Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste

Dowolną funkcję wymierną, której mianownik ma miejsca zerowe, można zamienić na sumę lub różnicę ułamków prostych.

Przykład 1

Mianownik zapisujemy w postaci iloczynowej, następnie funkcję wymierną zamieniamy na sumę dwóch ułamków, których mianowniki są czynnikami powstałego iloczynu. Liczniki w ułamkach zapisujemy jako ogólną postać wielomianu stopnia o 1 mniejszego niż wielomiany w mianownikach.

⇒ 1=A(x−2)+B(x−3)

Najprostszym sposobem obliczenia A i B jest podstawienie do ostatniej równości takich liczb x, dla których nawiasy się zerują czyli 2 i 3.
Dla x=2:
1=A(2−2)+B(2−3) ⇒ 1=−B ⇒ B=−1
Dla x=3:
1=A(3−2)+B(3−3) ⇒ A=1

Przykład 2

A(x−2)+B(x−1)=3x+1
Dla x=2:
A(2−2)+B(2−1)=3⋅2+1 ⇒ B=7
Dla x=1:
A(1−2)=3⋅1+1 ⇒ A=−4

Przykład 3

A(x²−3x+3)+(Bx+C)(x−1)=x²+x+1

W tym przykładzie możemy od razu otrzymać tylko A podstawiając x=1:
A=3
Współczynniki B i C możemy obliczyć podstawiając za x dowolne liczby np. x=0 i x=−1, nie otrzymamy wyniku lecz układ dwóch równań:
3A−C=1 (dla x=0)
A+(−B+C)(−2)=1 (dla x=−1)

Wiedząc, że A=3 łatwo wyliczyć najpierw C=8 a potem B=−2