Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa I, 14 czerwca 2005.

Czas: 2h30m, każde zadanie piszemy na osobnej kartce, na której powinno

się znaleźć nazwisko i imię oraz numer indeksu zdającego.

1. Rzucamy na przemian dwiema monetami, na których szanse wypadnięcia

orła są równe p i r. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł pojawi się po raz
pierwszy na pierwszej monecie?

2. Wektor losowy (X, Y ) ma standardowy dwuwymiarowy rozkład normalny.

Wyznaczyć rozkład a) X

2

; b) X

2

+ Y

2

.

3. Andrzejewscy i Zawadowie wybrali się na majówkę. Rozłożyli w pewnym

oddaleniu od siebie koce, po których natychmiast zaczęły spacerować szczy-
pawki. Niech zmienne losowe A i Z oznaczają liczebności zbiorów szczypawek
na poszczególnych kocach. Dziecko Andrzejewskich ustaliło, że na ich kocu prze-
bywają średnio 4 szczypawki, podczas gdy na kocu sąsiadów — 7.

a) Jaki jest w przybliżeniu rozkład zmiennych losowych A i Z?

b) Jedno z dzieci weszło na koc Zawadów i zostało ukąszone przez szczy-

pawkę. Jaka jest szansa, że jest to jedyna szczypawka na kocu (w danej chwili)?

c) Pokąsane dziecko oznajmia po pewnym czasie, że na obu kocach jest

razem 15 szczypawek. Ilu średnio szczypawek mogą się spodziewać na swoim
kocu Zawadowie?

d) Jaki jest rozkład liczby szczypawek na kocu Zawadów przy założeniu z

punktu c?

4. Zmienne losowe X

i

, i = 1, 2, . . . są niezależne i mają wspólny rozkład o

gęstości g(x) =

1

π(x

2

+1)

. Zbadać zbieżność ciągu o wyrazach

Z

n

=

|X

1

|

a

+ . . . +

|X

n

|

a

n

dla wszystkich liczb rzeczywistych a.

5. Prezydenci USA mieli łącznie 151 dzieci, w tym 90 synów. Jak wiadomo,

szansa urodzenia chłopca jest równa 0,516. Oszacować lub obliczyć w przybli-
żeniu prawdopodobieństwo, że wśród 151 dzieci będzie 90 lub więcej synów i
ustosunkować się do wyniku, jaki osiągnęli prezydenci USA.

Ciekawostka. Oto niektóre wartości dystrybuanty standardowego rozkładu

normalnego: Φ(1, 96) = 0, 975, Φ(2) = 0, 977.

1