ARKUSZ 7. Funkcje wymierne

1. Rozwiązać równania z niewiadomą x. Przeprowadzić dyskusję istnienia

rozwiązań i ich liczby w zależności od wartości parametrów:

a)

12

1 − 9x

2

=

1 − 3x

1 + 3x

+

1 + 3x

3x − 1

,

b)

5

x

2

− 4

−

8

x

2

− 1

=

2

x

2

− 3x + 2

−

20

x

2

+ 3x + 2

,

c)

x − 2

x

= a +

b

x

,

d)

x + a

x − b

=

x − 2a

x + b

,

e)

a

x − a

+

b

x + a

=

a

2

x

2

− a

2

,

f )

x − 2a

x + 3a

= 3 −

2x

2

− 13a

2

x

2

− 9a

2

.

2. Rozwiązać nierówności:

a)

x

2

− 5

x

< x + 1,

b)

x

x

2

− 5x + 6

<

1

x − 2

,

c)

1

(x + 1)

3

>

1

x + 1

,

d)







x

2

− 5x + 3

x

2

− 1







< 1,

e) −1 <

x + 1

x − 1

<

3

x − 3

,

f ) 0 <

x

x

2

− x + 1

< 1.

3. Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności

−1 <

x

2

+ mx

x

2

− x + 2

< 2,

jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?

4. Dla jakich wartości paramatru k w zbiorze rozwiązań danej nierówności

x

2

+ k

2

6 + x

­ 1,

jest zawarty przedział h−1, 1i?

5. Dobrać liczby a, b tak, aby dla każdego x ∈ R \ {−1, 2} zachodziła

równość:

x

2

+ 5

x

3

− 3x − 2

=

a

x − 2

+

b

(x + 1)

2

.

6. Dane są funkcje f (x) =

x−b

3−x

oraz g(x) = −2x + 1. Dla jakich wartości

parametru b wykresy funkcji f, g mają:

14

a) dwa punkty wspólne,

b) jeden punkt wspólny?

Podać geometryczną interpretację zadania.

7. Naszkicować wykresy funkcji:

a) f (x) =

|x|

x − 1

,

b) g(x) =






x − 1

x + 1






,

c) h(x) =

2|x| − 3

3|x| − 2

,

d) k(x) =

x

|x − 1|

,

e) r(x) =

|x + 1| − x

|x − 2| + 3

,

f ) p(x) =

x − 2

x + |x − 1|

.

8. Wyznaczyć wszystkie takie q, aby ∀

x∈R



1+qx
1+x

2

< q



.

15