Lagranżjan cząstki w polu elektromagnetycznym

𝐹⃗ = 𝑞(𝐸⃗⃗ + 𝑣⃗ × 𝐵

⃗⃗) — siła Lorentza

(1)

𝐸⃗⃗ = −∇𝜙 −

𝜕𝐴⃗

𝜕𝑡

— pole elektryczne wyrażone za pomocą potencjałów

(2)

𝐵

⃗⃗ = ∇ × 𝐴⃗ — pole magnetyczne wyrażone za pomocą potencjałów

(3)

𝐹⃗ = 𝑞 [−∇𝜙 −

𝜕𝐴⃗

𝜕𝑡

+ 𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)] — siła Lorentza wyrażona za pomocą potencjałów

(4)

𝐹

𝑘

= 𝑞 {−(∇𝜙)

k

− (

𝜕𝐴⃗

𝜕𝑡

)

𝑘

+ [𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

} — siła Lorentza rozłożona na składowe

(5)

(∇𝜙)

k

=

𝜕𝜙

𝜕𝜉

𝑘

— składowe kowariantne gradientu potencjału elektrycznego

(6)

(

𝜕𝐴⃗

𝜕𝑡

)

k

=

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝑡

— składowe kowariantne pochodnej potencjału magnetycznego po czasie

(7)

[𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

= √det 𝑔 𝜀

𝑖𝑗𝑘

𝑣

𝑖

(∇ × 𝐴⃗)

𝑗

— składowe kowariantne iloczynu wektorowego we wzorze 5

(8)

𝑣

𝑖

= 𝜉̇

𝑖

— składowe kontrawariantne prędkości

(9)

(∇ × 𝐴⃗)

𝑗

=

1

√det 𝑔

𝜀

𝑙𝑚𝑗

(

𝜕𝐴

𝑚

𝜕𝜉

𝑙

− Γ

𝑛

𝑙𝑚

𝐴

𝑛

) — składowe kontrawariantne rotacji we wzorze 8

(10)

[𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

= √det 𝑔 𝜀

𝑖𝑗𝑘

𝜉̇

𝑖

1

√det 𝑔

𝜀

𝑙𝑚𝑗

(

𝜕𝐴

𝑚

𝜕𝜉

𝑙

− Γ

𝑛

𝑙𝑚

𝐴

𝑛

) — podstawienie wzorów 9 i 10 do wzoru 8

(11)

[𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

= 𝜀

𝑖𝑗𝑘

𝜀

𝑙𝑚𝑗

𝜉̇

𝑖

(

𝜕𝐴

𝑚

𝜕𝜉

𝑙

− Γ

𝑛

𝑙𝑚

𝐴

𝑛

) — uproszczenie wzoru 11

(12)

𝜀

𝑖𝑗𝑘

𝜀

𝑙𝑚𝑗

= 𝛿

𝑖

𝑚

𝛿

𝑘

𝑙

− 𝛿

𝑖

𝑙

𝛿

𝑘

𝑚

— iloczyn symboli Leviego—Civity we wzorze 12

(13)

[𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

= (𝛿

𝑖

𝑚

𝛿

𝑘

𝑙

− 𝛿

𝑖

𝑙

𝛿

𝑘

𝑚

)𝜉̇

𝑖

(

𝜕𝐴

𝑚

𝜕𝜉

𝑙

− Γ

𝑛

𝑙𝑚

𝐴

𝑛

) — podstawienie wzoru 13 do wzoru 12

(14)

[𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

= 𝜉̇

𝑖

(

𝜕𝐴

𝑖

𝜕𝜉

𝑘

− Γ

𝑛

𝑘𝑖

𝐴

𝑛

) − 𝜉̇

𝑖

(

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝜉

𝑖

− Γ

𝑛

𝑖𝑘

𝐴

𝑛

) — uproszczenie wzoru 14 za pomocą delt

(15)

[𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

= 𝜉̇

𝑖

(

𝜕𝐴

𝑖

𝜕𝜉

𝑘

−

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝜉

𝑖

− Γ

𝑛

𝑘𝑖

𝐴

𝑛

+ Γ

𝑛

𝑖𝑘

𝐴

𝑛

) — uproszczenie wzoru 15

(16)

Γ

𝑛

𝑖𝑘

= Γ

𝑛

𝑘𝑖

— symetria symboli Christoffela

(17)

[𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

= 𝜉̇

𝑖

(

𝜕𝐴

𝑖

𝜕𝜉

𝑘

−

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝜉

𝑖

) — uproszczenie wzoru 16

(18)

𝐹

𝑘

= 𝑞 [−

𝜕𝜙

𝜕𝜉

𝑘

−

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝑡

+ 𝜉̇

𝑖

(

𝜕𝐴

𝑖

𝜕𝜉

𝑘

−

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝜉

𝑖

)] — wstawienie wzorów 6, 7 i 18 do wzoru 5

(19)

𝐹

𝑘

= 𝑞 [− (

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝑡

+ 𝜉̇

𝑖 𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝜉

𝑖

) − (

𝜕𝜙

𝜕𝜉

𝑘

− 𝜉̇

𝑖 𝜕𝐴

𝑖

𝜕𝜉

𝑘

)] — przegrupowanie wzoru 19

(20)

𝑑𝐴

𝑘

𝑑𝑡

=

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝑡

+ 𝜉̇

𝑖 𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝜉

𝑖

— pochodna zupełna potencjału magnetycznego

(21)

𝜕𝜙

𝜕𝜉

𝑘

− 𝜉̇

𝑖 𝜕𝐴

𝑖

𝜕𝜉

𝑘

=

𝜕

𝜕𝜉

𝑘

(𝜙 − 𝜉̇

𝑖

𝐴

𝑖

) — wystawienie pochodnej cząstkowej przed nawias

(22)

𝐹

𝑘

= 𝑞 [−

𝑑𝐴

𝑘

𝑑𝑡

−

𝜕

𝜕𝜉

𝑘

(𝜙 − 𝜉̇

𝑖

𝐴

𝑖

)] — wstawienie wzorów 21 i 22 do wzoru 20

(23)

𝜕

𝜕𝜉̇

𝑘

(𝜙 − 𝜉̇

𝑖

𝐴

𝑖

) = −𝐴

𝑘

— wyciągnięcie k-tej składowej kowariantnej potencjału magnetycznego

(24)

𝐹

𝑘

= 𝑞 [

𝑑

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝜉̇

𝑘

(𝜙 − 𝜉̇

𝑖

𝐴

𝑖

) −

𝜕

𝜕𝜉

𝑘

(𝜙 − 𝜉̇

𝑖

𝐴

𝑖

)] — wstawienie wzoru 24 do wzoru 23

(25)

𝐹

𝑘

= 𝑞 [

𝑑

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝜉̇

𝑘

(𝜙 − 𝑣

𝑖

𝐴

𝑖

) −

𝜕

𝜕𝜉

𝑘

(𝜙 − 𝑣

𝑖

𝐴

𝑖

)] — wstawienie definicji prędkości ze wzoru 9 do wzoru 25

(26)

𝐹

𝑘

=

𝑑

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝜉̇

𝑘

(𝑞𝜙 − 𝑞𝑣

𝑖

𝐴

𝑖

) −

𝜕

𝜕𝜉

𝑘

(𝑞𝜙 − 𝑞𝑣

𝑖

𝐴

𝑖

) — przemnożenie przez ładunek

(27)

𝐹

𝑘

=

𝑑

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝜉̇

𝑘

(𝑞𝜙 − 𝑞𝑣⃗ ⋅ 𝐴⃗) −

𝜕

𝜕𝜉

𝑘

(𝑞𝜙 − 𝑞𝑣⃗ ⋅ 𝐴⃗) — zapisanie części wzoru 27 w notacji wektorowej

(28)

𝑉 = 𝑞𝜙 − 𝑞𝑣⃗ ⋅ 𝐴⃗ — potencjał uogólniony do lagranżjanu

(29)

ℒ =

𝑚𝑣

2

2

− 𝑞𝜙 + 𝑞𝑣⃗ ⋅ 𝐴⃗ — lagranżjan cząstki w polu elektromagnetycznym

(30)