Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.
1
________________________________________________________________
Witek
Odpowiedzi.
AD1.
Musimy sprawdzić dla jakich mianownik nie ma miejsc zerowych.
Jeżeli
, to w mianowniku mamy 4 i jest OK. Jeżeli
to mamy w
mianowniku funkcję dwukwadratową. Podstawiając
mamy trójmian
i musimy sprawdzić kiedy
dla
(bo takie wartości
przyjmuje
).
Zauważmy, że
, zatem gdyby współczynnik przy był ujemny,
to funkcja musiałaby mieć nieujemny pierwiastek i byłoby źle. Zatem musi
być
Zauważmy ponadto, że wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną
równą
W połączeniu z warunkiem
oznacza to, że
dla
o ile
tylko
(funkcja rośnie na prawo od -3, jeżeli więc
, to taka sama
nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb dodatnich).
Odpowiedź:
AD2.
Sprawdźmy najpierw kiedy mianownik nie ma miejsc zerowych (aby dziedziną
był zbiór )
Miejsca zerowe funkcji to dokładnie miejsca zerowe licznika. Aby funkcja
miała dwa różne miejsca zerowe musi być
.
Odpowiedź:
Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.
2
________________________________________________________________
Witek
AD3.
Wyrażenie w mianowniku nie może być równe zero, sprawdźmy kiedy tak
jest.
Odpowiedź:
AD4.
Musimy ustalić dla jakich wartości parametru równanie
ma rozwiązania. Liczymy.
Zauważmy teraz, że jeżeli
, to mamy równanie
, które
oczywiście ma rozwiązania. Jeżeli natomiast
, to mamy równanie
kwadratowe, więc wystarczy sprawdzić, kiedy
.
Odpowiedź:
Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.
3
________________________________________________________________
Witek
AD5.
a.
Musimy uzasadnić, że równanie
(z niewiadomą ) ma zawsze rozwiązanie. Liczymy (wyliczamy )
Dalej,
, co oznacza, że równanie to ma zawsze dwa różne
rozwiązania. W szczególności jedno z nich jest niezerowe (musimy takie
znaleźć, bo 0 nie należy do dziedziny funkcji ).
b.
Musimy znaleźć dwie wartości i , dla których
. Można
spróbować zgadnąć, ale można też skorzystać z poprzedniego podpunktu.
Uzasadniliśmy w nim, że każdą wartość funkcja przyjmuje w 2 punktach
(w zasadzie mogłoby się zdarzyć, że jednym z pierwiastków otrzymanego
równania kwadratowego jest 0 i wtedy mamy tylko jednego -a, a nie dwa,
ale łatwo sprawdzić, że
nigdy nie jest pierwiastkiem).
Jeżeli chcemy mieć konkretny przykład, to biorąc np.
mamy
,
czyli
AD6.
Skorzystamy ze wzoru
Liczymy
Odpowiedź:
Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.
4
________________________________________________________________
Witek
AD7.
Dziedziną funkcji będą wszystkie liczby, dla których mianownik nie jest równy
0. Liczymy
Widać zatem, że do dziedziny nie należą liczby
Odpowiedź:
AD8.
Musimy wykazać, że równanie (z niewiadomą )
ma rozwiązanie dla dowolnego
. Liczymy
Jeżeli
, to równanie to ma rozwiązanie
. Jeżeli natomiast
, to
jest to zwykłe równanie kwadratowe z parametrem.
Ponieważ
, to równanie to ma zawsze dwa rozwiązania.
Nie jest to jednak jeszcze koniec – musimy sprawdzić, że te rozwiązania to nie
jest para
. To jednak łatwo wynika ze wzorów Viète’a:
Tak więc zbiorem rozwiązań tego równania nie może być para
, co
pokazuje, że każda liczba rzeczywista jest wartością danej funkcji.
Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.
5
________________________________________________________________
Witek
AD9.
Na mocy nierówności:
Wystarczy pokazać, zbiór rozwiązań nierówności
zawiera wszystkie liczby dodatnie. Liczymy
Aby rozłożyć licznik szukamy jego miejsc zerowych. Łatwo znaleźć
pierwiastek
. Dzielimy licznik przez
. My zrobimy to grupując
wyrazy
Rozkładamy trójmian w nawiasie,
,
lub
. Możemy
więc zapisać naszą nierówność w postaci
Ta nierówność jest oczywiście spełniona przez każdą liczbę dodatnią (bo
każdy składnik jest nieujemny).
Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.
6
________________________________________________________________
Witek
AD10.
Ułamek jest tym większy, im mniejszy ma mianownik. Aby znaleźć
najmniejszą wartość mianownika, zapisujemy go w postaci kanonicznej.
Zatem najmniejszą wartość otrzymamy dla
i jest ona równa
.
Odpowiedź:
AD11.
Odpowiedź:
AD12.
a.
Liczymy
b.
Musimy uzasadnić nierówności
Mnożąc przez mianowniki skorzystaliśmy z tego, że są one dodatnie.
Otrzymane nierówności są oczywiście prawdziwe, co dowodzi tezy (bo są
równoważne nierównościom, które mieliśmy udowodnić).
Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.
7
________________________________________________________________
Witek
AD13.
To co mamy sprawdzić, to dla jakich wartości mianownik nie ma miejsc
zerowych.
Sprawdźmy najpierw co się dzieje jeżeli mianownik jest liniowy. Jeżeli
to mamy w mianowniku 1 i jest OK. Jeżeli
, to mamy
i
nie
należy do dziedziny danej funkcji.
Jeżeli
to mamy w mianowniku funkcję kwadratową i aby nie miała
ona pierwiastków musimy mieć
.
Odpowiedź:
AD14.
Wyrażenia w mianownikach nie mogą być równe 0, czyli
i
.
Odpowiedź:
AD15.
Ponieważ
mianownik jest niezerowy dla
oraz
Odpowiedź:
AD16.
Liczymy (sprowadzamy do wspólnego mianownika).
Odpowiedź:
Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.
8
________________________________________________________________
Witek
AD17.
a.
Aby usasadnić, że funkcja jest nieparzysta musimy sprawdzić, że zachodzi
równość
. Liczymy
b.
Musimy pokazać, że jeżeli
to
. Liczymy
W ostatniej nierówności skorzystaliśmy z tego, że mianownik jest dodatni,
i
.
c.
Zobaczmy co dokładnie mamy wykazać
Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnego
, zatem
dla
dowolnego
.
AD18.
Licznik rozłożymy ze wzoru
Natomiast mianownik rozkładamy licząc pierwiastki
Mamy zatem
Odpowiedź:
Klucz odpowiedzi – funkcja wymierna.
9
________________________________________________________________
Witek
AD19.
Rozłożymy licznik i mianownik na czynniki. Najpierw licznik: szukamy
pierwiastków całkowitych wśród dzielników wyrazu wolnego. Łatwo znaleźć
pierwiastek
. Dzielimy zatem wielomian przez
– my zrobimy to
grupując wyrazy.
No i dalej nie ma co liczyć, bo wyrażenie w nawiasie to mianownik
wyjściowego ułamka.
Odpowiedź: