ZADANIE 1

Koło pojazdu o promieniu r=0,2 [m] poruszają się bez poślizgu po poziomym moście o ω=16 [rad/s] pomost porusza się z prędkością V=ω·r. Oblicz prędkość całkowitą punktu B koła i przyśpieszenie punktu A stycznego koła z pomostem.

Prędkość dowolnego punktu koła:

Przyśpieszenie dowolnego punktu koła np. A

Ponieważ V_S= const to a_S=0 [m/s²]

Ponieważ ω= const to ε=0 [rad/s²]

ZADANIE 2

O jaki kąt φ trzeba odchylić od równowagi wahadlo matematyczne o długości 2l i masie kulki m aby naciąg nieważkiej nici przy przejściu wahadła przez dane położenie był dwukrotnie większy od ciężaru kulki.

ZADANIE 3

Punkt materialny porusza się w płaszczyźnie XY z przyśpieszeniem
gdzie a_x=-sint, a_Y=-2cost. Wyznacz położenie i prędkość punktu w chwili t₁=Π/2 [s], w chwili t=0.

ZADANIE 4

Do suwaka o masie m=5[kg] znajdującego się na chropowatej prowadnicy poziomej przyłożono w chwili t=0 siłę F=20[N] działającą poziomo. W jakiej odległości s od płożenia początkowego zatrzyma się suwak jeśli podczas działania siły T=3[s]. Współczynnik tarcia μ=0,3, w chwili początkowej prędkość suwakaV_0|t0=0

I FAZA

Z zasady zachowania Pędu

Z Zasady zachowania energii kinetycznej

II FAZA

Z zasady zachowania energii kinetycznej

S=s1+s2

ZADANIE 5

Koła pojazdu szynowego traktowane jak tarcza kołowa jednorodna ma promień R i masę m, toczy się bez poślizgu po torze o kącie nachylenia α, współczynnik tarcia między kołami a torem wynosi μ. Jaki warunek musi spełnić siła pociągowa F przyczepiona w środku aby koło toczyło się bez poślizgu.

Z równań ruchu płaskiego

(1)

(2)

ZADANIE 6

Przebieg prędkości pociągu w funkcji czasu między stacjami AB przedstawia wykres. Wyznacz odległość s[m] między tymi stacjami jeśli t1=2[min]; t2=12[min]; t3=15[min]; V=72[km/h]

s- całkowita odległość między stacjami

s=s1+S2+s3

s1- droga od czasu 0 do czasu t1

s1=1/2·V·t1

s2- droga od czasu t1 do t2

s2=V(t2-t1)

s3- droga od czasu t2do t3

s3=1/2·V·(t3-t2)

dodajemy wszystkie czasy

ZADANIE 7

Koło pasowe o ciężarze Q=100[N] i promieniu r=0,12 [m] jest obsadzone na łożyskach osi AM i obraca się z częstotliwością=50Π[Hz]. Geometryczna oś obrotu jest przesunięta względem osi symetrii koła o e=1[mm] obliczyć reakcję łożysk.

R_A, R_B - szukane reakcje

F- siła odśrodkowa

Warunki równowagi

Z 2) równania otrzymujemy

WYLICZAMY RA i RM

ZADANIE 7

Pociąg mający prędkość początkową V_o = 54[km/h], przejechał drogę s₁ = 600[m] w ciągu czasu t₁ = 30[s]. Zakładając stałe przyspieszenie styczne pociągu, obliczyć jego prędkość i przyspieszenie całkowite w końcu trzydziestej sekundy, jeżeli ruch odbywał się po łuku o promieniu R=1[km].

a_t − przyspieszenie styczne,

a_n − przyspieszenie normalne,

a − przyspieszenie całkowite.

C − stała zależna od warunku początkowego,

= V_o → C = V_o → V = a_tt + V_o (1)

C₁ − stała zależna od warunku początkowego,

→
= 0 → C₁ = 0 →

Z ostatniego równania wyliczamy a_t: →
= s₁ →
→

Podstawiając dane liczbowe (V_o = 15 [m/s]) otrzymujemy:

Liczymy V w chwili t₁ ze wzoru (1):

a_n w chwili t₁ liczymy ze wzoru:
[m/s²]

całkowite przyspieszenie w chwili t₁:
[m/s²].

ZADANIE 8

Punkt materialny porusza się po płaszczyźnie Oxy zgodnie z równaniami:

Wyznacz tor punktu orazjego przyśpieszenie dla t1=3/2 [s]

Podstawiamy za t => t1=3/2 i otrzymujemy
stąd:

ZADANIE 9

Ładunek o masie m=2[kg] znajdujący się na poziomej platformie porusza się pod wpływem poziomej siły F(t)=2t [N]. Oblicz drogę jaką pokonał ładunek ciała zatrzymanego w ciągu t1=3 [s]. Tarcie pomijamy

ZADANIE 10

Wirnik obraca się ze stałą prędkością kątową ω₀ . Jego moment bezwładności względem osi obrotu wynosi J. Po wyłączeniu prądu prędkość kątowa winrnika spada na skutek momentu oporów ruchu M=h/(b+t) gdzie h,b - stałe, t - czas. Po jakim czasie prędkość kątowa wirnika spadnie dwukrotnie?

ZADANIE 11

Wahadło matematyczne o długości 2l i masie kulki m znajduje się w środku równowagi. Jaką prędkość początkową należy nadać kulce aby naciąg linki przy przejściu przez górne położenie wahadła był równy zero?

Z zasady zachowania energii mechanicznej:

W położeniu górnym:

Ma być N=0

po podstawieniu otrzymujemy:

ZADANIE 12

Łódź ze stojącym na niej człowiekiem ma prędkośćV₀. Pomijając opór wody znaleźć prędkość łodzi V i jej równanie ruchu s=s(t), jeśli człowiek porusza się do przodu względem łodzi ze stałą prędkością U. Dla jakiej wartości prędkości V₀ łódź nie będzie się przemieszczać.

m- masa człowieka

M - masa łodzi

Pęd początkowy p₁=(m+M)V₀

Pęd końcowy p₂=MV+m(U+V)

Z zasady zachowania pędu wynika równanie:

(m+M)V₀=MV+m(U+V)

(m+M)V₀=MV+mU+MV

(M+m)V=(m+M)V₀-mU

Wyliczamy i otrzymujemy: V=
- prędkość łodzi

-przy takiej prędkości łódź w spoczynku

Równanie ruchu: s(t)=Vt =

ZADANIE 14

Jednorodny walec o masie m = 30[kg] i promieniu r = 0,1[m] został ze stanu spoczynku wprawiony w ruch obrotowy wokół swej nieruchomej osi symetrii uzyskując prędkość kątową _   120[rad/s] w ciągu t₁ = 8[s]. Wiedząc, że moment oporowy ruchu M_t = 0,2[Nm], oblicz moment napędowy zakładając jego stałą wartość.

Dynamiczne równanie ruchu:
gdzie:

I − moment bezwładności walca względem osi obrotu

ε − przyspieszenie kątowe

M_n − szukany moment napędowy

,
→
→

całkujemy obustronnie ostatnie równanie:

,
→ C = 0 →

z treści zad:
→
stąd:
= 2,45 [Nm].

ZADANIE 15

Tarcza koła pasowego obraca się wokół swej nieruchomej osi symetrii tak że jej opóźnienie kątowe ε jest proporcjonalne do jej prędkości kątowej ω: ε=-hω, Gdzie h jest stałe. Prędkość początkowa tarczy wynosiła ω₀[rad/s]. Wyprowadzić równania ω=ω(t) i ω=ω(φ). Oraz narysować wykres ω=ω(φ)

1)

2)

3)

ZADANIE 16

Lokomotywa ciągnie wagon w górę równi o nachyleniu α=0,02[rad]. Między lokomotywę a wagon wstawiono dynamometr. W ciągu czasu t₁120 [s] dynamometr wskazywał średnio siłę F=10 [kN]. W tym czasie pociąg ze stanu spoczynku nabrał prędkość V₁=72 [km/h]. Współczynnik tarcia wagon-tor μ=0,02. Obliczyć ciężar wagonu.

Z zasady zachowania pędu:

ZADANIE 17

Obliczyć przesunięcie platformy o ciężarze podstawy P₁=100 [kN], spoczywającej na stojącej wodzie. Jeśli wysięgnik platformy o ciężarze p₂=20[kN] z pozycji pionowej obróci się w prawo o kąt α=30^o. Wysięgnik potraktować jako jednorodną prostą belkę. Długość wysięgnikaO₁A=2l=6[m]. Opory ruchu pomijamy.

Z zasady ruchu środka masy układu:

ZADANIE 18

Pręt prosty AB=b=1[m]ślizga się ruchem płaskim, po osiach układu Oxy. W chwili gdy tworzy on z osią Ox kąt α=60^o, prędkość jego końca wynosi V_A=2[m/s]. Wyznacz dla tego położenia chwilowy środek obrotu, prędkość kątową i prędkość pręta.

ZADANIE 19

Przez zamocowany obrotowo krążek oo promieniu r, przełożono nierozciągliwą linkę. Na końcach tej linki zawieszono kuli o masach m₁ i m₂ (m_1>m₂) tak, że ich środki znajdują się na tej samej wysokości i zablokowano ruch. Jaką prędkość odzyskają kulki po odblokowaniu ruchu, jeżeli kulka o masie m₁ obniży się o wielkość h? jaka będzie wtedy prędkość kątowa krążka? Zakładamy, żę między krążkiem a linką brak jest poślizgu a linka krążek są nieważkie.

ZADANIE 20

Oblicz jaki kąt α powinna tworzyć z poziomem płaszczyzna na której ma się toczyć bez poślizgu kula, jeżeli wiadomo, że współczynnik tarcia miedzy kulą a płaszczyzną wynosi μ=0,2

Q=mg

T=μr

1. ma_x = mgsinα - μmgcosα

2. I_Sε = μmgrcosα

3. a_x = a_s= εV

do (1):

ZADANIE 21

Ciężarek o masie m ze stanu spoczynku spada pionowo z wysokości h na nieważką sprężynę śrubową o stałej sztywności równej k. Wyznacz ugięcie  tej sprężyny zakładając, że ciężarek po zetknięciu z górnym końcem sprężyny przykleił się do niej. Opory ruchu pomijamy.

Korzystamy z zasady zachowania energii. Energia kinetyczna ciężarka w chwili początkowej jak i końcowej jest równa zero. Przyjęto poziom odniesienia dla energii potencjalnej grawitacji jak pokazano na rysunku. Wobec tego całkowita energia (E₁) w położeniu początkowym: E₁ = mg(h + λ)

całkowita energia (E₂) w położeniu końcowym jest energią potencjalną sprężystości:

Z zasady zachowania energii wynika równanie: E₁ = E₂ →

Po przekształceniach otrzymujemy: kλ² − 2mgλ − 2mgh = 0

lub
− sprzeczne

czyli odpowiedzią jest:
[m].

ZADANIE 22

Pociąg poruszający się po torze prostym z prędkością V₀=72 [km/h] doznaje przy hamowaniu opóźnienia a=0,4[m/s₂]. Wyznaczyć po jakim czasie t₁[s] pociąg zatrzyma się i jaka będzie droga hamowania s₁[m]

ZDANIE 23

Do ciała o masie m, które może poruszać się prostoliniowym ruchem postępowym po chropowatej poziomej płaszczyźnie, przyłożona została siła P tworząca kąt  z tą płaszczyzną. Wyznaczyć przyspieszenie, z którym zacznie poruszać się to ciało. Współczynnik tarcia między ciałem a płaszczyzną jest równy .

F=Pcosα

N=Psinα

T=μG; G=Q-N=mg-Psin α

T=μ(mg-Psin α)

P_w=F-T = Pcosα- μ/(mg-Psin α)

P_w=P(cos α + μsin α)-μmg

A=P_w/m

ZADANIE 24

Prosty jednorodny pręt o długości l = 3,27 [m] osadzony jest swoim końcem O obrotowo na osi i może wykonywać ruchy w płaszczyźnie pionowej, prostopadłej do tej osi. Jaką prędkość trzeba nadać końcowi A, aby pręt z położenia równowagi wykonał pół obrotu?

Korzystamy z zasady zachowania energii.

Na poniższym rysunku zaznaczono poziom odniesienia dla energii potencjalnej (liczona jest względem środka masy)

Całkowita energia (E₁) w położeniu początkowym:

gdzie: I − moment bezwładności pręta względem własnego końca

ω − prędkość kątowa w chwili początkowej

,
→

Całkowita energia (E₂) w położeniu końcowym:

Z zasady zachow energii wynika równanie: E₁ = E₂ →
→

Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy: V = 9,81 [m/s].

ZADANIE 25

Płytka wykonuje ruch zgodnie z równaniem x=bsin(ωt), gdzie amplituda, t-czas. Jaka musi być częstość ω, aby kulka spoczywająca na płutce oderwała się od niej?(odrywanie i podrzucanie do góry)

Moment oderwania się kulki: Nmin=0 ->

Warunek oderwania i podrzucenia:

ZDANIE 26

Na wał podnośnika o promieniu r i masie m1 nawinięto lekką nierozciągliwą linkę, na końcu której zamocowano ładunek o masie m2. Na wał działa moment napędowy M₀ przez co ładunek jest podnoszony do góry. Oblicz przyśpieszenie kątowe ε wału i naciąg N linki

Równanie zmiany kąta względem osi obrotu

ZADANIE 27

Dwie kule, jedna o masie m₁ = 200[g], a druga o masie m₂ = 300[g] poruszają się do siebie wzdłuż prostej z prędkościami odpowiednio V₁ = 0,5[m/s] i V₂ = 0,4[m/s] W pewnej chwili zderzyły się i następnie zaczęły poruszać się razem. Znaleźć ich wspólną prędkość oraz kierunek ruchu.

Pęd pierwszej kuli przed zderzeniem: p₁ = m₁V₁ = 0,1 [kg⋅m/s]

Pęd drugiej kuli przed zderzeniem: p₂ = m₂V₂ = 0,12 [kg⋅m/s]

Pęd drugiej kuli jest większy, wobec tego po zderzeniu kule będą poruszać się w tym kierunku, w którym poruszała się druga kula.

Pęd kul po zderzeniu: p = (m₁ + m₂)V

Z zasady zachowania pędu wynika równanie: p₂ − p₁ = p → m₂V₂ − m₁V₁ = (m₁ + m₂)V

Stąd:
.

ZADNIE 28

Punkt materialny o masie m = 2[kg] porusza się zgodnie z równaniami

x(t) = hcost [m],
y(t) = hsint [m].

Wyznacz:

a) prędkość w chwili t₁ = /,

b) przyspieszenie w chwili t₂ = 2/,

c) siłę działającą na ten punkt w chwili t₂. Przyjąć do obliczeń: h = 0,05[m],
 = 10[rad/s].

a)
,
,

b)
,
[m/s²] ,
[m/s²]

[m/s²]

[m/s²]

2. 
   , F = ω²hm [N]

[N].

ZADANIE 29

Punkt A porusza się po krzywej płaskiej zgodnie z równaniem s = b(e^kt − 1), gdzie s w [m], b, k są stałymi. Kąt między całkowitym przyspieszeniem, a prędkością wynosi  = 60^o. Obliczyć prędkość i całkowite przyspieszenie punktu.

Prędkość punktu wyznaczamy ze wzoru:

[m/s]

Przyspieszenie styczne wynosi:

[m/s²]

Całkowite przyspieszenie jest równe:

[m/s²].

ZADANIE 30

Dla układu dwóch mas M i m połączonych nierozciągliwą i lekką nicią wyznaczyć ich przyspieszenie oraz naciąg nici. Ciało o masie M spoczywa na chropowatej równi pochyłej o kącie nachylenia α, współczynnik tarcia o równię wynosi µ. Jaki warunek musi spełniać masa M, aby jej ruch w dół równi był możliwy?

Rozpatrujemy ruch masy M:

gdzie: P − siła ciężkości, P = Mg, F₁ = Psinα = Mgsinα, F₂ = Pcosα = Mgcosα

S − siła naciągu linki

N − siła nacisku

T − siła tarcia

Dynamiczne równania ruchu w kierunku osi x i y (obranych jak na rysunku)

x: aM = F₁ − T − S

y: 0 = N − F₂

Uwzględniając, że: T = Nμ oraz podstawiając wartości F₁ i F₂ otrzymujemy:

aM = Mgsinα − Nμ − S, N = Mgcosα → aM = Mgsinα − Mgμcosα − S (1)

Rozpatrujemy ruch masy m:

gdzie: Q − siła ciężkości, P = mg, S − j.w.

Dynamiczne równanie ruchu:

am = S − Q → am = S − mg (2) (1) + (2)=>

aM + am = Mgsinα − Mgμcosα − mg →

a > 0, czyli: Mg(sinα − μcosα) − mg > 0 stąd otrzymujemy:
.

---