Politechnika Wrocławska Wrocław, dn. 5. 12. 2008

Wydział Geoinżynierii

Górnictwa i Geologii

Studia Stacjonarne Inżynierskie

Rok II, rok akad. 2008/2009

Grupa: PTN godz. 8:15-9:45

Hydrogeologia

LABORATORIUM

Parametry filtracji nielaminarnej

Ćwiczenie wykonał:

Bartłomiej Bilski

Tomasz Chmiel

Damian Mrozek

Iwona Skoczylas

Paweł Strzałkowski

Adam Śpiewak

Konstanty Zdrojewski

I. Wstęp teoretyczny.

Filtracja jest bardzo powolne przesączanie się wody przez system kanalików i porów. Ruch ten można podzielić na dwa typy: filtrację laminarną czyli warstwową, lub ruch burzliwy inaczej też zwany turbulentny. Ruch laminarny polega na równoległym poruszaniu się cząsteczek wody względem siebie i osi przewodu. Występuje on przy niewielkich prędkościach przepływu cieczy, zaś w miarę wzrostu prędkości i przekroczeniu pewnych granicznych wartości, takich jak graniczny spadek hydrauliczny i prędkość graniczna, pojawia się ruch burzliwy. W ruchu tym oprócz ruchu postępowego możemy obserwować także ruch wirowy cząsteczek wody i poprzeczny do kierunku przepływu. Dla przepływu laminarnego obowiązuje prawo Darcy zgodnie z którym, prędkość filtracji układa się w zależności od spadku hydraulicznego.

, [m/s], gdzie:

v - prędkość filtracji [m/s],

k - współczynnik filtracji [m/s],

J - spadek hydrauliczny [-].

Prawo to jednak obowiązuje tylko dla przepływu laminarnego i po przekroczeniu Jgr i vgr zależność prędkości filtracji od spadku hydraulicznego przestaje być liniowa, a wykładnicza. Przy zwiększaniu spadków hydraulicznych zwiększa się przewaga ruchu turbulentnego nad ruchem laminarnym. Zjawisko ruchu turbulentnego w hydrogeologii nazywano fluacją lub filtracją turbulentną. Zależność natomiast między prędkością filtracji a spadkiem hydraulicznym w tym ruchu opisuje między innymi wzór Chezy-Krasnopolskiego:

A f •
, [m/s], gdzie:

Af - współczynnik fluacji [m/s],

n - wykładnik potęgowy [-].

Istnieję jeszcze ruch mieszany. Jest to ruch, w którym mamy do czynienia z ruchem turbulentnym i ruchem laminarnym naraz. W części kanalików o najmniejszym przekroju występuję filtracja laminarna, natomiast w kanalikach o dużych przekrojach filtracja turbulentna. Do przedstawienia tego ruchu istnieje wiele wzorów. Jednym z nich jest formuła Smrekera-Missbacha:

, [m/s], gdzie:

A - współczynnik filtracji nielaminarnej [m/s],

n - wykładnik potęgowy [-].

Wykładnik potęgowy zawarty się między 1 a 2. Jeżeli przyjmuję on wartość 1 to mamy przypadek filtracji laminarnej i współczynnik A w formule Smrekera-Missbacha jest zastępowany współczynnikiem k, który obowiązuję w prawie Darcy. Jeżeli natomiast wykładnik potęgowy jest równy 2 to formuła Smrekera-Missbacha zastępowana jest wzorem Chezy-Krasnopolskiego, który opisuje filtrację burzliwą. Wówczas współczynnik A = Af. Jeżeli natomiast wykładnik znajduję się pomiędzy 1 a 2 to ruch podlega filtracji mieszanej. Zatem istnieję taka granica dla danego gruntu, przy której prędkość filtracji jest opisana dwoma prawami, prawem Darcy i prawem przepływu nielaminarnego. Wówczas dla tego punktu są spełnione następujące równania:

vgr  k •Jgr

i

vgr = A•
gr

Porównując oba równania otrzymujemy:

Jgr

i

vgr = k•

2. Opis badań

Celem ćwiczenia było wyznaczenie dla wybranego gruntu granic stosowalności prawa

Darcy tj. granicznego spadku hydraulicznego Jgr, granicznej prędkości vgr oraz parametrów przepływu nielaminarnego A i n. Pomiary przeprowadzono na stanowisku, które składa się z cylindra pomiarowego. W dolnej części ma on perforowane dno i siatkę filtracyjną. Dolna część cylindra łączy się z komorą mającą połączenie z piezometrem i zaworem, przez który następuje wypływ przefiltrowanej wody. Górna część cylindra połączona jest natomiast z górną komorą, do której podłączony jest drugi piezometr, przez który doprowadza się wodę do urządzenia. Próbkę badanego gruntu umieszczono w cylindrze pomiarowym. W tym celu wsypano grunt małymi porcjami i zagęszczano. Następnie przez próbkę przepuszcza się wodę w celu usunięcia z porów powietrza, dlatego wodę doprowadzono bardzo wolno (ok. 20 minut) w kierunku od spodu. Potem próbkę obciążono, następnie podłączono pizometry i odpowietrzono cały układ hydrauliczny. Przed wykonywania ćwiczenia zmierzono średnicę d i wysokość l próbki. Badanie polegało na wytworzeniu różnicy wysokości hydraulicznych ΔH w komorach wodnych i pomiarze wydatku Q przepływającej przez próbkę przy danej różnicy wysokości hydraulicznej. Wydatek wody wyznacza się za pomocą wzoru, który określa się mierząc objętość wypływającej wody V w czasie t.

[cm³/s]

Dla każdej różnicy wysokości przeprowadzono 2 pomiary wydatku, jeśli zaś pomiary te znacznie się różniły od siebie, przeprowadzono dodatkowy pomiar. Badanie przeprowadzono przy różnych spadkach hydraulicznych J. Spadek hydrauliczny ustalono za pomocą odpowiedniej regulacji dolnego zaworu. Różnicę ΔH odczytywano z podziałki, połączonej do obu kolumn, spadki zaś obliczono za pomocą wzoru:

[-], gdzie:

ΔH - różnica wysokości hydraulicznych [m],

H1 - wysokość hydrauliczna na powierzchni wpływu wody do próbki [m],

H2 - wysokość hydrauliczna na powierzchni wypływu wody z próbki [m],

l - długość drogi filtracji [m].

Prędkość filtracji wyraża się wzorem:

gdzie:

V - objętość przepływającej przez próbkę wody w czasie t [cm3],

F - powierzchnia przekroju próbki prostopadłego do kierunku filtracji [cm2],

d - średnica próbki [cm],

t - czas [s].

Wartością spadków hydraulicznych i prędkości filtracji towarzyszą błędy wynikające z dokładności instrumentów pomiarowych i specyfiki przepływu burzliwego. Niepewności pomiarowe ΔJ i Δv określono metodą różniczki zupełnej za pomocą wzorów:

), gdzie:

ΔV , Δl; Δd; Δt oznaczają błędy wynikające z dokładności mierzonych wielkości.

3. Wyniki badań.

Granice stosowania prawa Darcy i parametry przepływu nielaminarnego określono dla piasku gruboziarnistego. Badanie przeprowadzono na próbce o średnicy 70,0 mm i wysokości37 mm w temperaturze 22 o C. Dla małych spadków hydraulicznych przyjęto czas pomiaru 60 s i zmniejszano go dla coraz większych spadków do 10 s. Czas mierzono stoperem z dokładnością 0,1 s. Największy uzyskany spadek hydrauliczny przy całkowicie otwartym zaworze wyniósł 10. Przy określaniu spadku hydraulicznego jako wartości H1 i H2 przyjmowano poziomy wody w piezometrach odczytywane na skali milimetrowej. W przypadku wahań zwierciadła wody występujących po przekroczeniu granicy przepływu laminarnego przyjmowano średnią wartość uwzględniając amplitudę wahań. Jeżeli wahania nie były widoczne jako błąd oznaczania ΔH1 i ΔH2 przyjmowano 1 mm. W przypadku wahania poziomu wody w piezometrze jako błąd oznaczenia przyjmowano amplitudę wahań. Pomiar objętości wykonywano menzurkami o różnej pojemności 50, 100 i 250cm³. Dokładność podziałek dla menzurek o pojemności 50 i 100 cm³ wynosiła 1 cm³, a dla menzurki o pojemności 250 cm³ - 2 cm³. Jako błąd oznaczenia objętości ΔV przyjmowano maksymalną różnicę objętości przepływającej wody przy tym samym spadku hydraulicznym nie mniejszą jednak niż objętość wynikająca z podziałki. Jest to związane z pulsacyjnym przepływem przy ruchu nielaminarnym. Pozostałe błędy oznaczeń wynikały z dokładności używanych instrumentów pomiarowych tj. Δl - 1,0 mm; Δd - 0,1 mm; Δt - 0,1 s.

Wyniki badań zestawiono w tabeli nr 1.

Przykładowe obliczenia wykonano dla pierwszego wiersz w tabeli 1.

Powierzchnia przekroju poprzecznego próbki F wynosi:
=
= 38,48 cm²

Spadek hydrauliczny
=
= 0,216 [-]

Prędkość filtracji
= 0,0126 [cm²/s]

Błąd oznaczenia spadku hydraulicznego ΔJ i prędkości filtracji Δv określono metodą różniczki zupełnej

= 0,060

[cm²/s].

W celu określenia granic stosowania prawa Darcy i parametrów przepływu nielaminarnego sporządzono najpierw wykres v = f(J) nanosząc spadki hydrauliczne J i odpowiadające im prędkości filtracji v (rys. 1).

Rys. 1. Zależność prędkości filtracji od spadku hydraulicznego.

Współczynniki tak dopasowanych funkcji stanowią szukane wartości:

współczynnik filtracji laminarnej k = 0.1017 [cm/s]

współczynnik filtracji nielaminarnej A = 0.20909 cm/s,

wykładnik potęgowy n =1/0.69655=1.436.

Na podstawie powyższych wartości obliczono graniczny spadek hydrauliczny i graniczną wartość prędkości filtracji:

Jgr
=(0.20909 / 0.1017)^( 1.436/0.436)=2.056^3.293=10.735

vgr = k•
= 0.1017*10.735=1.092

4. Wnioski

Wykonane badania dowodzą, że dla badanego piasku gruboziarnistego, w temperaturze 22°C przepływ nielaminarny zachodzi po przekroczeniu spadku hydraulicznego o wartości J_gr = 10.735 [-]. Odpowiadająca graniczna wartość prędkości filtracji wynosi v_gr = 1.092 [cm/s]. Określona wartość współczynnika filtracji dla przepływu laminarnego k wynosi 0,1017 [cm/s]. Po przekroczeniu J_gr i v_gr w zakresie spadków hydraulicznych od 10.735 do 11.22 zależność prędkości filtracji od spadku hydraulicznego można opisać formułą Smrekera-Missbacha w postaci:

V=A*J ^1/n= 0.20909*J ^1/1.436

gdzie v i A wyrażone są w cm/s.

Należy również zwrócić uwagę, że współczynnik filtracji oraz wykładnik potęgi we wzorze Smrekera-Missbacha mogą być wyznaczone jedynie w sposób bardzo przybliżony, ponieważ spadek graniczny jest bardzo bliski spadkowi odpowiadającemu ostatniemu wynikowi z pomiarów - a przy małej ilości danych błąd może być dość znaczny.

---