Geodezja i Geoinformatyka Grupa IV para VI	Nr ćwiczenia 10
Marta Piotrowska	Temat ćwiczenia: WYZNACZANIE STOSUNKU CIEPŁA WŁAŚCIWEGO GAZU PRZY STAŁYM CIŚNIENIU DO CIEPŁA WŁAŚCIWEGO PRZY STAŁEJ OBJĘTOŚCI (Cp/Cv)
Piotr Łukaszczuk

I. WPROWADZENIE TEORETYCZNE.

Gaz jest to stan skupienia materii, w którym ciało fizyczne łatwo zmienia kształt i zajmuje całą dostępną mu przestrzeń co wynika z własności cząsteczek, które w fazie gazowej mają pełną swobodę ruchu. Wszystkie one cały czas przemieszczają się w przestrzeni zajmowanej przez gaz i nigdy nie zatrzymują się w jednym miejscu. Między cząsteczkami nie występują żadne oddziaływania dalekozasięgowe, a jeśli, to bardzo słabe. Jedyny sposób, w jaki cząsteczki na siebie oddziałują, to zderzenia. Jeśli gaz jest zamknięty w naczyniu, to jego cząsteczki stale zderzają się ze ściankami tego naczynia, wywierając na nie określone i stałe ciśnienie. Przy zderzeniach sprężystych ze ścianką naczynia zachodzi zmiana pędu cząsteczek gazu. Zgodnie z II zasadą dynamiki zmiana pędu ciała równa się popędowi siły.

Cząsteczki gazu przemieszczają się z różną szybkością. Średnia szybkość poruszania się cząsteczek w gazie jest zależna wyłącznie od ich masy molowej i temperatury. Podczas obniżania temperatury gazu maleje średnia szybkość cząsteczek, zaś zwiększanie ciśnienia powoduje zmniejszenie średniej odległości między nimi.

W fizyce przyjmuje się często prosty model gazu doskonałego, w którym cząsteczki gazu nie przyciągają się i nie mają objętości własnej.

Gaz doskonały jest to gaz spełniający następujące warunki:

1. brak oddziaływań międzycząsteczkowych w gazie, z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząsteczek;

2. objętość cząsteczek jest znikoma w stosunku do objętości gazu;

3. zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste.

Dla gazu doskonałego, którego cząsteczki mają trzy stopnie swobody, ciśnienie p wyraża się wzorem:

p=2/3 n₀ (mV²/2)

gdzie:

n₀ - liczba cząsteczek gazu w jednostce objętości

m - masa jednej cząsteczki

V - średnia prędkość cząsteczek

Powyższy wzór jest podstawowy równaniem teorii kinetyczno-molekularnej. Jeżeli do tego wzoru wprowadzimy gęstość ρ, równą liczbowo masie jednostkowej (n₀m), to wyrażenie na ciśnienie p przyjmie postać:

p=1/3 ρ V²

Z tego wynika, że ciśnienie jakie wywiera gaz na ścianki naczynia, jest proporcjonalne do kwadratu średniej prędkości chaotycznego ruchu cząsteczek tego gazu.

Gaz doskonały opisuje równanie Clapeyrona, przedstawiające zależność między ciśnieniem gazu, jego objętością i temperaturą.

pV_μ = RT

gdzie:

V_μ - objętość jednego mola gazu

R - stała gazowa (8,32 J/K*mol)

T - temperatura w skali bezwzględnej

Zgodnie z kinetyczno-molekularną teorią gazu doskonałego definicję temperatury T można zapisać następująco:

T E

gdzie E - średnia energia kinetyczna chaotycznego ruchu cząsteczek gazu.

Z powyższego wynika, że temperatura gazu jest proporcjonalna do średniej energii kinetycznej chaotycznego ruchu cząsteczek tego gazu.

Związek średniej energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczek gazu z temperaturą moża otrzymać z równania:

p=2/3 n₀ (mV²/2)

Jeśli pomnożymy obustronnie powyższe równanie przez objętość jednego mola V_μ otrzymamy:

p V_μ = 2/3 n₀ V_μ E

Liczba n₀ V_μ określa liczbę cząsteczek gazu w objętości jednego mola, jest zatem równa liczbie Avogadra N_A .

N_A = 6,022 141 99(47) · 10²³ mol^-1

Wobec tego można zapisać:

p V_μ = 2/3 N_A E

Tworzymy układ równań, w których lewe strony są sobie równe:

p V_μ = 2/3 N_A E

pV_μ = RT

Zatem:

2/3 N_A E = RT

stąd:

E = 3/2 (R/N_A) T

Przy czym stosunek R/N_A = k gdzie k nazywa się stałą Boltzmanna i wynosi:

k= 1,380658(12) ∙ 10^-23 J ∙ K^-1

Ostatecznie otrzymujemy wyrażenie na średnią energię kinetyczną cząsteczek gazu w funkcji temperatury, które ma postać:

E = 3/2 k T

Cząsteczki gazu mają trzy stopnie swobody. Na każdy stopień swobody cząsteczki przypada średnio taka sama energia kinetyczna, równa ½ kT. Jest to tzw. prawo ekwipartycji energii.

Ciepło jest to forma przepływu energii wewnętrznej między ciałami, które znajdują się w stosunku do siebie w nierównowadze termicznej, zwykle wtedy, gdy posiadają one różną temperaturę. Jednostką ciepłą w układzie SI jest dżul J (1J = 1N ∙ 1m).

Ciepło, podobnie jak praca jest wielkością związaną z przekazywaniem energii, a nie formą energii jako taką. Pierwsza zasada termodynamiki mówi, że zmiana energii wewnętrznej układu ∆U równa się sumie algebraicznej ciepła Q, przekazywanego w czasie procesu i wykonywanej pracy W.

∆U = Q + W

Wielkość Q jest dodatnia, gdy układ pobiera ciepło, ujemna zaś, gdy oddaje. Wielkość W jest dodatnia, gdy praca jest wykonywana nad układem, ujemna zaś, gdy układ wykonuje pracę. Jeżeli Q=O oraz W=O, to ∆U=0, czyli U=const.

Ciepło molowe to ilość ciepła (energii cieplnej) potrzebna do ogrzania 1 mola gazu o 1 Kelwin. Jednostką ciepła molowego jest J/mol∙K.

C_m = (∆Q/∆T) ∙ 1/n

gdzie:

Q - ciepło dostarczone do układu zawierającego n moli

T - temperatura

n - liczność (ilość substancji w molach)

Ciepło molowe jest związane z ciepłem właściwym.

Ciepło właściwe c to ilość ciepła potrzebna do ogrzania 1 kg substancji o 1 Kelwin. Jednostką ciepła właściwego jest J/kg∙K. Ciepło właściwe (c) wprowadza się jako współczynnik proporcjonalności w prawie fizycznym mówiącym, że:

Zmiana energii wewnętrznej (ΔE) ciała jest proporcjonalna do masy ciała (m) i zmiany temperatury (Δt).

ΔE = c ∙ m ∙ Δt

c = ΔE/ (m ∙ Δt)

W przypadku gazów ciepło właściwe zależy od rodzaju przemiany gazu, dlatego dla gazów wprowadzono pojęcie ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu (c_p) i przy stałej objętości (c_v), które podobnie jak ciepło właściwe ciał stałych i cieczy jest już wartością stałą dla określonych substancji gazowych. C_p i C_v używa się w obliczeniach zależnie od tego czy dana przemiana zachodzi przy stałym ciśnieniu czy przy stałej objętości gazu.

Przemiany gazowe.

Gaz podlega przemianie wtedy, gdy zachodzi zmiana jego parametrów.

Przemiana izotermiczna to przemiana, w której stałym parametrem jest temperatura, zaś ciśnienie i objętość mogą się zmieniać.
Równanie stanu gazu przyjmuje postać:

Powyższe wzory wyrażają prawo zwane prawem Boyle'a - Mariotte'a:

W izotermicznej przemianie stałej masy gazu iloczyn ciśnienia i objętości jest stały, co oznacza, że ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalne do objętości gazu.

Zależność p(V) w przemianie izotermicznej przedstawia wykres, zwany izotermą gazu doskonałego:

Przemiana izobaryczna to przemiana, w której stałym parametrem jest ciśnienie, zaś temperatura i objętość mogą się zmieniać.
Równanie stanu gazu przyjmuje postać:

Powyższe wzory wyrażają prawo zwane prawem Gay - Lussaca:

W izobarycznej przemianie stałej masy gazu iloraz objętości do temperatury bezwzględnej jest stały, co oznacza, że objętość jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej.

Zależność V(T) w przemianie izobarycznej przedstawia wykres, zwany izobarą gazu doskonałego:

Przemiana izochoryczna to przemiana, w której stałym parametrem jest objętość, zaś temperatura i ciśnienie mogą się zmieniać.
Równanie stanu gazu przyjmuje postać:

Powyższe wzory wyrażają prawo zwane prawem Charlesa:

W izochorycznej przemianie stałej masy gazu iloraz ciśnienia do temperatury bezwzględnej jest stały, co oznacza, że ciśnienie jest wprost proporcjonalne do temperatury bezwzględnej gazu.

Zależność p(T) w przemianie izochorycznej przedstawia wykres, zwany izochorą gazu doskonałego:

Przemiana adiabatyczna to przemiana gazu, w której nie zachodzi wymiana ciepła między gazem a otoczeniem.
Przemianą tą rządzi równanie Poissona, które można wyrazić:

gdzie:

C_p - ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnieniu

C_v - ciepło właściwe gazu przy stałej objętości

Zależność p(V) dla przemiany adiabatycznej i izotermicznej:

I zasada termodynamiki przyjmuje postać:

∆U = W

gdzie:

∆U - wzrost lub ubytek energii wewnętrznej, zależnie od znaku W.

Energia wewnętrzna 1 mola gazu doskonałego jako funkcja temperatury ma postać:

U = C_v T + const

Przyrost energii wewnętrznej na skutek zmiany temperatury oblicza się przez zróżniczkowanie powyższego równania względem temperatury:

dU = C_v dT

Praca, jaką wykonuje gaz przy adiabatycznym zwiększeniu objętości o dowolnie małą wartość dV, równa się:

W = - p dV

Dla dowolnie małych zmian energii wewnętrznej dU pierwszą zasadę termodynamiki dla procesów adiabatycznych można zapisać w postaci:

- p dV = C_v dT

Wartość ciśnienia, jakie wywiera gaz na ścianki naczynia, wynika z równania Clapeyrona:

p=(RT/V_μ)

Podstawiając tę wielkość do równania - p dV = C_v dT i przekształcając je otrzymamy:

(R/C_v) ∙ (dV/V_μ) = - (dT/T)

---