I. Optymalny wybór asortymentu produkcji

1. 1.        zmienne decyzyjne:

1. a)       wielkości produkcyjne wyrobów: x_j - wielkości produkcji j-ego wyrobu.

2. 2.        Rozwiązanie dopuszczalne - plany produkcji spełniające warunki ograniczające i warunki brzegowe.

3. 3.        Rozwiązanie optymalne - to spośród rozwiązań dopuszczalnych dla których funkcja celu przyjmuje wartość maksymalną.

4. 4.        Warunki ograniczające to np. limity środków produkcji posiadanych przez firmę potrzebne do wytworzenia produktu A.

5. 5.        Warunki brzegowe - np. możliwości firmy pozwalają na produkcję wyrobu W₁ nie większą niż 3000 szt.

6. 6.        Związki pomiędzy programem dualnym a pierwotnymi:

1. a)       w programie dualnym jest tyle zmiennych ile warunków ograniczających w programie pierwotnym (i odwrotnie)

2. b)       współczynniki funkcji celu programu pierwotnego są wyrazami wolnymi układu nierówności programu dualnego (i odwrotnie)

3. c)       macierz współczynników układu nierówności [a_ji] w programowaniu dualnym jest transpozycją .macierzy współczynników układu nierówności w PP^[1][a_ij] i (odwrotnie).

4. d)       Programem dualnym względem programu dualnego jest program pierwotny.

5. e)       Jeżeli PP funkcja celu jest max to wtedy w PD jest min i odwrotnie oraz, że konstruując PD^[2] należy zmienić kierunki nierówności na przeciwne w porównaniu z PP.

7. 7.        Twierdzenia o dualności:

1. a)       w rozwiązaniach optymalnych obu programów x* = (x₁, x₂,...,r_n) i y* = (y₁, y₂,..., y_r) wartości funkcji celu są sobie równe czyli F(x*₁, x*₂,...x*_n) = G(y*₁, y*₂,..., y*_r)

2. b)       jeżeli j_y warunek PD jest (w chociaż jednym) optymalnym rozwiązaniem tego programu spełniony z nierównością (ostro), to odpowiadająca mu j-a zmienna x_j w (dowolnym) optymalnym rozwiązaniu PP przyjmuje wartość zero(i odwrotnie)

8. 8.        PP a PD - przykład:

 

PP PD

x₁+2x₂+1,5x₃+6x₄ ≤ 900 y₁ + 2y₂ ≥ 4

2 x₁+2x₂+1,5x₃+4x₄ ≤ 120 2y₁ + 2y₂ ≥ 6

1,5y₁ + 1,5y₂ ≥ 3

6y₁ + 4y₂ ≥12

 

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0, x₄ ≥ 0 y₁ ≥ 0, y₂ ≥ 0

 

G(y) = 900 y₁ + 120y₂→max

 

 

 

Przekształcenie PP na PD

 

9. 9.        ↑ środka 1. O jednostkę spowoduje ↑ zysku ze sprzedaży.

10. 10.     Optymalna wartość i-tej zmiennej dualnej y*₁ informuje o tym, jak wysokie przyjmuje wartości funkcji celu PP przypada na wzrost wyrazu wolnego w i-tym warunku PP o jednostkę, jest to więc krańcowa produkcyjność i-tego środka produkcji.

 

f(x) = c₁x₁+c₂x₂+...+c_nx_n →max

 

 

Optymalny wybór asortymentu produkcji

 

 

 

 

 

 

II. Problem mieszanek, w przypadku którego szczególnym wariantem jest zagadnienie DIETY.

 

1. 1.        W zagadnieniu optycznego składu mieszanki podejmujący decyzję pragnie określić jakie ilości podstawowych surowców należy zakupić, aby otrzymać produkt o pożądanym składzie chemicznym przy możliwie najniższych kosztach zakupu surowców.

2. 2.        Zmienne decyzyjne - ilości produktów jakie należy zakupić: x_j - wielkość zakupu j-ego produktu żywnościowego c_j = 1,2...,n

 

f(x) = c₁x₁+c₂x₂+...+c_nx_n →min.

 

 

 

problem diety

 

 

3. 3.        Celem decydenta jest wybór takiego składu mieszanki żywieniowej, które ze wszystkich dopuszczalnych byłaby NAJTAŃSZA.

 

III. Wybór procesu technologicznego.

 

1. 1.        Obowiązuje zasada, że należy tak dobrać procesy technologiczne, by wytworzyć potrzebne ilości wyrobów przy najmniejszych kosztach i tak: ∫(x) = c₁x₁+c₂x₂+...+c_nx_n →min, gdzie zmienne decyzyjne x_ij oznaczają intensywność z jaką powinny być stosowane poszczególne procesy technologiczne.

2. 2.        Wariant wyboru procesu technologicznego stosowany jest w odniesieniu do PROBLEMU ROZKROJU (np. z pewnego surowca należy wykroić określone elementy (np. w składy drewna wyciąć belki o pewnej długości)

3. 3.        Sposoby rozkroju to proces technologiczny przez intensywność danego procesu (sposobu rozkroju) rozumie się liczbę jednostek surowca rozkrojonych danym sposobem natomiast koszt jednostkowy jest utożsamiany z wielkością odpadu jaki powstaje z surowca określonych elementów.

4. 4.        Program dualny stosuje się w przypadku gdy w programie pierwotnym dwa warunki ograniczające i cztery zmienne decyzyjne, gdyż w programie dualnym otrzymamy dwie zmienne decyzyjne i cztery warunki ograniczające, a więc będziemy mogli obliczyć zadanie metodą geometryczną.

5. 5.        Funkcja celu jest min. gdy jest stała wielkość sprzedaży produkcji przy dążeniu do min. kosztów.

6. 6.        Funkcja celu jest max. gdy są stałe koszty a sprzedaż i produkcja największa.

IV. Zagadnienia transportowe.

1. 1.        Formuła ogólnego modelu - R dostawców pewnego jednorodnego towaru z których każdy dysponuje

Ai (i = 1, ..., R) jednostkami tego towaru, zaopatruje N odbiorców. Zapotrzebowanie każdego z odbiorców

wynosi Bj jednostek (J = 1, ...n). Każdy z dostawców może zaopatrywać dowolnego odbiorcę i odwrotnie -

każdy odbiorca może otrzymać towar od dowolnego odbiorcy. Dane są ponadto jednostkowe koszty

transportu towaru i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy.

2. 2.        Koszty - całkowity koszt transportu jest sumą kosztów transportu na poszczególnych trasach.

3. 3.        Cel: należy opracować plan przewozu towaru pomiędzy dostawcami a odbiorcami tak aby łączne koszty transportu były możliwie najniższe. Plan taki ma określić ILE TOWARU powinien dostarczyć i-ty dostawca j-emu odbiorcy

4. 4.        Zmienne decyzyjne: ilość towaru z jaką i-ty dostawca powinien dostarczyć j-emu odbiorcy

X_ij (i=1,...,R; j = 1, ...N)

5. _5.         Model zagadnień transportowych ma rozwiązanie, gdy: ∑A_i ≥ ∑ B_j

∑A_i - łączna podaż dostawców ∑ B_j - łączne zapotrzebowanie odbiorców

 

1. _a)         zamknięte zagadnienie transportowe, gdy: ∑A_i = ∑ B_j

2. b)       otwarte zagadnienie transportowe, gdy warunek jest spełniony z nierównością (ostro) tj.: ∑A_i > ∑ B_j

 

6. 6.        Model zagadnienia transportowego zamkniętego:

a) ∑x_ij = A_i (i = 1,2,...R) - warunki dla dostawców, tj. i-ty dostawca ma dostarczyć wszystkim odbiorcom tyle towaru ile posiada; warunków tych jest tyle ilu dostawców, czyli R)

 

 

b) warunki dla odbiorców - ∑xij = Bj (j = 1,2...,N) y - ty odbiorców ma otrzymać od wszystkich dostawców tyle towaru ile potrzebuje. Funkcja celu min. wszystkich łącznych kosztów transportu od wszystkich dostawców do wszystkich odbiorców.

 

D1	50 40 30	70
D2	30 50 70	80
Bj	40 60 50

 

f(x) =50x₁ + 40 x₂ + 30 x₃ +30 x₂₁ +50 x₂₂ +70 x₂₃→min.

 

Di = dostawcy

 

 

 

Dodatkowe zagadnienia

 

1. 1.        Przekształcić model z postaci kanonicznej na standardową

Standardowa - znak „=”

Kanoniczna - znak „<, >”

 

•        Zmienne swobodne, tj. Si -

•        Zmienne sztuczne tj. Ai - dane matematyczne, które mają zapewnić poprawność matematyczną modelu.

9x₁ + 7 x₂ + 13 x₃ +s₁ = 2000

 

 

zmienna swobodna wyraz wolny - oznacza max. zasób surowca

 

 

niewykorzystany

zapas surowca

^[1] PP - program pierwotny

 

^[2] PD - program dualny

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.

---