ELEKTROTECHNIKA

ĆWICZENIE 4. Pomiary mocy w układach jedno i trójfazowych

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest poznanie układów do pomiaru mocy czynnej oraz ich podstawowych właściwości metrologicznych. W zakres ćwiczenia wchodzą:

1. Wyznaczenie mocy w układzie trójfazowym skojarzonym w trójkąt dla obciążenia symetrycznego i niesymetrycznego

2. Wyznaczenie wartości mocy czynnej, biernej, pozornej, cos  oraz wykresy trójkątów mocy, dla różnych udziałów obciążenia indukcyjnego w całkowitej impedancji obciążenia w układzie jednofazowym.

3. Kompensacja mocy biernej w układzie jednofazowym

Wiadomości wstępne

Znajomość wartości mocy oddawanej przez źródło lub pobieranej przez odbiornik informuje o stanie obciążenia badanego urządzenia, pozwala na określenie jego sprawności energetycznej, umożliwia wyznaczenie szkodliwych strat energii. Dlatego jej wartość jest mierzona bardzo często. Do bezpośredniego pomiaru mocy przy przebiegach sinusoidalnych lub nieznacznie odkształconych w paśmie częstotliwości technicznych (do ok. 500Hz) stosuje się watomierze o ustrojach elektrodynamicznych lub ferrodynamicznych. Watomierze elektrodynamiczne budowane są zwykle jako watomierze precyzyjne w klasach 0.1; 0.2; 0.5. Układ połączeń watomierza elektrodynamicznego przedstawiono na rysunku 1.

Rys. 1 Układ połączeń watomierza elektrodynamicznego

Wykorzystuje się siły występujące pomiędzy przewodami (cewkami, uzwojeniami), przez które płynie prąd. Przez cewkę nieruchomą, tzw. prądową, włączoną do obwodu szeregowo, przepływa prąd I₁ kontrolowanego obiektu. Cewka nieruchoma wytwarza pole magnetyczne, w którym umieszczona jest cewka ruchoma. Cewka ruchoma (napięciowa) o rezystancji R_W, połączona szeregowo z rezystorem dodatkowym R_d, włączona jest równolegle z badanym obiektem na napięcie U. Do cewki ruchomej prąd jest doprowadzony przez spiralne sprężyny, będące jednocześnie źródłem momentu zwrotnego. Wraz z osią cewki ruchomej obraca się wskazówka watomierza. Moment napędowy jest wypadkową sił pochodzących od obydwu cewek, a więc wychylenie wskazówki zależy od prądów płynących w obydwu cewkach. Ponieważ przy prądzie przemiennym następuje jednoczesna zmiana kierunków prądów w obydwu cewkach, to kierunek momentu napędowego nie zmienia się.

Cewka napięciowa wraz z rezystorem dodatkowym tworzy tor napięciowy o rezystancji:

R = R_W +R_d

Rezystancja cewki napięciowej wraz z rezystancją rezystora dodatkowego jest wielokrotnie wyższa od reaktancji indukcyjnej cewki napięciowej, wobec tego przyjmuje się, że prąd w cewce napięciowej jest w fazie z napięciem.

Watomierze laboratoryjne mają zwykle podziałkę oznaczoną w działkach.

Stałą watomierza C_W w W/dz oblicza się ze wzoru:

gdzie: U_n - napięcie znamionowe

I - prąd znamionowy

cos_n - znamionowy współczynnik mocy

α_n - całkowita liczba działek

Moc wskazywaną przez watomierz z podziałką oznakowaną w działkach oblicza się ze wzoru

Zwykle cos=1. Można również spotkać watomierze w wykonaniu specjalnym, dające np. pełne wychylenie przy cos - 0.5; 0.2; 0.1, które stosowane są do pomiaru mocy czynnej odbiorników o małym współczynniku mocy. Watomierze elektrodynamiczne są najczęściej budowane jako wielozakresowe o niezależnej zmianie zakresów napięciowych i prądowych. Zakresy napięciowe zmienia się za pomocą rezystorów dodatkowych. Zakresy prądowe zmienia się przez dzielenie cewki nieruchomej na jednakowe sekcje i łączenie tych sekcji szeregowo lub równolegle. Zwykle najmniejszy zakres prądowy wynosi 0.5A a największy 10A. Kierunek wychylenia wskazówki watomierza zależy od kierunku prądów płynących przez cewkę ruchomą i nieruchomą. Dlatego początek cewki prądowej watomierza łączy się tak, aby był zwrócony w kierunku dopływu energii, a początek cewki napięciowej łączy się z początkiem lub końcem cewki prądowej. Początki cewek prądowych i napięciowych są wyróżniane zwykle przez odpowiednie oznakowanie - *. Ze względu na możliwość przebicia między cewkami prądową i napięciową i związane z tym uszkodzenie izolacji, różnica potencjałów między cewkami nie może być duża. Dlatego rezystory dodatkowe łączy się zawsze z końcem cewki napięciowej. Podobnie jak przy pomiarze mocy woltomierzem i amperomierzem, watomierz może pracować w układzie poprawnie mierzonego prądu lub poprawnie mierzonego napięcia (rys 2).

Rys. 2 Pomiar mocy czynnej watomierzem: a) układ poprawnie mierzonego

prądu, b) układ poprawnie mierzonego napięcia

W celu kontroli pracy watomierza i niedopuszczenia do przeciążenia któregoś z jego obwodów, watomierz powinien współpracować z amperomierzem i woltomierzem. Amperomierz łączy się tak aby mierzył ten sam prąd. który płynie przez cewkę prądową, a woltomierz to napięcie, które jest na zaciskach napięciowych watomierza.

Moc Czynna

Dla przebiegu napięcia w czasie wyrażonego wzorem

oraz prądu opóźnionego w fazie o kąt , czyli

moc chwilową można przedstawić równaniem

.

Po przekształceniu możemy ten wzór przedstawić w postaci

.

Z powyższej zależności możemy wyodrębnić składową niezależną od czasu

oraz składową zmienną w czasie

.

Jeśli przesunięcie fazowe  = 0 to cos = 1 i składowa stała jest największa i równa UI.

Wartość średnia mocy chwilowej za okres oznaczana jako P, nazywana jest mocą czynną. Wynosi ona

co po podstawieniu wyrażenia na wartość chwilową i scałkowaniu prowadzi do zależności

.

Moc bierna.

Moc bierna (symbol Q) jest pobierana ze źródła (sieci zasilającej) przez odbiorniki o charakterze indukcyjnym (odbiorniki czysto rezystancyjne nie pobierają mocy biernej).

Dla rosnącej mocy biernej rośnie przesunięcie fazowe pomiędzy prądem i napięciem w obwodzie, maleje zatem cos (współczynnik mocy) przez co rośnie także moc pozorna (symbol S), która jest podstawą do rozliczeń za dostawę energii elektrycznej, a więc zwiększa koszty. Wpływa także na rodzaj i wielkość zastosowanych elementów instalacji elektrycznych (np. przekroje przewodów).

Moc bierna nie zamienia się na ciepło, nie jest więc mocą użyteczną. Moc bierna przepływa w sposób cykliczny pomiędzy źródłem i odbiornikiem z częstotliwością dwukrotnie wyższą od częstotliwości napięcia źródła. Moc bierną kompensuje się poprzez równoległe dołączenie do odbiorników indukcyjnych (najczęściej w rozdzielniach) baterii kondensatorów statycznych, które także wprowadzają do systemu moc bierną, ale o przeciwnym znaku do mocy biernej indukcyjnej.

Q_ind = - Q_poj

Przypadek taki zachodzi wówczas gdy prąd bierny indukcyjny jest równy prądowi biernemu pojemnościowemu, czyli reaktancja indukcyjna jest równa reaktancji pojemnościowej. Zatem

Czyli

Stąd możemy obliczyć wartość pojemności kondensatora kompensacyjnego.

Moc pozorna.

Moc pozorna jest największą wartością mocy czynnej w obwodzie przy cos = 1.

Moc czynna pomiędzy mocą czynną, bierną i pozorną przedstawia zależność

Graficznie zależności pomiędzy tymi składowymi mocy można przedstawić w postaci tzw. trójkąta mocy

Trójkąt mocy

Pomiar mocy czynnej metodami bezpośrednimi

Moc czynna układu trójfazowego jest sumą mocy czynnych wszystkich jego faz. W zależności od tego, czy obciążenie jest symetryczne czy niesymetryczne oraz od tego czy sieć jest trój- czy czteroprzewodowa (czy punkt zerowy obciążenia jest dostępny czy niedostępny) rozróżnia się przedstawione niżej metody pomiaru mocy czynnej.

Pomiar mocy czynnej trzema watomierzami

Pomiar mocy czynnej trzema watomierzami może być wykonywany zarówno w sieci trójfazowej czteroprzewodowej jak i trójprzewodowej. Moc czynną w sieci trójfazowej czteroprzewodowej wyznacza się ze wzoru:

gdzie: U_L1,U_L2, U_L3 - napięcia fazowe

I_L1, I_L2, I_L3 - prądy przewodowe

_L1 ,_L2 ,_L3 - kąty pomiędzy napięciami i prądami w poszczególnych fazach

P_L1, P_L2, P_L3 - moce fazowe

Ze wzoru wynika bezpośrednio sposób pomiaru mocy trzema watomierzami w sieci czteroprzewodowej (rys. 3).

Rys. 3 Pomiar mocy czynnej trzema watomierzami w sieci trójfazowej czteroprzewodowej

Moc pobierana przez odbiornik równa jest sumie wskazań watomierzy

gdzie: P_W1, P_W2, P_W3 - moce wskazywane przez watomierze.

Pomiar mocy w przedstawionym układzie daje prawidłowy wynik bez względu na symetrię lub asymetrię zasilania oraz niezależnie od tego czy obciążenie jest symetryczne czy też niesymetryczne. Za pomocą trzech watomierzy można dokonać również pomiaru mocy w obwodzie trójfazowym trójprzewodowym symetrycznym lub niesymetrycznym. Odpowiedni układ pomiarowy (rys. 4) uzyskuje się tworząc sztuczny punkt zerowy przez połączenie obwodów napięciowych trzech watomierzy w gwiazdę.

Rys. 4 Pomiar mocy czynnej trzema watomierzami w sieci trójfazowej trójprzewodowej

Moc pobieraną przez odbiornik wyznacza się z zależności:

Błąd graniczny systematyczny pomiaru mocy wywołany błędami watomierzy wyznacza się z zależności:

gdzie: δ_W1, δ_W2, δ_W3 - błędy względne pomiaru mocy za pomocą watomierzy

Pomiar mocy czynnej jednym watomierzem

W układzie trójfazowym o symetrycznym zasilaniu i obciążeniu spełnione są zależności:

Uwzględniając powyższe zależności, uzyskuje się:

co oznacza, że wskazania watomierzy włączonych w poszczególne fazy są jednakowe. Do pomiaru mocy w obwodzie o symetrycznym zasilaniu i symetrycznym obciążeniu wystarczy więc jeden watomierz (rys 5).

Rys. 5 Pomiar mocy czynnej jednym watomierzem: a) w sieci czteroprzewodowej,

b) w sieci trój przewodowej

W obwodach trójprzewodowych (rys 5b) stosuje się sztuczny punkt zerowy. W tym celu łączy się w gwiazdę obwód napięciowy watomierza i dwa pomocnicze rezystory. Rezystancja rezystorów pomocniczych powinna być równa rezystancji obwodu napięciowego watomierza, gdyż w przeciwnym przypadku następuje przesunięcie punktu zerowego, powodując dodatkowe błędy pomiaru. Przy pomiarze mocy odbiornika połączonego w symetryczną gwiazdę i włączonego w symetryczną sieć, można wykorzystać jego punkt zerowy. Moc pobieraną przez odbiornik wyznacza się ze wzoru:

Ze względu na swoją prostotę, pomiar mocy czynnej jednym watomierzem jest używany stosunkowo często. Metoda ta jest jednak mało dokładna z powodu przyjęcia upraszczającego założenia o równym poborze mocy przez poszczególne fazy. Z tego względu nie stosuje się poprawek wynikających z poboru mocy przez przyrządy oraz nie oblicza się błędu systematycznego granicznego pomiaru mocy.

Pomiar mocy czynnej dwoma watomierzami

Pomiar mocy czynnej w układzie z dwoma watomierzami (tzw. układ Arona) stosowany jest w symetrycznie i niesymetrycznie obciążonych obwodach trójprzewodowych. Pomiar mocy za pomocą dwóch watomierzy jest prawidłowy przy założeniu, że suma geometryczna prądów fazowych (lub suma geometryczna napięć międzyfazowych) jest równa zeru. Warunek ten spełniony jest w sieciach trójfazowych bez przewodu zerowego. Trzy możliwe (równoważne) sposoby włączenia watomierzy przedstawiono na rysunku 6.

Rys. 6 Warianty układu do pomiaru mocy czynnej dwoma watomierzami

Moc czynna odbiornika równa jest sumie mocy wskazywanych przez watomierze

Błąd graniczny systematyczny spowodowany błędami watomierzy oblicza się ze wzoru:

Stosując układ Arona w obwodach symetrycznych można, oprócz pomiaru mocy, określić również ze wskazań watomierzy współczynnik mocy obciążenia. W tym celu należy znaleźć zależności na sumę i różnicę wskazań watomierzy.

Rys. 7 Pomiar mocy czynnej dwoma watomierzami : a) układ pomiarowy, b) wykres wektorowy

Korzystając z wykresu wektorowego prądów i napięć (rys 7), wskazania watomierzy można przedstawić w postaci zależności:

gdzie: U - napięcie międzyfazowe

I - prąd fazowy

Stąd:

Różnica wskazań watomierzy jest równa:

Dzieląc obie strony równań oraz dokonując prostych przekształceń uzyskuje się zależność:

Ponieważ

po podstawieniu i przekształceniu uzyskuje się następującą zależność pozwalającą obliczyć współczynnik mocy obciążenia:

Z zależności wynika, że wskazania watomierzy zależą od współczynnika mocy. Można zauważyć, że np. przy  = 0 (cos  = 1) wskazania watomierzy są jednakowe i równe połowie mocy całkowitej. Jeżeli kąt fazowy jest większy od 60° (cos  < 0.5), watomierz W₂ ma wskazania ujemne (tzn. wskazówka odchyla się w niewłaściwą stronę). W takim przypadku należy zmienić kierunek prądu w jego cewce napięciowej na przeciwny (zamienić miejscami przewody na zaciskach napięciowych), a przy obliczaniu mocy całkowitej uwzględnić ujemny kierunek wskazań. Pomiar mocy w układzie Arona jest mało dokładny dla małych wartości współczynnika mocy. W celu obliczenia mocy całkowitej odejmuje się bowiem od siebie dwie niewiele różniące się liczby. W takim przypadku należy pomiar przeprowadzić w układzie trzech watomierzy i ewentualnie zastosować watomierz o małym cos_n .

Pomiar mocy czynnej metodami pośrednimi

Pomiar mocy metodami pośrednimi polega na zastosowaniu przekładników prądowych i napięciowych. Zastosowane do pomiarów przekładniki umożliwiają:

• wykonanie pomiarów dużych prądów lub wysokich napięć miernikami o stosunkowo niewielkich zakresach pomiarowych (np. 5A, 100V),

• umieszczenie mierników w pewnej odległości od obwodu kontrolowanego,

• zwiększenie bezpieczeństwa obsługi.

Można wyróżnić dwa rodzaje układów:

1) Układ półpośredni - amperomierze i cewki prądowe watomierzy łączone są za pośrednictwem przekładników prądowych, a woltomierze i obwody napięciowe watomierzy bezpośrednio. Układ znajduje zastosowanie przy niskich napięciach i dużych prądach (zwykle dla I > 10A, U < 700V).

2) Układ pośredni - wszystkie mierniki łączone są za pośrednictwem przekładników prądowych i napięciowych. Układ jest stosowany przy wysokich napięciach (zwykle U > 700V), niezależnie od wartości prądów. Kryteria doboru układu (1, 2 lub 3 watomierze) do pomiaru mocy czynnej odbiorników trójfazowych metodami pośrednimi są takie same jak w metodach bezpośrednich. Ze względu na stosunkowo duże wartości mierzonych mocy, stosowanie poprawek na moc pobieraną przez przyrządy jest zbyteczne. Ponieważ jednak wartości spadków napięć na uzwojeniach pierwotnych przekładników prądowych mogą nie być pomijalne w stosunku do napięcia badanego odbiornika, należy w metodzie półpośredniej stosować układy poprawnie mierzonego napięcia. Najczęściej stosowanym układem do pomiaru mocy w obwodach wysokiego napięcia jest układ z dwoma watomierzami (rys. 8)

Rys. 8. Układ pośredni do pomiaru mocy czynnej w sieci trójfazowej trójprzewodowej dwoma watomierzami

Moc pobierana przez odbiornik jest równa:

gdzie: P_W1, P_W2 - moc wskazywana przez watomierze

ϑ_I - przekładnia przekładników prądowych

ϑ_U - przekładnia przekładników napięciowych

Dokładność pomiaru mocy mierzonej metodami pośrednimi zależy od błędów systematycznych watomierzy oraz błędów systematycznych przekładników prądowych i napięciowych, Błąd względny graniczny systematyczny pomiaru mocy czynnej metodą pośrednią w układzie z dwoma watomierzami (dla obciążenia symetrycznego i jednakowych przyrządów pomiarowych) można obliczyć ze wzoru:

gdzie: δ_P - błąd względny graniczny pomiaru mocy w %

P_W - zakres pomiarowy watomierzy w W

kl - klasa watomierzy w %

P_W1, P_W2 - wskazania watomierzy w W

Δ_I, Δ_U - błąd względny graniczny prądowy i napięciowy przekładników w %

δ_ , δ_U - błąd graniczny kątowy przekładnika prądowego i napięciowego w minutach.

Jeśli w układzie nie są stosowane przekładniki napięciowe, należy pominąć we wzorze ich błędy. Wartości graniczne błędów przekładników prądowych zestawiono w tablicach.

W układzie przedstawionym na rysunku nie ma konieczności zwracania obwodów napięciowych w stronę kontrolowanego obiektu (poprawny pomiar napięcia), gdyż spadki napięcia na uzwojeniach pierwotnych przekładników prądowych są pomijalne w stosunku mierzonych napięć. Uzwojenia wtórne oraz wszystkie metalowe części przekładników, nie będące normalnie pod napięciem, muszą, być uziemione ze względów bezpieczeństwa ich obsługi.

Pytania kontrolne.

1. Podać sposób obliczania stałej watomierza analogowego.

2. Podać definicje mocy czynnej, biernej oraz pozornej wraz ich zależnościami i opisem trójkąta mocy.

3. Na czym polega kompensacja mocy biernej. Narysować trójkąt mocy.

4. Podać sposoby łączenia watomierzy w sieci trójfazowej oraz wzory związane z tymi połączeniami przy pomiarze mocy czynnej.

5. Podać sposoby łączenia odbiorników w sieci trójfazowej oraz zależności pomiędzy wielkościami napięć i natężeń prądów fazowych i przewodowych w tych układach.

6. Co oznaczają pojęcia przekładni przekładnika prądowego, a co przekładni przekładnika napięciowego?

1

---