzie Eulera jest pojęcie pochodnej substancjalnej, oznaczonej dla dowolnej funkcji f(x,y,z,t) symbolem
.

Pochodną substancjalną buduje się biorąc za punkt wyjścia pojęcie różniczki zupełnej funkcji wielu zmiennych. Czyli:

(*)

W wyrażeniu tym: dx, dy, dz są przyrostami dowolnymi w przestrzeni xyz. Jeżeli na przyrosty te nałożymy ograniczenia:

dx = u_xdt

dy = u_ydt

dz = u_zdt

co oznacza, że są one wybierane wzdłuż kierunku ruchu cząstki, to wyrażenie (*) można zapisać:

(**)

odnosząc przyrost df do przyrostu czasu dt, z (**) otrzymujemy:

zapis ten może być stosowany do dowolnej funkcji f. istotny jest jedynie operator typu:

Ze sposobu budowania operatora pochodnej substancjalnej wynika następująca interpretacja fizyczna poszczególnych wyrażeń:

oznacza zmianę danej wielkości w czasie z punktu widzenia obserwatora poruszającego się wraz z elementem płynu

oznacza zmianę w czasie danej wielkości w danym punkcie przestrzeni (przy ustalonym x, y, z) - jest to pochodna lokalna

oznacza zmianę danej wielkości w przestrzeni w danym ustalonym czasie - jest to pochodna konwekcyjna (często także zwana adwekcyjną).

Tak więc pochodna substancjalna jest sumą pochodnej lokalnej i pochodnej konwekcyjnej.

Pochodna konwekcyjna jest iloczynem skalarnym wektora prędkości u i operatora gradient (nabla)

.

Stosując operator różniczkowania substancjalnego do składowych wektora prędkości otrzymujemy przyspieszenie substancjalne

(#)

Po pomnożeniu powyższych równań przez wektory i, j, k oraz ich zsumowaniu możemy relacje(#) zapisać w sposób zwarty:
.

---