1.Zbiór wszystkich fkcji pierwotnych fkcji

f oznaczamy symbolem ∫f(x)dx i nazywamy calką nieoznaczoną.

∫xcosxdx= Iu=x v'=cosx.. u'=1 v=sinxI

= x sinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C

2.∫
dx,gdzie
<0. Wykorzystujemy postać kanoniczną trójmiany kwadratowego

Ax²+bx+c= a(x+

3.Fkjcą wymierną właściwą nazywamy fkcję wymierną,której stopień wielomianu licznika jest mniejszy od stopnia wielomianu mianownika.Każdą fkcję wymierną wł.można przedst.. w postaci SUMY ULAMKÓW PROSTYCH.

Np.

4.Całkowanie fkcji tryg. Całkę typu ∫R(cosx,sinx)dx gdzie R jest fkcją wymierną dwóch zmiennych można sprowadzić do całki fkcji wymiernej przyjmując t=tg
wykorzystujemy




mamy więc

5.a

Przykłady

6. maksimum- fkcja ma max.lokalne w pkcie P₀єD jeżeli spełniony jest warunek,
f(p)

Minimum-fkcja ma min. Lokalne w pkcie P₀єD jeżeli spełn. Jest warunek:

7.Warunek konieczny istnienia ekstremum fkcji dwóch zmiennych.

Jeżeli fkcja f ma w pkcie (x₀,y₀) ekstremum i jest w tym pkcie różniczkowalna to obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu fkcji f w tym pkcie sa równe zeru. ( f₁(x₀,y₀)=0, f₂(x₀,y₀)=0)

8. Warunek wystarczający ekstremum fkcji dwóch zmiennych.Jeżeli fkcja f jest klasy C² w otoczeniu pktu P₀(x₀,y₀) i ma obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w tym pkcie równe zeru.f_x(P₀)=f_y(P₀) a wyznacznik pochodnych cząstkowych drugiego rzędu fkcji f jest w tym pkcie dodatni to fukcja f ma w punkcie P₀ ekstremum.jeżeli ponadto f_xx(P₀)<0 to fkcja f ma max.w pkcie P₀, a jeżeli >0 to fkcja ma minimum w punkcie P₀.

9.Całka podwójna w prostokącie. Całka podwójna z fkcji f w prostokącie oznaczamy symbolem
i definiujemynastępująco:

o ile istnieje granica występuj ąca po prawej stronie równości i nie zależy od sposobu podziału prostokąta D ani też od wyboru pktów pośrednich.

Wlasnosci calki podwojnej . Jeżeli fkcje f i g dwóch zmiennych sa calkowane w obszarze domknietym D,to

a..

b..

c..Jezeli D=D₁UD₂ i obszar D₁ i D₂ nie maja wspólnych pktow zewnętrznych to

Interpretacja geometryczna calki podwojnej. Jeżeli fkcja f(x,y) jest ciagla na obszarze regularnym D oraz f(x,y)
dla (x,y) єD to objetosc V bryly o podstawie D,ograniczonej wykresem fkcji x=f(x,y) oray powierzchnia walcowa utworzona z prostych równoległych do osi OX i przechodzących przez brzeg obszaru D,wyraza się wzorem
w szczególnym przypadku, gdz f(x,y)=1 dla (x,y)єD, to
gdzie P oznacza pole obszaru D.

10.Twierdzenie o zamianie zmiennych w calce podwojnej. Jeżeli spełnione sa warunki

1.odwzorowanie x=x(u,v), y=y(u,v) przeksztalca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego A na wnętrze obszaru regularnego D.

2.fkcja x(u,v) i y(u,v) maja ciagle pochodne czastkowe pierwszego rzedu na obszarze zawierającym obszar A

3.fkcja f(x,y) jest ciagla na obszarze ….Wspolrzedne biegunowe x=rcos
y=rsin

Jeżeli obszar D pktow płaszczyzny Oxy jest obszarem na plaszczyznie Or
przy przekształceniu biegunowym x=rcos
y=rsin

To zachodzi wzor
11.

12.

13.Wspolrzedne sferyczne. Związki miedzy wspolrz.kartezjanskimi

pktu (x,y,z) i wspolrz. Sferycznymi (r,
)

X=rcos
(1)y=rsin
z=rsin

Odwzorowanie(1) przeksztalca wzajemnie jednoznacznie wnętrza obszaru regularnego U na wnętrze obszaru regularnego
.

Z rownan wynika,ze
Zatem x^2
………

^14.całka krzywoliniowa nieskierowana.zbiór K pktow płaszczyzny P(x,y),których współrzędne określone są równaniami parametrycznymi:

nazywamy łukiem gładkim regularnym,jeżeli spełnione są warunki:

1.różnym wartościom parametru
odpowiadaja różne pkty łuku

2.fkcje
mają ciągłe pierwsze pochodne na przedziale [
3.pierwsze pochodne

Nie znikają jednocześnie na przedziale [
].

Całkę krzywoliniową nieskierowaną z fkcji f(x,y) po krzywej L oznaczamy :
i definiujemy następująco:

(O ile ta granica istnieje,nie zależy od wyboru pktów)A_i(x_i,y_i)єL_i i nie zależy od sposobu podziału krzywej L na łuki L₁,L₂…L_n.

Jeżeli f(x,y) =1 dla każdego pktu (x,y)єL to całka
jest równa długości łuku krzywej L.Jeżeli f(x,y)
0 dla każdego pktu (x,y)єK

To całka
jest równa polu części powierzchni walcowej,której kierownicą jest krzywa K,a tworzące przechodzą przez pkty…

Jeżeli fkcja f jest ciągła na łuku reg.K o równaniach x=x(t),y=y(t),tє[
] to

Jeżeli fkcja f jest ciągła na łuku regularnym K o równaniu:y=y(x)

a
to
przykład: obliczyć całkę krzyw.
gdzie K jest łukiem okręgu x=acost,y=asint,0

x'(t)=-asint y'(t)=acost

Właśności całki krzyw.nieskierowanej:

a.

Gdzie cєR

b.

c.

gdzie L1 U L2=L,L1

przy czym P jest pktem krzywej L,który dzieli ta krzywą na dwie krzywe L1,L2.

15. Całki krzywoliniowe skierowane : Całkę krzywoliniową skierowaną uporządkowaną przy fkcji P i Q na krzywej K skierowanej dodatnio oznaczamy symbolem:

I obliczamy ze wzoru:

Gdy krzywa K jest dana jest równaniami parametrycznymi.

Jeśli krzywa K skierowana dodatnio jest określona równaniem y=y(x), a

To całkę obliczamy stosując wzór:

Przykład: obliczyć całkę
gdzie K jesy łukiem elipsy : x(t)=2cost,y(t)=sint,0

17.Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie postaci: F(x,y,y',y'',…,yⁿ)=0

W którym F jest fkcją dwóch zmiennych zmiennej niezależnej x,nieznanej fkcji y=f(x) i jej pochodnej y',y''…yⁿ

Rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego nazywamy każdą fkcję y=f(x) która zamienia to równanie w tożsamość.Rozwiązaniem ogólnym (całka ogólną) rr rzędu n na zbiorze D nazywamy rodzinę fkcji,zależnych od n stałych dowolnych C₁,C₂…C_n których wartości można tak dobrać aby otrzymać rozwiązanie szczególne spełniające warunki początkowe dla każdego układu wartości początkujących (x₀,y₀)єD

Jeżeli fkcja f jest ciągła na obszarze D oraz f_y''(x,y) jest fkcją ograniczoną na tym obszarze,to przez każdy pkt wewn.(x₀,y₀)єD przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania.

18.Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.

RR o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci y'=f(x)g(y) gdzie o fkcjach f i g zakładamy,że sa ciągłe odpowiednio na przedziałach a

Przykład: rozw.równ.

Y=

Y(1)=
,

,

18.Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie postaci:

Y'=f(
)

Gdzie f jest fkcją ciągła na pewnym przedziale (a,b) i rozwiązaniem rr wyznaczymy wprowadzając nowa fkcję:

U=

Wówczas y=x

I y'=u+x

Zatem rr przyjmuje postac : u+xu'=f(u)

Czyli x
o zmiennych rodzielonych)

Przykład:

Rozw,równ.y'=

Y'=

Y'=2
- rr jednorodne

U=
, y=xu

Y'=u+xu'

U+xu'=2 X 1/u+u

x

udu=
,

19.Równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci: y'+P(x)y=q(x)

Gdzie P(X) i q(x) są fkcjami ciągłymi na pewnym przedziale (a,b)/

Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym nazywamy równanie postaci: y'+P(X)y=0

20.Równanie różniczkowe zupełne

Dana jest fkcja z=f(x,y) klasa C² w obszarze.Różniczką zupełną tej fkcji nazywamy wyrażenie:

Df=

Wyrażenie P(x,y)dx+Q(x,y)dy gdzie Pi Q są fkcjami klasy C¹ w obszarze D.Jest różniczką zupełną pewnej fkcji f wtedy i tylko wtedy gdy spełniony jest warunek:
Równaniem różniczkowym zupełnym nazywamy równanie postaci: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Gdzie P i Q są fkcjami klasy C¹ w obszarze D spełniającymi warunek:
czyli lewa strona równania różniczk. Jest różniczką zupełną pewnej fkcji).Jeżeli lewa strona równania różniczk. Jest różniczką zupełną fkcji z=f(x,y) to równania różniczkowe można zapisać w postaci: df=0.Rozwiązanie ogólne tego równania ma postać: f(x,y)=C

Gdzie C jest stałą dowolną.

Przykład:P(x,y)=y²-1, Q(x,y)=2xy

Dane równanie jest rr zupełnym,istnieje fkcja taka,że df=(y²-1)dx+2xydy,z definicji wiadomo,że: df=

Stad mamy

I.równ.całkujemy względem X:f(x,y)=

Z II.

(xy²-sin2x)dx=y(1-x²)dy=0

P(x,y)=xy²-sin2x, Q(x,y)=- y(1-x²)

Z II.f(x,y)=-

Z równania II. i I.

Xy²+

21.Równanie różniczkowe II rzedu sprowadzalne do równań rzędu pierwszego.Ogólna postać równań różniczkowych II rzedu:F(x,y,y',y'')=0 (1)

a. równanie różn.II rzedu nie zawierające nieznanej fkcji F(x,y',y'')=0 (2)

Równanie różniczkowe (2) sprowadzamy do równań I rzędu y'=u gdzie u=u(x)

b.równanie różniczkowe II rzedu nie zawierające zmiennej niezależnej F(y,y',y'')=0 (3)

Równ.(3) sprowadzamy do I rzędu stosując podstawienie: y'=u gdzie u=u(y) wówczac y''=u'u

Przykład:

Rozw.równanie xy''+y'=1/x²

Y'=u,u=u(x), y''=u'

Otrzymujemy xu'+u=

U'+
rr liniowe I rzedu

P(x)-=1/x stosujemy metodę czynnika całkującego

xu'+u=
,(xu)'=
,xu=∫x^-2dx

xu=

u=

,ponieważ u=y':

Przykład:y''=u'u

Y:uu-u²,u(yu'-u)=0

U=0 lub y

r.ogólne danego rr II rzędu

22.Równania różniczkowe liniowe jednorodne drugiego rzęduo stałych współczynnikach

Y''+py'+qy=0,gdzie p,q-liczby rzeczywiste

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego jest postaci:

Y(x)=C₁y₁(x)+C₂y₂(x) gdzie C₁,C₂ sa stałymi dowolnymi.

Rozw.ogólne(całki ogólne):
.

23.Równania różniczkowe liniowe niejednorodne II rzędu o stałych współczynnikach czyli równania postaci:y''+py'+qy=f(x)

Metoda uzmienniani stałych:

Wyznaczamy r.ogólne RJ y''+py”+qy=0

Stałe C1 i C2 w równaniu zastępujemy fkcjami zmiennej x różniczkowalnym w przedziale (a,b) tzn.przyjmujemy,że y(x)=C1(x)y₁(x)+C2(x)y₂(x)

Fkcje C1(x) i C2(x) dobierzemy tak,aby fkcja y(x) spełniała rr niejednorodne,w tym celu fkcję y(x) daną równaniami: C1'(x)y₁+C2'(x)y₂=0

C1'(x)y₁'+C2(x)y₂'=f(x)stad otrzymujemy: C1'(x)=

---