Przykład 1 MB Kratownica

Obliczyć wartości sił w prętach kratownicy przedstawionej na rys.1.

Kratownica zbudowana jest z 6 prętów o identycznym przekroju
, oraz z materiału, którego moduł Younga
. Pręty 1, 3, 5, 6 mają identyczną długość
.Oraz l(2)=l(4). Kratownica obciążona jest siłą poziomą
i podpartą na dwóch podporach w węzłach 1 i 2. Pręt 3 jest w poziomie. Podpora przegubowa przesuwna daje reakcję o kierunku pionowym.

y 6

3 4 P

1 2 4 5

R_1y R_1x R₂

1 2 x Rys.1

3

Rozwiązanie. Z warunku równowagi całej konstrukcji

1. Sprawdzenie czy konstrukcja jest statycznie wewnętrznie wyznaczalna

Ilość węzłów
, ilość prętów
, wzór na sprawdzenie statycznej wyznaczalności

sprawdzenie
. Różnica między rzeczywistą ilością prętów p a ilością prętów p₁, przy której kratownica była by statycznie wyznaczalna, wynosi
. Wniosek kratownica jest jednokrotnie wewnętrznie statycznie niewyznaczalna.

2. Należy kratownice uczynić statycznie wyznaczalną np. odcinając myślowo pręt 4 od węzła 3. W miejscu myślowego przecięcia w rzeczywistej konstrukcji działa siła X , która zapewnia, że w miejscu tym będzie ciągłość konstrukcji czyli
.

Równanie ciągłości konstrukcji w miejscu przecięcia

………………. ………………………………….(a)

Gdzie
jest luką między węzłem 3 a końcem pręta 4 wywołaną działaniem siły rzeczywistej P (rys.2).

δ₁₀

y 6

3 4 P

1 2 4 5

R_1y R_1x R₂

1 2 x Rys.2

3

Z warunku równowagi całej konstrukcji
.

Natomiast δ₁₁ jest luką między węzłem 3 a końcem pręta 4 wywołaną wirtualnym obciążeniem o wartości
(rys.3).

δ₁₁

y 6

1[N] 4

3 1[N]

1 2 4 5

R_1y R_1x R₂

1 2 x Rys.3

3

Z warunku równowagi całej konstrukcji

3. Z warunków równowagi poszczególnych węzłów kratownic zamieszczonych na rysunkach 2 i 3 obliczamy wartości sił działających w prętach. I tak
są siłami wywołanymi obciążeniem rzeczywistym (rys.2), natomiast
są siłami powstałymi w wyniku działania obciążenia wirtualnego (rys.3). Wartości tych sił oraz długości prętów zamieszczono w tabeli 1

Tabela 1

i	1	2	3	4	5	6
N(i)/10^4	0	1,414	0	0	-1	0
	0,707	-1	0,707	-1	0,707	0,707
l(i)cm	100	141,4	100	141,4	100	100

4. Wartości współczynników
i
obliczamy ze wzorów:

(b)

(c)

Ponieważ
oraz
to wzory (b) i (c) przybiorą postać

(d)

(e)

W tabeli 2 zamieszczono wartości
oraz

Tabela 2

i	1	2	3	4	5	6
k10(i)[N cm]	0		0	0		0
k11(i)[N cm]	50,0	141,4	50,0	141,4	50,0	50,0

obliczamy przez podstawienie danych z tabeli 2 do (d) stąd

obliczamy przez podstawienie danych z tabeli 2 do (e) stąd

Z równania (a) mamy

Plus oznacza, że w rzeczywistości zwrot sił
jest zgodny ze znakiem w tabeli 1.

Wartości rzeczywistych sił działających w konstrukcji przedstawionej na rys.1

mają postać

Wartości tych sił przedstawiono w tabeli 3

Tabela 3

i	1	2	3	4	5	6
N(i)[N]	0		0	0		0
	3964		3964		3964	3964
	3964	8533	3964			3964

Przykład obliczenia wartości sił działających w węźle 3 kratownicy przedstawionej na rys.2

y

3 N(6) x Rys. 4

N(1)

stąd

stąd
.

Przykład 2 MB Kratownica

Dla konstrukcji przedstawionej w przykładzie 1 obliczyć wartości przemieszczenia węzłów 2, 4. Przy rozwiązywaniu zadania wykorzystaj wartości sił działających w prętach konstrukcji, obliczonych z przykładzie 1.

Rozwiązane

W momencie gdy znamy wartości sił wewnętrznych w konstrukcji statycznie niewyznaczalnej możemy ją przekształcić w konstrukcję statycznie wyznaczalną na przykład taką jaka jest przedstawiona na rys.5, czyli przeciąć pręt 4 i w miejscu przecięcia przyłożyć rzeczywiste siły działające w miejscu przecięcia. Wartości sił
działających w konstrukcji przedstawiono w tabeli 3 zadanie 1.

N_rz(4)

y 6

4 P

3 N_rz(4)

1 2 4 5

R_1y R_1x R₂

1 2 x Rys.5

3

Do obliczenia przemieszczenia posłużymy się wzorem Maxwella-Mohra

(f)

Aby skorzystać ze wzoru (f) należy obliczyć siły
od obciążenia wirtualnego przyłożonego w punkcie, którego przemieszczenie chcemy określić.

a) Obliczenie wartości przemieszczenia węzła 4 w kierunku osi x.

Układ wirtualny przedstawiono na rysunku 6. Z warunków równowagi poszczególnych węzłów otrzymano wartości sił działających w prętach, rezultat obliczeń zamieszczono w tabeli 4.

y 6

4 1[N]

3

1 2 4 5

R_1y R_1x R₂

1 2 x Rys.6

3

Tabela 4

i	1	2	3	4	5	6
Nrz(i)	3964	8533	3964	- 5607	- 6036	3964
	0	1,414	0	0	- 1	0
l(i)cm	100	141,4	100	141,4	100	100

Po podstawieniu danych do wzoru (f) przemieszczenie węzła 4 w kierunku osi x

.

b) Obliczenie wartości przemieszczenia węzła 4 w kierunku osi y.

Układ wirtualny przedstawiono na rysunku 7. Z warunków równowagi poszczególnych węzłów otrzymano wartości sił działających w prętach, rezultat obliczeń zamieszczono w tabeli 5.

1[N]

y 6

4

3

1 2 4 5

R_1y R_1x R₂

1 2 x Rys.7

3

Tabela 5

i	1	2	3	4	5	6
Nrz(i)	3964	8533	3964	- 5607	- 6036	3964
	0	0	0	0	1	0
l(i)cm	100	141,4	100	141,4	100	100

Po podstawieniu danych do wzoru (f) przemieszczenie węzła 4 w kierunku osi y

.

Wypadkowe przemieszczenie węzła 4

c) Obliczenie wartości przemieszczenia węzła 2 w kierunku osi x.

Układ wirtualny przedstawiono na rysunku 8. Z warunków równowagi poszczególnych węzłów otrzymano wartości sił działających w prętach, rezultat obliczeń zamieszczono w tabeli 6 .

y 6

4

3

1 2 4 5

R_1y R_1x R₂ 1[N]

1 2 x Rys.8

3

Tabela 6

i	1	2	3	4	5	6
Nrz(i)	3964	8533	3964	- 5607	- 6036	3964
	0	0	1	0	0	0
l(i)cm	100	141,4	100	141,4	100	100

Po podstawieniu danych do wzoru (f) przemieszczenie węzła 2 w kierunku osi x

.

W kierunku osi y
ponieważ siły od układu wirtualnego przyłożonego do węzła 2 o kierunku osi y powodują że
.

6

---