Ruch cząstki naładowanej w jednorodnym polu elektrostatycznym

• Wektory prędkości początkowej cząstki


i natężenia pola



są wzajemnie równoległe.

Ruch cząstki jest w takim przypadku jednostajnie zmienny prostoliniowy. Przyspieszenie cząstki obliczamy ze wzoru:







gdzie: m - masa naładowanej cząsteczki.




• Wektory prędkości początkowej cząstki




                                                                                                                   

i natężenia pola


są wzajemnie prostopadłe.

Torem cząstki jest w takim przypadku gałąź paraboli. Ruch cząstki jest złożeniem dwóch ruchów: jednostajnego w kierunku prostopadłym do linii pola z prędkością
oraz jednostajnie przyspieszonego w kierunku równoległym do linii pola z przyspieszeniem:




Odchylenie od pierwotnego kierunku cząstki y po przebyciu w kierunku poziomym odległości x wynosi:

3. Ruch cząstki naładowanej w polu elektrycznym i magnetycznym. Możliwości jej wykorzystania.

Na cząstkę działa stała siła
 ,która jest prostopadła do toru cząstki, zatem tor ten musi być okręgiem.

 czyli 

Prędkość kątowa cząstki

Cyklotron jest urządzeniem służącym do przyspieszania naładowanych cząstek do wysokich energii, tak aby można było ich używać w doświadczeniach nad rozbijaniem atomów. Duże prędkości otrzymuje się zmuszając cząstki do wielokrotnego przebywania drogi przyspieszenia poprzez zakrzywienie ich toru w polu magnetycznym.

Zjawisko odchylania się toru cząstek w polu elektrycznym lub magnetycznym można też wykorzystać do sterowania ruchem tych cząstek, jak to ma miejsce w oscyloskopie.

Ruch cząstki naładowanej w jednorodnym polu magnetycznym

• Wektory: prędkości cząstki


i natężenia pola


są wzajemnie równoległe.

Cząstka porusza się wówczas ruchem jednostajnym prostoliniowym, gdyż F_L = 0, zaś siłę ciężkości można pominąć ze względu na bardzo małą masę cząstki.

• Wektory: prędkości początkowej cząstki


i natężenia pola


są wzajemnie prostopadłe. Torem ruchu cząstki jest wówczas okrąg, gdyż siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej. Promień okręgu wynosi:




                                                                                                                   

zaś okres obiegu cząstki:




gdzie: q - ładunek cząstki, v - prędkość cząstki, m - masa cząstki,
B - indukcja pola magnetycznego.

• Wektory: prędkości początkowej cząstki


i natężenia pola


tworzą kąt ostry α. Torem cząstki jest wówczas linia śrubowa o skoku:

Jak pole magnetyczne wpływa na ruch cząstki naładowanej elektrycznie? Odpowiedź na to pytanie  ukaże nam ogromne możliwości jakie stwarza nauce, technice, medycynie itd. zastosowanie pola magnetycznego do sterowania ruchem cząstek naładowanych. Jeszcze większe możliwości wpływu na ruch cząstek naładowanych stwarza wykorzystanie kombinacji pól magnetycznych i elektrycznych.

Na ładunek elektryczny
poruszający się z prędkością
w polu magnetycznym o indukcji
działa siła Lorentza

.

(2.2.1)

Ustawmy  układ współrzędnych prostokątnych tak, by oś  Z pokrywała się z kierunkiem wektora indukcji magnetycznej ; Rys.2.2.1. pokazuje konfigurację geometryczną dla naszego przypadku. Kolorem czerwonym zaznaczono wersory wyznaczające kierunki osi współrzędnych. kolorem niebieskim zaznaczono przykładowy wektor prędkości cząstki, a kolorem fioletowym jego rzuty na osie układu współrzędnych. Przez  oznaczono składową prostopadła do wektora ; składowa ta leży w płaszczyźnie XY. Przez oznaczono składową prędkości równoległą do kierunku wektora . Składowa ta równa jest składowej .

Rys 2.2.1. Wektor indukcji magnetycznej i składowe wektora prędkości cząstki w układzie współrzędnych prostokątnych.

Szczegółowe rozwiązanie układu równań Newtona dla ruchu cząstki w kierunkach X, Y, Z przedstawiamy oddzielnie bowiem wymaga wykonania bardziej złożonych obliczeń. Tutaj podajemy jedynie krótką metodę pozwalającą na wyznaczenie promienia krzywizny i skoku linii śrubowej, po jakiej porusza się cząstka w polu magnetycznym.

Ruch cząstki można opisać jako złożenie dwóch niezależnych ruchów: wzdłuż osi Z z prędkością
i w płaszczyźnie XY z prędkością
.

Ruch wzdłuż osi Z: Kierunek siły Lorentza jest prostopadły do wektora
, a więc składowa siły w kierunku osi Z wynosi zero. Ruch wzdłuż osi Z jest więc ruchem jednostajnym z prędkością
.

Ruch w płaszczyźnie XY: Wartość siły Lorentza można zapisać w postaci skalarnej jako

.

(2.2.2)

Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego, siła ta skierowana jest zawsze prostopadle do prędkości
, może więc zmieniać jedynie kierunek prędkości, a nie jej wartość. Siła o takiej własności jest siłą dośrodkową - pod jej wpływem cząstka porusza się po okręgu, którego promień można wyznaczyć z równania

.

(2.2.3)

gdzie wyrażenie po prawej stronie, to znany wzór na siłę odśrodkową w ruchu po okręgu.

Z wyrażenia (2.2.3) wyznaczamy więc promień okręgu,

(2.2.4)

gdzie iloczyn
jest tzw. "składową poprzeczną" pędu cząstki. Okres ruchu wynosi

(2.2.5)

Częstość kołowa 

(2.2.6)

zwana jest częstością cyklotronową. Częstość ta nie nie zależy od prędkości cząstki, a jedynie od indukcji pola magnetycznego B oraz stosunku ładunku cząstki do jej masy q/m. 

W kierunku osi Z tor jest linią prostą, zaś w płaszczyźnie XY okręgiem. Wobec tego wypadkowy tor będzie linią śrubową zwaną też helisą. Skok helisy równy będzie drodze, jaką w kierunku Z przebędzie cząstka w czasie jednego okresu

(2.2.7)

Opisane zależności możesz teraz sam sprawdzić korzystając z ilustracji interaktywnej demonstrującej ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym dla zadanych przez Ciebie wartości parametrów. Odpowiedz na zawarte tam pytania

Siła
działająca na ładunek
umieszczony w polu elektrycznym o natężeniu
określona jest wzorem. 

(2.1.1)

gdzie znak ładunku może być dodatni bądź ujemny. Kierunek siły zgodny jest z kierunkiem wektora natężenia pola, a zwrot zależny jest od znaku ładunku. 

Zapiszmy równania Newtona dla tego przypadku. Pamiętamy, że
, gdzie
jest masą cząstki, a 
  jest jej przyspieszeniem. Z kolei, przyspieszenie jest drugą pochodną wektora położenia
i pierwszą pochodną wektora prędkości względem czasu. Wektory te mogą mieć dowolną orientację w przestrzeni.  Równanie ruchu ma więc postać. 

.

(2.1.2)

Określmy warunki początkowe dla naszego przypadku. Przyjmijmy, że wektor natężenia pola skierowany jest wzdłuż osi Z, czyli jego składowe można zapisać jako . Składowe wektora położenia i prędkości przyjmijmy za dowolne i oznaczmy je dla chwili czasu symbolami oraz . Ilustruje to rysunek 2.1.1.  Rys.2.1.1 Wektory: położenia, prędkości i pola elektrycznego

 Równania Newtona dla poszczególnych składowych oraz ich rozwiązania mają więc postać.

(2.1.3)

Zauważamy, że ruch w każdym z kierunków jest niezależny od ruchów w kierunkach pozostałych. Jeśli więc wszystkie prędkości początkowe równe będą zeru, to ruch będzie odbywał się tylko w kierunku zgodnym z kierunkiem wektora natężenia pola, czyli w naszym przypadku w kierunku osi Z. Będzie to ruch jednostajnie przyspieszony, jednowymiarowy.  Przyspieszenie w tym ruchu zapisać więc można w postaci skalarnej

(2.1.4)

bowiem kierunek przyspieszenia w tym ruchu jest także wielkością stałą.

Jeśli ładunek cząstki jest ujemny, to ruch będzie odbywał się w kierunku przeciwnym do kierunku wektora
. Jeśli dodatkowo w chwili 
składowa prędkości w kierunku Z była nierówna zeru i dodatnia to ruch będzie ruchem jednostajnie opóźnionym aż do momentu kiedy ujemny przyrost prędkości będzie równy prędkości początkowej, czyli kiedy
.  Jeśli w chwili 
składowa prędkości w kierunku X była nierówna zeru, to ruch w tym kierunku będzie ruchem jednostajnym, prostoliniowym, a cząstka poruszać się będzie w płaszczyźnie (X,Z) - będzie to więc ruch płaski. Zwróćmy tez uwagę, że przyspieszenie w tym ruchu określa czynnik
wyrażający proporcjonalność przyspieszenia cząstki do wartości natężenia pola i ładunku cząstki i odwrotną proporcjonalność do jej masy.

Rozważania nasze możesz teraz sprawdzić samemu za pomocą przygotowanego w tym celu interaktywnego testu graficznego. 

Rozważmy bliżej ruch elektronu w polu elektrycznym. Ładunek elektronu wynosi (porównaj z tablicami stałych fizycznych)
, a jego masa
; stosunek ładunku elektronu do jego masy wynosi
. Natężenie pola wyrazić możemy w niutonach na kulomb lub, co jest równoważne,  w woltach na metr. Wymiar wyrażenia
jest więc
. W układzie SI wyrażenie to możemy więc zapisać dla elektronu w postaci

(2.1.5)

Wyraziliśmy to w metrach na nanosekundę do kwadratu, bo w praktycznych zastosowaniach wygodniej będzie wyrażać czas ruchu elektronu w nanosekundach. 

Wszystkie rozgrzane ciała emitują promieniowanie elektromagnetyczne. Fale elektromagnetyczne emitowane przez te ciała mają różne długości fali. Widmem promieniowania ciała nazywamy funkcję opisującą zależność mocy promieniowania ciała od długości fali. W danej temperaturze różne ciała mają w ogólności inne widmo promieniowania. Jedne ciała emitują np. dużo światła czerwonego, a mniej niebieskiego, a inne odwrotnie. Nie można więc podać jednego wzoru, który by opisywał poprawnie widmo promieniowania rozgrzanych ciał.

Można wprowadzić jednak pewien model, który pozwala wyprowadzić wzór na widmo promieniowania i który dobrze opisuje własności promieniowania niektórych ciał. Model ten nosi nazwę modelu ciała doskonale czarnego.

Ciało doskonale czarne całkowicie pochłania padające na nie promieniowanie elektromagnetyczne we wszystkich zakresach długości fali. Mówiąc inaczej, ciało doskonale czarne nie odbija wcale promieniowania elektromagnetycznego.

Nie oznacza to wcale, że ciało doskonale czarne jest czarne! Ciało doskonale czarne nie odbija światła, może natomiast je emitować. Dobrym przykładem ciała doskonale czarnego jest mały otwór prowadzący do zamkniętej wnęki. Światło, które wpada przez otwór, doznaje tylu odbić wewnątrz wnęki, że jest praktycznie całkowicie pochłonięte. Innym przykładem ciał, które w dobrym przybliżeniu mają właściwości ciała doskonale czarnego są gwiazdy.

Dla ciał doskonale czarnych obowiązuje prawo promieniowania Stefana-Boltzmanna mówiące, że całkowita moc wypromieniowana (moc wypromieniowana we wszystkich zakresach długości fali) przez ciało na jednostkę powierzchni jest proporcjonalna to czwartej potęgi temperatury ciała (wyrażonej w skali Kelvina):

(@1)

gdzie
nosi nazwę stałej Stefana-Boltzmanna.

Wyprowadzenie zgodnej z doświadczeniem zależności mocy promieniowania od długości fali dla promieniowania ciała doskonale czarnego wymaga założenia, że światło może być emitowane tylko w porcjach o energii
, gdzie
jest częstością fali, a
stałą Plancka. Próba wyprowadzenia widma promieniowania ciała doskonale czarnego była pierwszym z bodźców prowadzących do uznania korpuskularnej natury światła i wprowadzenia pojęcia fotonu. Wzór opisujący widmo promieniowania ciała doskonale czarnego wyprowadzony przez Plancka ma postać:

(@2)

Wielkość
oznacza moc promieniowania przypadającą na jednostkę powierzchni ciała doskonale czarnego w temperaturze
, przypadającej na zakres długości fali od
do
. Wyrażenie:

(@3)

odpowiada mocy na jednostkę powierzchni jaką wypromieniowuje ciało w zakresie długości fali od
do
.

Na rysunku przedstawione zostało widmo promieniowania ciała doskonale czarnego o temperaturze
.

Wzór Plancka (@2) ma tę własność, że wraz ze spadkiem temperatury ciała nie tylko spada całkowita moc wypromieniowywana przez ciało, ale rozkład przesuwa się w stronę fal o większej długości. Na rysunku pokazano widma promieniowania ciał o temperaturach
i
. Widać, że podczas gdy widmo promieniowania ciała o temperaturze
ma maksimum odpowiadające długości fali
(barwa fioletowa), widmo ciała o temperaturze
ma maksimum dla długości fali
(barwa zielona).

Ze wzoru Plancka (@2) można wyprowadzić prawo Stefana-Boltzmanna. Całkowita moc promieniowania na jednostkę powierzchni ciała doskonale czarnego w całym zakresie widma wynosi

(@4)

Powyższą całkę można obliczyć, za pomocą tzw. całek konturowych. Korzystając z gotowego wzoru

(@5)

dostajemy, że

(@6)

co daje ostatecznie prawo Stefana-Boltzmanna

(@7)

Jest to kula o promieniu 0,25 R_☉ (0,25 promienia Słońca), o gęstości do 150 000 kg/m³ (150 razy większej od gęstości wody na Ziemi) i temperaturze bliskiej 13 600 000 K. Oszacowano, że zawartość wodoru w jądrze wynosi obecnie około 40%. W jądrze powstaje 95% całej energii wytwarzanej przez Słońce. Pozostałe 5% powstaje w warstwach znajdujących się bezpośrednio nad jądrem, gdyż szybkość reakcji jądrowych gwałtownie maleje wraz ze zmniejszającą się temperaturą, a ta spada z rosnącą odległością od środka. Sumarycznie proces reakcji fuzji to połączenie 4 protonów w jądro helu, ale proces ten zachodzi w wyniku ciągu kilku reakcji jądrowych zwanych cyklami. Istnieją dwa rodzaje cyklów, w których przebiega ta reakcja. Tylko około 1% energii pochodzi z cyklu CNO, gdyż w temperaturze panującej wewnątrz Słońca przebiega on z małą szybkością. Prawie cała energia powstaje w wyniku cyklu proton-proton (pp). Cykl ten ma trzy gałęzie. Najczęściej (86%) zachodzi cykl ppl. Składa się on z trzech reakcji:

p + p → ²H + e⁺ + v_e (1,44),

²H + p → ³He + γ (5,494),

³He + ³He → ⁴He + 2p + γ (12,860).

W nawiasach podana jest ilość energii uwolnionej w reakcjach, w MeV. 14% energii powstaje w reakcjach tworzenia berylu:

³He + ⁴He → ⁷Be + γ (1,586)

Dalej reakcja ta może przebiegać na dwa sposoby. W 99% przypadków reakcja przebiega w cyklu ppll:

⁷Be + e^- → ⁷Li + v_e (0,862)

⁷Li + p → 2⁴He (17,348)

lub w reakcji pplll:

⁷Be + p → ⁸B + γ (0,137)

⁸B → ⁸Be + e⁺ + v_e (15,1)

⁸Be → 2⁴He (2,995)

Najrzadziej, bo w jednym przypadku na czterysta, zamiast fuzji dwóch protonów zachodzi reakcja pep:

p + e^- + p → ²H + v_e (1,442)

Udział tej reakcji w produkcji energii jest tak niewielki, że można go pominąć, lecz jest ona źródłem wysokoenergetycznych neutrin.

Masa jądra helu jest mniejsza od masy czterech protonów o 0,71%, niezależnie od rodzaju reakcji w jakiej hel powstaje. Ten ubytek masy odpowiada energii 26,732 MeV. 98% energii jest zabieranych z jądra przez fotony, a 2% przez neutrina. Sugeruje to, że Słońce w trakcie swojego życia musi tracić masę, w tempie równym mocy promieniowania, które wynosi w przybliżeniu 4x10⁹ kg/s.

Gdyby przyjąć, że Słońce traci masę w takim tempie przez całe swoje życie, to dotychczasowa całkowita utrata masy wynosiłaby w przybliżeniu 6,5x10²⁶ kg. Dla porównania, wartość ta jest mniejsza niż niepewność, z jaką wyznacza się obecnie masę Słońca. Fotony, które powstają w reakcjach jądrowych, jako wysokoenergetyczne fotony promieniowania gamma i rentgenowskiego, oddziałują z materią, stając się promieniowaniem termicznym, które podczas przemieszczania się ku powierzchni, powoli wraz ze spadkiem temperatury traci energię, w efekcie czego większość energii wyświecana jest jako promieniowanie optyczne i podczerwone.

Czas, jakiego potrzebują fotony na opuszczenie jądra i dotarcie na powierzchnię, to od 10 000 do 170 000 lat (w podręcznikach można spotkać podawaną dawniej i niezgodne z obecnymi modelami wartości rzędu kilku milionów lat), natomiast neutrina, poruszające się z prędkością bliską prędkości światła i prawie nie oddziałujące z mijaną materią, na pokonanie tej samej drogi potrzebują zaledwie dwóch sekund^[3].

---