Ruch naładowanych cząstek

w polu elektrycznym

i

magnetycznym

Marian Cholewa

Katedra Fizyki

Politechniki Rzeszowskiej

Mechanika

Ch. Kittel, D. Knight, M.A.

Ruderman

PWN, Warszawa, Rozdz. 4

2

2

d (t)

q

.

dt

M

=

r

a=

E

r

r

r

Naładowana cząstka w

jednorodnym polu

elektrycznym

Niech cząstka o masie M, ładunku q i wektorze
wodzącym znajduje się w jednorodnym polu
elektrycznym o wektorze natężenia pola elektrycznego
. Równanie Newtona wiążące przyspieszenie cząstki
z siłą ma postać

E

r

r

r

a

r

Zadanie polega na znalezieniu zależności wektora
od czasu. Ponieważ mamy do czynienia z
równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego
rzędu należy zadać dwa warunki początkowe
określające położenie początkowe i prędkość
początkową:

(t)

r

r

0

0

(t =0) = ; (t =0) =

.

r

r v

v

r

r r

r

Rozwiązanie równania

Newtona:

2

0

0

q

(t)

t + t

.

2M

=

+

E

r

v

r

r

r

r

r

Spełnia ono warunki początkowe:

0

0

0

t=0

t=0

d (t)

q

(t =0)

;

t

.

dt

M

�

�

=

=

+

=

�

�

�

�

r

E

r

r

v

v

r

r

r

r

r

r

Ruch naładowanej cząstki

między

okładkami kondensatora

(0,0,E) = E, =(0,v,0) = v

E =

k v

j

r

r

r

r

Cząstka porusza się wzdłuż osi
y ruchem jednostajnym z
prędkością
i ruchem jednostajnie
przyśpieszonym wzdłuż osi z.
Dlatego:

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

+++++++++++++++++++++++++++++++++

0

v

r



x

y

z

E

L

0

v

r

Ruch naładowanej cząstki

między

okładkami kondensatora

2

0

0

q

(t)

t

t

,

2M

=

+

+

E

r

v

r

r

r

r

r

2

0

z

0

0

y

0

0

qE

qE

z(t) =

t +z ; v (t) =

t;

2M

M

dy(t)

y(t) =v t+y ; v (t) =

v ; x(t) =x .

dt

=

Rozwiązanie równania
ruchu:

Składowe rozwiązania równania ruchu:

Czas przelotu cząstki przez obszar
kondensatora:

L

0

T =L/v .

Warunki początkowe

Ponieważ początek układu współrzędnych możemy
umieścić w dowolnym punkcie przestrzeni, więc
przyjmijmy, że

0

0

0

x =0,y =0,z =0.

Wtedy rozwiązanie równania ruchu przyjmie postać:

2

z

0

y

0

qE

qE

z(t) =

t ; v (t) =

t;

2M

M

dy(t)

y(t) =v t; v (t) =

v ; x(t) =0.

dt

=

0

albo (t =0)

0.

= =

r

r

r

r

Prędkość w kierunku osi z

po wyjściu z kondensatora

(L)
z

z

L

L

0

qE

qE L

v =v (t =T ) =

T

.

M

M v

=

Aby znaleźć składową z prędkości cząstki po
wyjściu z kon-densatora, we wzorze

należy przyjąć t=T

L

=L/v

0

z

qE

v (t) =

t

M

Kąt  pod jakim skierowany jest wektor prędkości

cząstki po wyjściu z kondensatora:

(L)
z

0

2
0

qE L

tgθ =v /v

.

M v

=

Gdy kąt  jest mały, to tg, wtedy

2
0

qE L

θ

.

M v

;

v

0

(L)
z

v



L

(t =T )

v

r

Użyteczne wzory

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

dsinx

dcosx

=cosx;

=-sinx ;

dx

dx

d sinx dcosx

d cosx

dsinx

=

- sinx;

=-

=-cosx ,

dx

dx

dx

dx

dsinαx

dsin αx d αx

=

=αcosx;

dx

dαx

dx

dcosαx

dcos αx d αx

=

=-αsin αx .

dx

dαx

dx

2

2

2

2

2

2

d cosωt

d sinωt

=- ω cosωt,

=- ω sinωt

dt

dt

Cząstka naładowana w

zmiennym polu elektrycznym

Niech zmienne, harmoniczne pole elektryczne będzie
skierowane wzdłuż osi x:

( )

(0)

x

x

(t)

E (t) = E sinωt .

=

E

i

i

r

r

r

Równanie ruchu:

( )

2

(0)

x

x

2

d x(t)

q

q

=

E (t) =

E sinωt .

dt

M

M

Poszukamy rozwiązania w
postaci:

1

0

0

x(t) =x sinωt+v t+x .

Jego druga pochodna wyraża się przez sin(t):

2

2

1

2

d x(t)

=-ω x sinωt.

dt

Powiązanie x

1

z parametrami zadania

Porównanie równania ruchu:

( )

2

(0)

x

x

2

d x(t)

q

q

=

E (t) =

E sinωt

dt

M

M

pozwala wyrazić x

1

występujące w rozwiązaniu przez

q, M,  i natężenie pola elektrycznego

(0)

2

(0)

x

1

x

1

2

qE

q

-ω x sinωt =

E sinωt

x =-

.

M

Mω

�

Wymiar fizyczny x

1

:

[ ]

(0)

2

x

1

2

2

2

qE

F

mL/T

x = -

=

=L ,

Mω

Mω

m/T

(m ma wymiar masy, L - dlugosci, T- czasu)

�

� �

�

=

�

� �

�

�

�

�

�

Prędkość ruchu cząstki

1

0

0

(0)

x

0

0

2

x(t) =x sinωt+v t+x ,

qE

x(t) =-

sinωt+v t+x .

Mω

�

Wstawiamy do
rozwiązania x(t):

Obliczymy prędkość ruchu cząstki

(0)

x

x

0

qE

dx(t)

v (t) =

=-

cosωt+v .

dt

Mω

(

)

(0)

2

1

x

x =-qE / Mω

Związek pomiędzy częstością i

parametrami zagadnienia

(0)

(0)

x

x

x

0

0

t=0

qE

qE

dx(t)

v (t =0) =

=-

cos0+v

-

v .

dt

Mω

Mω

=

+

Znajdziemy prędkość cząstki w momencie czasu t=0

Jeżeli zadamy v

x

(t=0), to zwiążemy v

0

z parametrami

zagadnienia. Np. gdy v

x

(t=0)=0, to

(0)

(0)

x

x

0

0

qE

qE

-

v

0

v =

.

Mω

Mω

+ = �

Wymiar fizyczny v

0

:

(0)

2

x

0

qE

F

mL/T

L

=

[v ].

Mω

Mω

m/T

T

�

� � �

=

=

=

�

� � �

� �

�

�

Naładowana cząstka w

zmiennym polu elektrycznym:

ostateczny wynik

(0)

(0)

x

x

0

2

qE

qE

x(t) =-

sinωt+

t+x .

Mω

Mω

Nawet jeżeli początkowa prędkość v

x

(0)=0, to

naładowana cząstka w zmiennym, oscylującym polu
elektrycznym wykonuje ruch drgający wzdłuż osi x i
jednocześnie porusza się ruchem postępowym z
prędkością

(0)

(p)

x

x

qE

v

0.

Mω

=

�

Ładunek

znajduje się w

oscylującym

polu

elektrycznym:

przyśpieszenie,

prędkość,

położenie.

przyspieszenie

prędkość

położenie

Ruch cząstki naładowanej

w stałym polu

magnetycznym

Niech cząstka ma masę M i ładunek q znajduje się w
polu magnetycznym o wektorze indukcji . Równanie
ruchu ma postać:

B

r

2

2

d (t)

d

M

M

=q

dt

dt

�

r

v

v×B .

r

r

r

Niech wektor indukcji będzie skierowany wzdłuż osi z:
, wtedy

B =kB

r

r

(

)

(

)

(

)

y

z

z

y

y

z

x

x

z

x

x

y

y

x

=v B - v B

v B ;

=v B - v B

-v B;

=v B - v B

0.

x

y

z

=

=

=

v B

v B

v B

r

r

r

r

r

r

�

�

�

Równania dla składowych

y

x

y

x

z

z

dv

dv

q

q

=

v B ;

=- v B ;

dt

M

dt

M

dv

0

v

.

dz

const

= �

=

Twierdzenie: Energia kinetyczna K nie zmienia się z upływem czasu, tj.
jest całką ruchu: K(t)=Mv

2

(t)/2=const. Dowód:

[

]

(

)

(

)

2

d

M dv (t) M d

M d (t)

d (t)

K(t) =

(t) (t)

(t)+ (t)

dt

2 dt

2 dt

2

dt

dt

d (t)

M (t)

qM (t)

(t)

(t)

0.

dt

�

�

�

�

�

�

=

=

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

=

=

�

= �

=

v

v

v v

v

v

v

v

v

v ×B

B v(t)×v

r

r

r r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

Wektor jest prostopadły do wektora ,
więc ich iloczyn skalarny znika!

(

)

(t)

v ×B

r

r

(t)

v

r

Rozwiązanie pary równań

różniczkowych – postać rozwiązań

Będziemy szukali rozwiązania układu
równań

y

x

y

x

dv

dv

q

q

=

v B ,

=- v B ,

dt

M

dt

M

w
postaci:

( )

( )

x

1

x

1

v =v sinωt ,v =v cos ωt .

Znajdziemy pochodne znalezionych rozwiązań dwóch równań
różniczkowych:

( )

( )

y

x

1

1

dv (t)

dv (t)

=ωv cos ωt ,

=- ωv sin ωt .

dt

dt

Rozwiązanie

pary równań różniczkowych

( )

( )

y

x

1

1

dv (t)

dv (t)

Wstawimy

=ωv cos ωt ,

=- ωv sin ωt .

dt

dt

do równań:

y

x

y

x

dv

dv

q

q

=

v B ,

=- v B . Oto wynik:

dt

M

dt

M

1

1

1

1

c

qB

qB

qB

ωv cosωt =

v cosωt , - ωv sinωt =-

v sinωt ω ω =

.

M

M

M

޺

Częstość kołowa 

c

nazywa się częstością

cyklotronową.
Nie zależy ona od prędkości v

1

.

c

ω =qB/M, zależy jedynie od indukcji pola

magnetycznego B
i charakterystyk cząstek.

Trajektoria ruchu naładowanej

cząstki w stałym polu

magnetycznym

Znamy składowe wektora prędkości v(t):

( )

( )

( )

( )

x

1

x

1

1

1

v =v sinωt ,v =v cos ωt

dx(t)

dy(t)

=v sinωt ;

=v cos ωt ,

dt

dt

�

Należy znaleźć składowe x(t) i y(t) wektora wodzącego cząstki

(t) .

r

r

Oto one:

(

)

(

)

(

)

(

)

1

0

c

0

c

c

1

0

c

0

c

c

0

z

v

x(t) =x -

cosω t =x -ρcos ω t ;

ω

v

y(t) =y +

sinω t =y +ρsin ω t ;

ω

z(t) =z +v t .

Sens rozwiązania

(

)

(

)

(

)

(

)

1

0

c

0

c

c

1

0

c

0

c

0

z

c

v

x(t) =x -

cosω t =x - ρcos ω t ;

ω

v

y(t) =y +

sinω t =y +ρsin ω t ;z(t) =z +v t .

ω

W płaszczyźnie x, y ruch odbywa się po okręgu o
promieniu cyklotronowym =v

1

/

c

ze środkiem w

punkcie (x

0

,y

0

).

[

] [

]

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

1

0

0

c

c

c

v

x(t)- x

+ y(t)- y

=

cosω t +sin ω t =ρ .

ω

� �

�

�

� ��

�

� �

Wzdłuż osi z ruch jest jednostajny z prędkością v

z

.

Złożenie obydwu ruchów daje ruch po spirali.

Własności promienia

cyklotronowego

1

1

1

1

c

v

v

v M

v M p

.

qB

ω

qB

q

q

M

^

r =

=

=

� r B =

=

Wprowadzimy p



- składową pędu w

płaszczyźnie prostopadłej do kierunku
wektora indukcji magnetycznej, wtedy

Wymiar fizyczny
promienia
cyklotronowego :

[ ]

1

c

L

v

T

ρ =

= =L .

1

ω

T

� �

� �

� �

Trajektoria

ruchu

cząstki

w stałym

polu

magnetyczny

m

q

B

r

x

y

z



q

Zasada działania cyklotronu

W cyklotronie cząstki poruszają się po niemal
kołowych orbitach. Po każdej połowie obrotu cząstki
są przyspieszane w oscylującym polu elektrycznym.
Częstość drgań pola elektrycznego musi być równa
aktualnej wartości częstości cyklotronowej. Po
każdym obrocie cząstki przyśpieszają uzyskując
energię od pola elektrycznego. Należy dobrać tak
chwilowe pole elektryczne tak, aby harmoniczne pole
elektryczne przyśpieszało cząstki. Ponieważ

2

k

1

1

k

E =Mv /2

v = 2E /M ,

�

możemy wyrazić promień cyklotronowy 

przez E

k

k

c

c

2E /M

v

ρ =

=

.

ω

ω

Po każdym cyklu promień cyklotronowy rośnie, natomiast częstość
kołowa jest stała.

Cyklotron
Lawrance

’a

1931 r.

Ernest Orlando Lawrence

1901-1958

nagroda Nobla w 1939 r.

W 1939 r. z 60-calowego cyklotronu w Berkley
National Laboratory wyprowadzono wiązkę
przyśpie-szanych jonów (prawdopodobnie
protonów albo deuteronów). Jonizują one
otaczające powietrze powodując niebieską
poświatę.

Tunel

akcelerator

a w

Fermilab

o średnicy

ok. 2 km

Siła działająca na giętki

przewodnik z prądem w polu

magnetycznym

Giętki przewodnik znajduje się

między biegunami magnesu.
Wektor indukcji magnetycznej jest
prostopadły do płaszczyzny
rysunku

a) Gdy w przewodniku nie płynie

prąd, na elektrony przewodnictwa
nie działa siła Lorentza.

b) Gdy w przewodniku płynie prąd o

natężeniu I to na elektrony, które
nie mogą opuścić przewodnik,
działa siła Lorentza. W wyniku
przewód wygina się.

c) Gdy zmienimy kierunek prądu, to

przewodnik wygnie się w stronę
przeciwną w porównaniu z
przypadkiem (b).

Dalszy biegun magnesu

Co dzieje się z elektronami przewodu

w polu magnetycznym

Element liniowego przewodnika o długości
L. Niech prędkość unoszenia elektronów
wynosi v

d

. Wszystkie elektrony znajdujące

się w obszarze o długości L przejdą przez
płaszczyznę xx w ciągu interwału
czasowego t = L/v

d

. Ładunek

przepływający przez tę płaszczyznę w tym
interwale równy jest q = It = IL/v

d

. Ten

ładunek należy podstawić do równania
określającego wielkość siły Lorentza:

d

B

d

F = q v B sinθ.

B

q

=

�

� ��

F

v

B

r

r

r

×

o

B

d

d

I L

F =

v B sin90

I L B.

v

�

� ��

= ��

Siła działająca na odcinek przewodnika o
długości L, w
którym płynie prąd o natężeniu I, w polu
magnetycznym.

d

v

r

B

r

B

F

r

Gdy kierunek prądu nie jest

prostopadły do

B

r

Wprowadzimy wektorowy element
długości jego kierunek jest zgodny
z kierunkiem płynięcia prądu, a
wielkość równa długości dL .

dL

r

Siła, która działa ze strony pola
magnetycznego
na element przewodnika równa jest

=I

B

dF

dL×B .

r

r r

Ten wzór pozwala znaleźć siłę działającą na przewodnik o dowolnym kształcie.
Trzeba znaleźć całkę, która jest wektorowa sumą.

Para sił działająca na ramkę z

prądem w stałym polu

magnetycznym

B

r

L

r

B

-F

r

N

S

B

r

-L

r

B

F

r

1

L

r