Ruch naładowanych cząstek
w polu magnetycznym
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Politechniki Rzeszowskiej
Ruch naładowanych cząstek
w polu magnetycznym
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Politechniki Rzeszowskiej
Mechanika
Ch. Kittel, D. Knight, M.A. Ruderman
PWN, Warszawa, Rozdz. 4
Ruch cząstki naładowanej
w stałym polu magnetycznym
Niech cząstka o masie M i ładunku q znajduje się w polu
magnetycznym o wektorze indukcji . Równanie ruchu ma
postać:
B
2
2
d (t)
d
M
M
= q
dt
dt
≡
r
v
v × B .
Niech wektor indukcji będzie skierowany wzdłuŜ osi
z: , wtedy:
ˆ
= B
B
z
(
)
(
)
(
)
y
z
z
y
y
z
x
x
z
x
x
y
y
x
= v B - v B
v B ;
= v B - v B
-v B;
= v B - v B
0 .
x
y
z
=
=
=
v B
v B
v B
××××
××××
××××
Równania dla składowych
y
x
y
x
z
z
dv
dv
q
q
=
v B ;
= -
v B ;
dt
M
dt
M
dv
0
v
.
dz
const
=
⇒
=
Ruch naładowanej cząstki w polu
magnetycznym – prawo zachowania
Twierdzenie: Energia kinetyczna E
k
nie zmienia się z
upływem czasu, tj. jest całką ruchu: E
k
= (t)= Mv
2
(t)/2=
=const.
( )
[
]
(
)
(
)
2
k
d
M dv (t)
M d
E
t =
(t) (t)
dt
2
dt
2 dt
M
d (t)
d (t)
(t) + (t)
2
dt
dt
d (t)
(t) M
q (t)
(t)
q
(t)
0 .
dt
=
=
=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
F
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
× B
B
v(t)× v
L
Wektor jest prostopadły do wektora ,
więc ich iloczyn skalarny znika!
(
)
(t)
v ×B
(t)
v
Dowód:
Rozwiązanie pary równań
róŜniczkowych – postać rozwiązań
Będziemy szukali rozwiązania układu równań
y
x
y
x
dv
dv
q
q
=
v B ,
= -
v B ,
dt
M
dt
M
w postaci:
( )
( )
x
1
x
1
v = v sin ωt , v = v cos ωt .
Znajdziemy pochodne zaproponowanych rozwiązań
dwóch równań róŜniczkowych:
( )
( )
y
x
1
1
dv (t)
dv (t)
= ωv cos ωt ,
= - ωv sin ωt .
dt
dt
Obserwacja
:
(
)
2
2
2
2
2
2
x
y
1
1
v (t) + v (t) = v
sin ωt + cos ωt = v
Rozwiązanie
pary równań róŜniczkowych
( )
( )
y
x
1
1
dv (t)
dv (t)
= ωv cos ωt ,
= - ωv sin ωt .
dt
dt
do równań:
y
x
y
x
dv
dv
q
q
=
v B ,
= -
v B.
dt
M
dt
M
1
1
1
1
qB
qB
ω
v cosωt =
v cosωt , - ωv sinωt = -
v sinωt .
M
M
Częstość kołowa
ω
c
nazywa się częstością
cyklotronową. Nie zaleŜy ona od prędkości v
1
.
Wstawimy:
c
= ω = qB/M
ω
Prędkość cyklotronowa
c
ω
= qB/M
zaleŜy jedynie od indukcji pola magnetycznego
B i charakterystyk cząstek.
Trajektoria ruchu naładowanej cząstki
w stałym polu magnetycznym
Znamy składowe wektora prędkości v(t):
Składowe x(t) i y(t) wektora wodzącego cząstki
(t) .
r
(
) ( )
( )
(
) ( )
( )
0
1
c
c
0
c
0
1
c
c
0
c
0
z
x(t) = x - v / ω cos ω t = x - ρcos ω t ,
y(t) = y + v / ω sin ω t = y + ρsin ω t ,
z(t) = z + v t .
( )
( )
1
c
1
c
dx(t)
dy(t)
= v sin ω t ;
= v cos ω t ,
dt
dt
( )
( )
x
1
c
y
1
c
v = v sin ω t , v = v cos ω t .
Sens rozwiązania
( )
( )
( )
( )
1
0
c
0
c
c
1
0
c
0
c
0
z
c
v
x(t) = x -
cos ω t = x - ρcos ω t ;
ω
v
y(t) = y +
sin ω t = y + ρsin ω t ; z(t) = z + v t .
ω
W płaszczyźnie x, y ruch odbywa się po okręgu
o promieniu cyklotronowym
ρ
=v
1
/
ω
c
ze środkiem
w punkcie (x
0
,y
0
).
[
] [
]
( )
( )
2
2
2
2
2
2
1
0
0
c
c
c
v
x(t) - x
+ y(t) - y
=
cos
ω
t + sin
ω
t
= ρ .
ω
WzdłuŜ osi z ruch jest jednostajny z prędkością v
z
.
ZłoŜenie obydwu ruchów daje ruch po spirali.
Trajektoria
ruchu
cząstki
w stałym polu
magnetycznym
q
B
x
y
z
ρρρρ
q
V
z
=V
0
Własności promienia cyklotronowego
1
1
1
1
c
v
v
v M
v M
p
.
qB
ω
qB
q
q
M
⊥
ρ =
=
=
⇒
ρΒ =
=
Wprowadzimy p
⊥
- składową pędu w
płaszczyźnie prostopadłej do kierunku wektora
indukcji magnetycznej, wtedy
Wymiar fizyczny promienia: cyklotronowego
ρ
:
[ ]
1
c
L
v
T
ρ
=
=
= L .
1
ω
T
Zasada działania cyklotronu
W cyklotronie cząstki poruszają się po niemal
kołowych orbitach. Po kaŜdej połowie obrotu
cząstki są przyspieszane w oscylującym polu
elektrycznym. Częstość drgań pola elektrycznego
musi być równa wartości częstości cyklotronowej
ω
c
=qB/M. Po kaŜdym obrocie cząstki przyśpieszają
uzyskując energię od pola elektrycznego. NaleŜy
dobrać tak chwilowe pole elektryczne tak, aby
harmoniczne pole elektryczne przyśpieszało
cząstki. Cząstki poruszają się po okręgach o
okresowo rosnących promieniach
ρ
=v/
ω
c
.
ZaleŜność promienia cyklotronowego
od energii kinetycznej cząstki
2
k
1
1
k
E = Mv /2
v =
2E /M ,
⇒
moŜemy wyrazić promień cyklotronowy
ρ
przez E
k
k
1
c
c
2E /M
v
ρ
=
=
.
ω
ω
Po kaŜdym cyklu promień cyklotronowy rośnie,
natomiast częstość kołowa jest stała.
Prędkość ruchu cząstki
w oscylującym polu elektrycznym
skierowanym wzdłuŜ osi x
Obliczymy prędkość ruchu cząstki:
(0)
x
x
0
qE
dx(t)
v (t) =
= -
cosωt + v .
dt
Mω
(0)
x
0
0
2
qE
x(t) = -
sinωt + v t + x .
Mω
Duant
metalowe pudło o kształcie połowy
opakowania tortu.
Wewnątrz duantu cząstki są
ekranowane od pola elektrycznego
Częstość cyklotronowa
ω
c
nie zaleŜy od
prędkości v
1
. Promień cyklotronowy zaleŜy
od energii kinetycznej cząstki:
c
= ω = qB/M
ω
k
c
ρ
=
2E /M / ω .
Cyklotron
Lawrance’a
1931 r.
Zmienne pole elektryczne o częstości
ω
c
.
Gdy częstość
ω
oscylatora zostanie dobrana ilekroć
cząstka znajdzie się pomiędzy duantami tylekroć
zostanie przyśpieszona.
⊗
B
Ernest Orlando Lawrence
1901-1958
nagroda Nobla w 1939 r.
W 1939 r. z 60-calowego cyklotronu w Berkley
National Laboratory wyprowadzono wiązkę
przyśpieszanych jonów (prawdopodobnie protonów
albo deuteronów). Jonizują one otaczające powietrze
powodując niebieską poświatę.
Tunel
akceleratora w
Fermilab
o średnicy ok.
2 km
CERN
Europejskie Laboratorium
Badań Jądrowych
Akceleratory w CERNie
Obwód tunelu
LHC ok. 30 km
LHC w CERNIE
CERN z lotu ptaka
Magnesy nadprzewodzące w
akceleratorach CERN
Selektor prędkości
Siła elektrostatyczna powoduje ruch
cząstki dodatnio naładowanej w lewo.
x
y
⊗
B
v
( )
L
ˆ
q
qvB
=
×
= −
F
v B
x
e
ˆ
qE
=
F
x
F
e
=qE
F
L
=qvB
q
Tylko cząstki dla których qE=qvB nie są
odchylane i poruszają się ruchem
jednostajnym. Cząstki o prędkościach
innych od v=E/B zostają zatrzymane.
L
F
Spektrometr masowy
Pole magnetyczne B
’
do
płaszczyzny ekranu
⊥
S
1
i S
2
przesłony formujące
wąską wiązkę cząstek.
W polu B
/
jony poruszają się
po okręgach o promieniach
c
v
vM
ω
qB
ρ =
=
se
le
k
to
r p
rę
d
k
o
śc
i
Spektrometr masowy
Jony wychodzące z selektora mają tę samą prędkość
v=E/B. Po opuszczeniu selektora poruszają się w po
okręgach polu magnetycznym B
/
prostopadłym do
płaszczyzny ekranu. Promień okręgu
ρ
( )
( ) (
)
c
v/ω
vM / qB'
EM / qBB'
ρ =
=
=
zaleŜy od masy M jonu. JeŜeli znamy E, q, B,B’ to
mierząc połoŜenie śladu na płycie fotograficznej
moŜemy określić masę jonu M:
M =
qBB'/E .
αρ; α =
Zastosowanie spektrometru masowego
- odkrycie izotopów pierwiastków
Odkryto dwa izotopy neonu o masach
atomowych 20 i 22 g/mol.
Zastosowania spektrometrów masowych
pozwoliło ustalić, Ŝe bardzo wiele
pierwiastków ma izotopy.
22.03.2011