CALKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

• Funkcja wymierna wlasciwa

Funkcje wymierna
nazywamy wlaściwą , gdy stopień wielomianu w mianowniku jest wyższy niż stopień wielomianu w liczniku . Każdą funkcje wymierną niewlaściwą można przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej .

• Ulamki proste pierwszego i drugiego rodzaju

1. Funkcje wymierna wlaściwą postaci
   gdzie
   oraz
   , nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju .

2. Funkcje wymierną wlaściwą postaci
   gdzie
   oraz
   , przy czym
   , nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju .

• Rozklad funkcji na ulamki proste

Każda funkcja wymierna wlaściwa rzeczywista jest sumą ułamków prostych , przedstawienie funkcji wymiernej w postaci sumy ułamków prostych jest jednoznaczne. Funkcja wymierna wlaściwa :

Jest sumą
ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz
ułamków prostych drugiego rodzaju , przy czym

czynnikowi
odpowiada suma
ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci :

a czynnikowi
odpowiada suma
ułamków prostych drugiego rodzaju postaci :

• Calkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju

Do obliczania calek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy wzory :

• Calkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju

Do obliczania calek z ułamków drugiego rodzaju stosujemy wzór :

Pierwszą z tych calek obliczamy za pomocą podstawienia

I korzystamy ze wzoru :

Drugą z tych calek obliczamy sprowadzając trójmian
do postaci kanonicznej
i podstawieniu
, nastepnie korzystamy ze wzoru:

• Algorytm calkowania funkcji wymiernych

1. Sprawdzamy czy funkcja wymierna jest funkcja wymierną wlaściwą jeżeli nie jest to zapisujemy ją w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej .

2. Mianownik funkcji wymiernej właściwej rozkladamy na czynniki liniowe i kwadratowe nierozkładalne .

3. Zapisujemy rozklad funkcji na ulamki proste pierwszego i drugiego rodzaju rodzaju .

4. Obliczamy nieznane wspulczynniki tego rozkładu .

5. Obliczamy calki poszczególnych składników rozkładu funkcji na ulamki proste tj. wielomianu i ułamków prostych .

---