SETLA BARTOSZ	Ćwiczenie nr Wyznaczanie pojemności kondensatora metodą drgań relaksacyjnych.
FIZYKA II ROK	Ocena z kolokwium:	Ocena ze sprawozdania:	Ocena końcowa:
dr A. Domagała

CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Elektryczny generator drga* relaksacyjnych

Najprostszy obw*d elektryczny s*u**cy do wytwarzania drga* relaksacyjnych przedstawia

Rys. 1.

Drgania powstaj* w obwodzie kondensatora C *adowanego przez opornik R (element rozpraszaj*cy energi*) ze *r*d*a sta*ego napi*cia U₀ (*r*d*o energii). Rol* zaworu decyduj*cego o cyklicznie powtarzanych fazach *adowania i roz*adowania kondensatora pe*ni przy**czona do niego r*wnolegle neon*wka N.

Po do**czeniu do obwodu *r*d*a napi*cia U₀ kondensator zaczyna si* *adowa* przez op*r R. Je*eli napi*cie na kondensatorze osi*gnie warto** napi*cia zap*onu U_Z neon*wki, lampa w**czy si* (zapali) i b*dzie przewodzi*a pr*d roz*adowuj*c kondensator, dop*ki napi*cie na nim nie opadnie poni*ej napi*cia ga*ni*cia neon*wki U_G. Po wy**czeniu neon*wki kondensator ponownie zaczyna si* *adowa* i ca*y cykl powtarza si* od nowa.

Okres drga* relaksacyjnych zale*y od parametr*w element*w tworz*cych generator. Ustalenie analitycznej postaci tej zale*no*ci wymaga przedstawienia szczeg**owej analizy proces*w *adowania i roz*adowania kondensatora w obwodzie pr*du sta*ego.

*adowanie kondensatora w obwodzie RC

W obwodzie przedstawionym na Rys. 2 po zamkni*ciu klucza K kondensator C *aduje si* poprzez op*r R pr*dem I wyp*ywaj*cym ze *r*d*a napi*cia sta*ego U₀.

Zgodnie z II prawem Kirchhoffa dla dowolnej chwili t mo*na napisa*

U₀=U+IR

gdzie U oznacza napi*cie na kondensatorze C. Korzystaj*c z definicji nat**enia pr*du i pojemno*ci elektrycznej otrzymuje si* zale*no** I=dQ/dt=CdU/dt umo*liwiaj*c* przekszta*cenie rownania do postaci dogodnej do sca*kowania:

dt/RC= −dU/(U₀−U).

Powy*sze r*wnanie jest r*wnaniem r**niczkowym pierwszego stopnia o zmiennych rozdzielonych, a jego rozwi*zanie ma og*ln* posta*:

t/RC= −ln(U₀ − U)+K.

Z za*o*enia, *e dla t=0 napi*cie na kondensatorze r*wna si* zeru, uzyskuje si* warto** sta*ej ca*kowania K=lnU₀. Ostateczn* posta* rozwi*zania, opisuj*c* zmian* napi*cia na kondensatorze w trakcie jego *adowania, mo*na przedstawi* nast*puj*co:

U=U₀(1−exp(−t/RC))

Graficzn* ilustracj* powy*szego rozwi*zania przedstawia Rys. 2b.

Roz*adowanie kondensatora w obwodzie RC

W zupe*nie podobny spos*b mo*na przeanalizowa* proces roz*adowywania kondensatora C przez op*r R po zamkni*ciu klucza w obwodzie przedstawionym na rys. 3a. Szczeg**owe rozwi*zanie b*dzie mia*o w tym przypadku posta*:

U=U₀exp(−t/RC)

Charakterystyk* czasow* roz*adowuj*cego si* kondensatora przedstawia rys. 3b.

Okres drga* generatora drga* relaksacyjnych

Korzystaj*c z uzyskanych rozwi*za* mo*na przedstawi* na wykresie (Rys. 4) charakterystyk* czasow* obwodu relaksacyjnego ukazanego na Rys. 1.

Wykres sk*ada si* z powtarzaj*cych si* cyklicznie wyk*adniczych faz *adowania i roz*adowania kondensatora. Szybko** roz*adowania kondensatora jest jest znacznie wi*ksza od szybko*ci *adowania, poniewa* roz*adowanie zachodzi poprzez op*r wewn*trzny neon*wki. Jest on du*o mniejszy (kilka rz*d*w wielko*ci) od oporu zewn*trznego R, decyduj*cego o szybko*ci *adowania kondensatora. Mo*na zatem przyj*c, *e okres T drga* relaksacyjnych jest okre*lony wy**cznie przez czas fazy *adowania.

Korzystaj*c z r*wnania i przyjmuj*c oznaczenia t₁ i T tak jak na Rys. 4, mo*na zapisa*:

U_Z =U₀ (1−exp(−(t₁ + T)/RC))

U_G =U₀ (1−exp(−t₁/RC)

gdzie U_Z - napi*cie zap*onu, U_G - napi*cie ga*ni*cia.

Po wyeliminowaniu z uk*adu r*wna* zmiennej t₁ uzyskuje si* wyra*enie opisuj*ce zale*no** okresu drga* T od parametr*w obwodu drgaj*cego R, C, U₀, U_G, U_Z:

T=RCln((U₀ −U_G )/(U₀ −U_Z ))

Warto** logarytmu w powy*szym r*wnaniu zale*y jedynie od typu neon*wki i napi*cia zasilania, jest zatem dla danego obwodu drgaj*cego wielko*ci* sta**. Wprowadzaj*c oznaczenie K=ln((U₀ −U_G )/(U₀ −U_Z )) otrzymuje si*:

T=KRC

Poniewa* okres drga* relaksacyjnych jest liniowo zale*ny od pojemno*ci kondensatora C, opisany obw*d drgaj*cy mo*e s*u*y* do dogodnego poniaru nieznanych pojemno*ci.

Część obliczeniowa

Tabela wyników

C = 1,1 [F] = 0,0000011 [F]
l.p.	R [M]	R []		RC	t [s]	T [s]
1	10	10000000		11	106	2,12
2	6,8	6800000		7,48	71	1,42
3	4,7	4700000		5,17	51	1,02
4	3,3	3300000		3,63	36	0,72
5	2,2	2200000		2,42	24	0,48
6	1,5	1500000		1,65	17	0,34
R = 4,7 [M]
			t [s]	T [s]	RC	C [F]
Kondensator I			67	1,34	6,93	1,47
Kondensator II			159	3,18	16,64	3,54
Szeregowo			47	0,94	4,82	1,03
Równolegle			174	3,48	18,22	3,88

Na podstawie pierwszej części tabeli wyliczam metodą regresji współczynnik nachylenia prostej a i stałą b:

T = a RC + b

RC = x

T = y

-	x	y	x^2	xy	y^2
1	11	2,12	121,00	23,32	4,49
2	7,48	1,42	55,95	10,62	2,02
3	5,17	1,02	26,73	5,27	1,04
4	3,63	0,72	13,18	2,61	0,52
5	2,42	0,48	5,86	1,16	0,23
6	1,65	0,34	2,72	0,56	0,12
sumy:	31,3500	6,1000	225,4351	43,5512	8,4156

982,8225

a = 0,1895 Sa = 0,0019

b = 0,0265 Sb = 0,0117

Stąd wyliczam (lub odczytuję z wykresu) RC i dalej C [F] .

POJEMNOŚCI [F]
Kondensator I	1,47
Kondensator II	3,54
Szeregowo	1,03
Równolegle	3,88

Wnioski

Obliczona wartość pojemności połączenia szeregowego kondensatorów jest zbliżona do teoretycznej. Natomiast otrzymany wynik przy połączeniu równoległym dość znacznie odbiega od oczekiwanej wartości. Wpływ na to mogą mieć zarówno błędy pomiaru (odczyt czasu lub ilości okresów), jak też błędy Sa i Sb.

Rys. 1. Schemat generatora drgań relaksacyjnych

Rys. 2. Ładowanie kondensatora: a) schemat obwodu elektrycznego, b) charakterystyka czasowa.

Rys. 3. Rozładowanie kondensatora : a) schemat obwodu elektrycznego, b) charakterystyka czasowa.

Rys. 4. Wykres drgań relaksacyjnych.

---