Egzamin 2000.01.15

Zadanie 1.

Jeżeli
oraz
to d jest równe:

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E) żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Z założenia mamy, że:

Biorąc pod uwagę, że
i rozwiązując powyższy układ względem d, otrzymuję:

Co daje, że prawdziwą odpowiedzią jest D.

Zadanie 2.

Pożyczka w wysokości
oprocentowana przy stopie
ma być spłacana przez okres
w równych ratach płatnych na koniec każdego roku. Opłata pobierana przez pożyczkodawcę przy zawieraniu umowy (potrącana z udzielanej pożyczki) wynosi
. Oblicz roczną stopę zysku pożyczkodawcy, jeżeli pożyczkobiorca zdecyduje się spłacić pozostałą część długu łącznie z płatnością drugiej raty.

Wybierz najbliższą odpowiedź:

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E)
  

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Zacznę od wyliczenia równej raty annuitetowej, jaka miałaby być spłacana przez 25 lat.

Taką kwotę spłaca pożyczkobiorca po pierwszym roku, zatem gdy odsetki od kapitału zostały już raz naliczone. Po tym okresie decyduje się spłacić resztę pożyczki od razu, w drugiej racie (odsetki są naliczane po raz kolejny ale od kapitału pomniejszonego o wartość pierwszej spłaty).

Wartość potrącanej opłaty

Dla lepszego zrozumienia zadania posłużę się rysunkiem.

Mając już wszystkie dane, można rozwiązać to zadanie traktując pożyczkę jako rentę o wartości obecnej
. Stopą zysku pożyczkodawcy będzie stopa_dyskontowa przy której wszystkie wypłaty dadzą w momencie 0 wartość PV (w fachowej literaturze nazywamy to wartością IRR - internal rate of return lub wewnętrzną stopą zwrotu). Tu także pomocny będzie rysunek.

Po przekształcaniu równości otrzymuję do rozwiązania proste równanie kwadratowe, gdzie
.

Zadanie 3.

Niech K oznacza cenę 20-letniej obligacji o:

• 
  wartości nominalnej równej
  

• 
  wartości wykupu równej
  

• 
  posiadającej kupony półroczne każdy o wysokości
  .

Cena obligacji przy stopie
składanej półrocznie wynosi:

• I.
  

• II.
  

• III.
  

Prawdziwe są odpowiedzi (wszystkie oznaczenia przy stopie
):

• A) tylko I

• B) tylko II

• C) tylko III

• D) tylko II i III

• E) żadna z powyższych odpowiedzi nie jest prawdziwa

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Na początku wycenię obligację aktualizując wszystkie wpływy na moment zero:

gdzie
jest zdyskontowaną na moment zero ceną wykupu oraz
zdyskontowanymi na moment zero kuponami.

Obliczę teraz wartości podane w zadaniu i porównam je z powyższą.

Zatem prawdziwą odpowiedzią jest C.

Zadanie 4.

Treść

Natężenie oprocentowania w chwili
wynosi
.
jest wartością obecną
-letniej renty, której płatność w chwili
wynosi
. Wyznacz
.

Odpowiedź:

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E) żadna z powyższych odpowiedzi nie jest prawdziwa

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Mamy obliczyć wartość początkową
. Zatem:

gdzie
jest natężeniem oprocentowania.

Obliczę najpierw wykładnik funkcji exp:

Korzystając z powyższego oraz podstawienia w całce
mamy:

Wstawiając granice w powyższej całce mamy:

Co daje, że prawidłową odpowiedzią jest C.

Zadanie 5.

Renta wieczysta jest płatna w wysokości
na koniec pierwszego roku, w wysokości
na koniec
roku, w wysokości
na koniec
roku, i dalej zwiększając się o
w kolejnych latach.

Które z poniższych wyrażeń podają obecną wartość tej renty?

• 
  

• 
  

• 
  

Odpowiedź:

• A)
  oraz
  

• B)
  oraz
  

• C)
  oraz
  

• D) tylko
  

• E) żadna z powyższych z odpowiedzi nie jest prawdziwa

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Skoro renta wypłaca kwotę
na koniec
-tego roku więc możemy rozpatrzyć ciąg nieskończony rent nieskończonych o własnościach:

• 
  -ty ciąg rozpoczyna się w
  -tym roku

• każdy ciąg wypłaca
  na koniec roku

Wówczas wartość bieżąca tego ciągu rent jest równa wartości bieżącej renty rozpatrywanej w zadaniu:

Korzystając z równości:

otrzymuję:

Co ostatecznie daje, że prawdziwe jest tylko
oraz odpowiedź D.

Zadanie 6.

Dane są trzy rodzaje obligacji o tej samej wartości wykupu i te same terminy płatności kuponów:

• 
  pierwsza obligacja z kuponem w wysokości
  ma cenę
  ,

• 
  druga obligacja z kuponem
  ma cenę
  ,

• 
  trzecia obligacja z kuponem w wysokości
  ma cenę
  .

Wyznacz cenę
trzeciej obligacji.

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E)
  

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Założę, że
jest stopą dyskontową $W$ ceną wykupu oraz kupony były płacone przez n okresów. Wówczas:

Rozważę układ trzech równań z niewiadomymi:
,
oraz
:

Policzę wyznaczniki:

Co daje, że cena trzeciej obligacji wynosi:

Zatem prawdziwą odpowiedzią jest D.

Zadanie 7.

Treść

Która z poniższych tożsamości jest prawdziwa:

• 
  

• 
  

• 
  

Odpowiedź:

• A) tylko
  

• B) tylko
  

• C) tylko
  oraz
  

• D)
  oraz
  

• E) żadna z powyższych odpowiedzi nie jest prawidłowa

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Skoro zachodzi
to:

Skoro zachodzi
to:

Skoro zachodzi:

to:

Co w konsekwencji daje, że prawdziwe są tożsamości
oraz
oraz odpowiedź C.

Zadanie 8.

Treść

Wyznacz
duration ciągłej płatności o wysokości
w chwili
dla
. Do obliczeń przyjmij stopę
. Do obliczeń przyjmij

Odpowiedź (podaj najbliższą wartość):

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E)
  

Rozwiązanie — Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Duration
płatności nie ciągłej zadany jest wzorem:

gdzie
oznacza płatność w t-tym okresie.

Zatem w przypadku ciągłym będziemy go definiować jako:

gdzie
jest natężeniem płatności.

W naszym przypadku
jest stała i wynosi
. Zatem:

Zatem prawidłową odpowiedzią jest A.

Zadanie 9.

Zadanie 10.

Treść

- letnia pożyczka ma być spłacana poprzez dokonywanie równych spłat kapitału w wysokości
i odsetek płatnych na końcu każdego roku od bieżącej wysokości zadłużenia. Wyznacz o ile zmniejszy się wysokość zapłaconych odsetek w przypadku gdy ulegnie podwojeniu rata kapitałowa. Stopa procentowa wynosi
.

Odpowiedź (podaj najbliższą wartość):

• A)
  

• B)
  

• C)
  

• D)
  

• E)
  

Rozwiązanie — Karolina Dziedzic, Wojciech Antoniak

Rozwiązanie

Oto rozwiązanie, które opiera się tylko na prostych wzorach procentów składanych.

Niech
. Zadłużenie ma być spłacane przez
lat poprzez równe raty kapitałowe:
, więc zadłużenie wynosi
. Policzę najpierw odsetki należne od kredytu spłacanego w
ratach kapitałowych.
Wówczas odsetki
w
racie wynoszą

dla

Zatem łączna suma odsetek
wynosi:

Podstawiając wartości mam

W przypadku gdy rata kapitałowa będzie podwojona, czyli
, rat do spłacenia będzie dwa razy mniej, czyli
.
Wówczas odsetki
w
racie wynoszą

dla
. Zatem łączna suma odsetek
wynosi:

Podstawiając wartość mam

Reasumując odpowiedzią na zadanie jest różnica
.

Poprawną odpowiedzią jest odpowiedź C.

---