POLITECHNIKA WARSZAWSKA

WYDZIAŁ GEODEZJI I KARTOGRAFII

INSTYTUT GEODEZJI WYŻSZEJ I ASTRONOMII GEODEZYJNEJ

PRACA DYPLOMOWA - MAGISTERSKA

Analiza odstępów geoidy regularyzowanej od geoidy nieregularyzowanej na obszarze geodezyjnego pola testowego

w Grybowie

Autor: Bartłomiej Kowalik

Specjalność: Geodezyjne Pomiary Podstawowe

Opiekun pracy: prof. dr hab. inż. Marcin Barlik

Warszawa 2003

Szczególne podziękowania zechcą przyjąć:

prof. dr hab. inż. Marcin Barlik - za wszelką pomoc w

powstaniu tej pracy,

prof. dr hab. inż. Jan Kryński - za wnikliwe i cenne uwagi,

oraz

Współpracownicy z IGiK-u za cierpliwość

i wyrozumiałość.

SPIS TREŚCI

1. Wstęp

Geodezja, czyli nauka o kształcie i rozmiarach Ziemi, powstała już w starożytności. Jej początek związany jest z działalnością Eratostenesa, który przyjął sferyczny kształt Ziemi i wyznaczył jej promień (co ciekawe, zrobił to z dość dużą dokładnością). Rozwój geodezji możemy podzielić na cztery główne etapy [Czarnecki,1996]:

1. Okres prehistoryczny - okres „wyobrażeń ludzi o kształcie Ziemi”;

2. Okres geodezji geometrycznej - od VI w. p.n.e. do XVII w. n.e. - w tym czasie zainteresowania badaczy skupiały się na poznaniu rozmiarów Ziemi;

3. Okres geodezji fizycznej - od Newtona do połowy XX w. Odkrycie grawitacji i siły odśrodkowej sprawiło, że metody geodezji dynamicznej były podstawowym narzędziem badania figury Ziemi;

4. Okres geodezji współczesnej - wyróżnia się wykorzystaniem komputerów, telekomunikacji, laserów i sztucznych satelitów Ziemi.

W czasach rozwoju geodezji dynamicznej duże znaczenie zyskały pomiary grawimetryczne, dzięki którym precyzyjnie można było określić przebieg geoidy - powierzchni, którą geodeci utożsamiają z powierzchnią oddającą kształt Ziemi. Jednakże do wyznaczenia przebiegu geoidy z pomiarów grawimetrycznych stosuje się formułę Stokesa, która wymaga, by spełnione były pewne założenia co do rozkładu mas Ziemi. A więc metoda Stokesa zniekształca nam prawdziwe warunki, wprowadzając szereg założeń. Aby ją zastosować, musi być zachowana stała masa Ziemi, stałe położenie środka ciężkości Planety a żadne masy nie mogą znajdować się ponad geoidą. Możemy to osiągnąć tylko wtedy, gdy zregularyzujemy geoidę, czyli „wepchniemy” znajdujące się ponad geoidą masy do wnętrza Ziemi. Możemy zrobić to kilkoma metodami, np. za pomocą redukcji Faye'a lub redukcji kondensacyjnej. Taka operacja na pewno spowoduje zniekształcenie geoidy. Jedyną redukcją nie powodującą zmiany potencjału na powierzchni geoidy jest redukcja Rudzkiego, ale nie jest ona powszechnie stosowana [Barlik i in., 1992]. Powszechnie wiadomo, że zniekształcenie geoidy na nizinach będzie niewielkie, natomiast w terenach górzystych i podgórskich większe.

Celem niniejszej pracy jest zbadanie przebiegu geoidy nieregularyzowanej w stosunku do geoidy grawimetrycznej regularyzownej w obszarach podgórskich, do jakich zaliczamy okolice Grybowa. Odstępy geoidy nieregularyzowanej na takim terenie mogą być znacząco różne od anomalii wysokości i odstępów geoidy regularyzowanej. Postawienie takiej tezy zwraca uwagę na problem odpowiedniej redukcji pomierzonych wartości przy wyznaczaniu tzw. „geoidy centymetrowej” na obszarach górskich i podgórskich. W opracowaniu przedstawione są sposoby określenia różnicy pomiędzy stosowanymi w geodezji powierzchniami odniesienia.

Praca ta powstała na podstawie metodyki obliczania przebiegu geoidy przy wykorzystaniu wzorów wyprowadzonych przez trzech radzieckich uczonych w latach trzydziestych ubiegłego wieku.

2. Wiadomości wstępne

2.1. Opracowanie wzorów na odstęp geoidy nieregularyzowanej od elipsoidy

Rozpatrzmy problem wyznaczenia geoidy, pokrywającej się na oceanach ze średnim poziomem wody (czyli powierzchni przechodzącej przez początki odczytów wysokości na mareografach) i następnie przedłużonej pod kontynentami, prawie wszędzie niżej od fizycznej powierzchni Ziemi. Zadanie to można rozwiązać sprowadzając wartości przyspieszenia siły ciężkości do poziomu morza za pomocą redukcji grawimetrycznych i do przekształceń zgodnie z teorią Stokesa.

Żaden z problemów teoretycznej i praktycznej grawimetrii nie przyciągał takiej uwagi, jak zagadnienie redukcji wartości przyspieszenia siły ciężkości do poziomu morza. Geodezja, geologia i geofizyka, każda z tych nauk na problem redukcji siły ciężkości patrzy nieco inaczej. W związku z tym, przedstawiono znaczną ilość metod redukcji, a każda z nich ma swoje wady i zalety, które są bardziej lub mniej istotne w warunkach tego lub innego zadania. Ze względu na temat pracy interesować nas będą tylko te redukcje, które w jak najmniejszym stopniu deformują geoidę. Geodezja ma bowiem na uwadze wyłącznie te zagadnienia, które są związane z poznawaniem kształtu i rozmiarów Ziemi. W takim przypadku problem redukcji siły ciężkości jest częścią teorii Stokesa.

Możliwe są dwie drogi wyznaczenia figury Ziemi [Mołodeński i in., 1961]:

• uważana niedawno za jedyną, bierze swój początek w teorii Stokesa. Charakteryzuje się tym, że warunki zadania są znacznie uproszczone. Rozpatrywana jest Ziemia, w której masy leżące ponad geoidą są przemieszczone na powierzchnię geoidy lub pod nią. Wówczas zewnątrz geoidy potencjał siły ciężkości jest funkcją regularną. W ten sposób obiektem badania jest Ziemia regularyzowana. Następnie bada się, jaki jest związek redukowanych wartości przyspieszenia siły ciężkości z kształtem geoidy.

• w ogólnych zarysach wytyczona przez Jeffreysa w 1931-1932 roku i rozwinięta w pracach radzieckich geodetów, charakteryzuje się tym, że rozpatrywana jest geoida nieregularyzowana. Przekonamy się, że najtrudniejszym zadaniem będzie tu redukcja siły ciężkości na geoidę. Liczne metody określenia geoidy prowadzą do wyznaczenia równań do rozwiązania tego zadania. W związku z tym, wymagane jest określenie sposobu redukcji pomierzonych wartości siły ciężkości, tak by uzyskać poszukiwane rozwiązanie. Badanie dokładności rozwiązań wiąże się z problemem odpowiedniej redukcji pomierzonych wartości.

Pełne rozwiązania problemu zostały przedstawione przez Moisiejewa, Małkina i Mołodeńskiego.

2.1.1. Podejście Moisiejewa

N.D. Moisiejew jako pierwszy postawił zadanie określenia kształtu geoidy nieregularyzowanej. Poniżej podajemy ten sposób wyznaczenia [Mołodeński i in., 1961].

Rozważmy fizyczną powierzchnię Ziemi σ, geoidę Γ, i powierzchnię odniesienia (elipsoidę) S. Niech powierzchnia geoidy rozgranicza masy Ziemi na zewnętrzne względem tej powierzchni i wewnętrzne. Elipsoidę dla uproszczenia możemy traktować jako sferę, której przebieg jest nieznacznie różny od geoidy. Na rysunku nr 1 przedstawiono rozmieszczenie poszczególnych mas, których wpływ na położenie geoidy będzie przedmiotem badań.

Rys. 1. Położenie badanych mas względem podstawowych powierzchni geodezyjnych

Przypuśćmy, że na powierzchni geoidy znane są oddzielnie wielkości pionowych gradientów potencjału przyciągania - dla mas leżących ponad geoidą: (m_e - masa zewnętrzna, V_e - potencjał grawitacyjny przez nią wytworzony, g_e - gradient pionowy tego potencjału) i od mas znajdujących się wewnątrz geoidy (m_i -masa wewnętrzna., V_i - potencjał grawitacyjny przez nie wytworzony, g_i - gradient pionowy tego potencjału). Ponadto masa m_i wewnątrz geoidy wytwarza potencjał normalny U. Te oznaczenia będą używane w dalszej części pracy. Wówczas, z podziału rozwiązania problemu Neumanna na dwie części można określić wpływ przyciągania mas zewnętrznych i osobno wewnętrznych mas, a więc i potencjał siły ciężkości Ziemi. Problem Neumanna to inaczej drugie zagadnienie graniczne. Polega na poszukiwaniu funkcji harmonicznej w pewnym obszarze przy znajomości pochodnych tej funkcji na zamkniętej powierzchni gładkiej S należącej do tego obszaru [Heiskanen i Moritz, 1981]. Później, według formuły Brunsa, łatwo obliczyć wysokość ζ geoidy nad elipsoidą.

W ten sposób Moisiejew doprowadził problem do przedstawienia g_e i g_i poprzez ζ oraz poprzez anomalie Preya ( Δ^P ) i Bouguera ( Δ^B ).

Anomalia Preya jest to różnica między wartością rzeczywistej siły ciężkości na powierzchni geoidy i wartością normalnej siły ciężkości na elipsoidzie.

Anomalia Bouguera przedstawia różnicę między wartością zredukowanej wartości rzeczywistej siły ciężkości na powierzchni geoidy, po usunięciu mas zewnętrznych, a wartością normalnej siły ciężkości na elipsoidzie [Moritz, 1980].

Jeśli „usuniemy” masy zewnętrzne przed zastosowaniem redukcji Bouguera, wówczas powierzchnia geoidy nie zostanie zniekształcona. Wtedy różnicę Δ^P - Δ^B możemy przedstawić jako pionową składową przyciągania mas na geoidzie, rozmieszczonych zewnątrz powierzchni geoidy.

Moisiejew przedstawił anomalię Bouguera w następujący sposób:

, (2.1)

czyli

, (2.2)

gdzie:

U - potencjał normalnej siły ciężkości. Jego pochodne powinny być określone na powierzchni geoidy Γ i elipsoidzie Σ.

σ - gęstość płyty, czyli walca płaskiego zawierającego masy między geoidą a fizyczną powierzchnią Ziemi. Zakłada się, że jest ona ciągła, stała i równa np. średniej gęstości powierzchniowych warstw Ziemi.

Ostatni składnik tego równania wyraża przyciąganie kołowego walca płaskiego, którego promień jest znacznie większy niż wysokość, a punkt przyciągany leży w środku podstawy. Poniżej podane jest wyprowadzenie tego wzoru [Barlik,1992].

Potencjał warstwy pojedynczej ma postać:

, (2.3)

gdzie:

μ - gęstość powierzchniowa pojedynczej warstwy,

dS - elementarna cząstka powierzchni danej warstwy,

r - odległość pomiędzy punktem przyciąganym a elementarną cząstką powierzchni danej warstwy.

Następnie rozpatrzymy jednorodną warstwę pojedynczą na powierzchni sferycznej o promieniu R, a punkt A, w którym bada się potencjał, leży poza sferą, natomiast punkt B wewnątrz niej. Początek układu współrzędnych znajduje się w środku sfery. Punkty leżący na warstwie ma współrzędne sferyczne θ - odległość biegunowa i λ - długość. Osią biegunową układu jest prosta OA. Sytuacja ta jest pokazana na rysunku nr 2.

Rys. 2. Jednorodna warstwa pojedyncza

Możemy wyprowadzić następujące wyrażenia:

, (2.4)

. (2.5)

Potencjał w punkcie A wyniesie więc:

. (2.6)

Całkowanie po λ prowadzi do wyrażenia:

. (2.7)

Wykorzystując równość:

, (2.8)

dochodzimy do wzorów:

, (2.9)

. (2.10)

Drugi z tych wzorów oznacza potencjał jednorodnej warstwy kulistej wytworzony wewnątrz tej warstwy.

Ponieważ każdy element charakterystyki pola siły ciężkości możemy rozwinąć w szereg wielomianów Legendre'a, więc i potencjał wytwarzany przez warstwę pojedynczą wyrazi się wzorem:

, (2.11)

w którym:

ζ_n - funkcja sferyczna stopnia n-tego w rozłożeniu wysokości geoidy nad elipsoidą normalną,

ρ - promień wodzący zewnętrznego punktu w jednostkach promienia sfery.

Pochodna potencjału przyciągania warstwy kulistej δT/δρ, przy r=1, a więc na geoidzie, wyrazi się wzorem:

. (2.12)

W ten sposób otrzymamy wyrażenie na anomalię Bouguera na geoidzie o postaci:

. (2.13)

Ostatni składnik równania wyraża przyciąganie mas pomiędzy powierzchnią geoidy i elipsoidy, które zostały skondensowane do pojedynczej warstwy o gęstości powierzchniowej ζσ.

Jeżeli nie uwzględniać błędów wynikających z różnic σ gęstości mas położonych między geoidą a elipsoidą, to wartość wyrażenia dla sfery i elipsoidy jest rzędu (ζ/R)², a więc taka, jak i wielu innych wyrażeń (formuła Brunsa, warunki graniczne, itp.) [Heiskanen i Moritz, 1981].

Anomalię Preya na geoidzie możemy przedstawić następująco:

. (2.14)

Pionowy gradient g_e wywołany przez masy leżące ponad geoidą na powierzchni elipsoidy wynosi:

. (2.15)

Ponadto można wyprowadzić następujące równania:

, (2.16)

, (2.17)

. (2.18)

Ostatni składnik równania wyraża więc efekt przyciągania sferycznej warstwy Bouguera. Wykorzystując powyższe wzory, możemy wyprowadzić wzór na gradient potencjału siły ciężkości wywołany na geoidzie przez masy zewnętrzne:

. (2.19)

Pionowy gradient g_i, wywołany masami leżącymi pomiędzy geoidą a elipsoidą, na elipsoidzie wynosi:

,

. (2.20)

Uwzględniając małą wielkość ζ można wstawić:

, (2.21)

a wtedy otrzymamy:

(2.22)

Zadaniem naszym jest wyznaczenie potencjałów V_e i V_i, których użyjemy w formule Brunsa do wyznaczenia wysokości geoidy [Pick i in. 1973].

Przedstawmy teraz V - potencjał na powierzchni sfery jako nieskończony szereg funkcji sferycznych, czyli:

(2.23)

Zatem zewnątrz sfery prawdziwe jest równanie:

, (2.24)

a wewnątrz:

. (2.25)

Dlatego pochodne tych potencjałów po promieniu sfery jednostkowej wyrażą się jako:

, (2.26)

(2.27)

W następstwie rozwiązania granicznego zadania Neumanna zewnątrz sfery otrzymamy wzór:

. (2.28)

Natomiast rozwiązanie zadania Neumanna wewnątrz sfery to:

. (2.29)

Na podstawie teorii Brunsa z dwóch powyższych wzorów otrzymamy odstęp geoidy nieregularyzowanej od elipsoidy:

. (2.30)

Stąd dla n=0 otrzymuje się

, (2.31)

a dla n

. (2.32)

W wybranym przypadku koniecznym jest, aby był spełniony dodatkowy warunek - by funkcja pierwszego rzędu w rozłożeniu anomalii dążyła do zera. Będzie to możliwe, gdy osie obrotu elipsoidy i geoidy będą się pokrywać i gdy prędkość obrotowa obydwu brył będzie taka sama. Warunek ten jest spełniony tylko wtedy, gdy prawdziwe jest poniższe równanie:

. (2.33)

Wtedy przy n
mamy:

. (2.34)

Sumując ζ_n od n=0 do n=∞ otrzymujemy poprawne rozwiązanie zagadnienia Moisiejewa:

, (2.35)

gdzie

. (2.36)

Aby uzyskać sumę szeregu
należy scałkować następujące wyrażenie:

, (2.37)

w granicach od x=0 do x=1. Ostatecznie otrzymamy następujący wzór:

(2.38)

2.1.2. Podejście Małkina

U podstaw dowodu Małkina leży znane twierdzenie Chasles'a. Według założeń tego twierdzenia geoida dzieli, jak w poprzednim rozdziale, masy Ziemi na wewnętrzne i zewnętrzne. Potencjał wytworzony zewnątrz geoidy przez wszystkie masy wewnętrzne możemy określić wg reguły Chasles'a znając wartości przyspieszenia siły ciężkości na powierzchni geoidy. Dodając potencjał od wszystkich mas zewnętrznych otrzymamy w wyniku potencjał od wszystkich mas Ziemi. Następnie, odejmując wartości normalne przyspieszenia siły ciężkości, przechodzimy do anomalii siły ciężkości i do anomalii potencjału. Wynik otrzymujemy w odniesieniu do geoidy, a po przekształceniach i uproszczeniach- w odniesieniu do sfery [Pick i in.,1973].

Rozważmy Ziemię jako ciało otoczone powierzchnią σ, obracającą się wokół stałej osi przechodzącej przez środek masy ze stałą prędkością kątową ω. Podstawowa powierzchnia ekwipotencjalna - geoida Γ znajduje się wewnątrz tego ciała. Geoida dzieli zatem to ciało na część zewnętrzną i wewnętrzną (τ_e, τ_i).

Potencjał siły ciężkości będzie więc zdefiniowany na geoidzie jako :

, (2.39)

gdzie V_e i V_i to potencjał grawitacyjny zewnętrznych i wewnętrznych mas.

Układ współrzędnych został tak dobrany, by jego początek był środkiem masy, a oś OZ był osią obrotu. Według teorii Chaslesa dla zewnętrznego punktu należącego do obracającego się ciała można wyprowadzić równanie:

. (2.40)

Załóżmy, że elipsoida ekwipotencjalna S o potencjale U obraca się wokół tej samej osi z tą samą prędkością kątową, a środek jej masy pokrywa się ze środkiem masy Ziemi. Ponadto odległość ζ pomiędzy powierzchnią S a Γ jest mała w stosunku do promienia krzywizny powierzchni S. Sytuację ta jest przedstawiona na rysunku nr 3.

Rys. 3. Wzajemne położenie powierzchni elipsoidy S i geoidy Γ

Potencjał normalny na elipsoidzie wyraża się zatem wzorem:

, (2.41)

gdzie ρ jest odległością punktu na powierzchni S od bieguna P (czyli punktu, w którym obliczamy odstęp geoidy od elipsoidy) a ν to kąt między normalną do powierzchni S a płaszczyzną równika.

Połączywszy oba wzory uzyskujemy z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu:

, (2.42)

bo:

, (2.43)

. (2.44)

Trzeci wyraz całki możemy zapisać jako:

. (2.45)

Ponadto, dla sfery istnieje równość:

. (2.46)

Dlatego istnieje następująca zależność:

. (2.47)

Gdy W₀=U₀ oraz, gdy żadne masy nie wystają ponad geoidę, wzór ten będzie wyrażał formułę Stokesa.

A zatem wynik w myśl oznaczeń Moisiejewa przedstawia się następująco [Mołodeński i in., 1961]:

, (2.48)

gdzie:

ζ_e - przesunięcie powierzchni poziomej z powodu przyciągania mas znajdujących się poza geoidą.

Przechodząc do sferycznych funkcji otrzymujemy relację:

, (2.49)

albo

. (2.50)

Widzimy, że funkcja sferyczna pierwszego rzędu musi spełniać warunek:

. (2.51)

Oprócz tego prawdziwe jest następujące wyrażenie:

. (2.52)

Przy n≠1 mamy:

, (2.53)

albo

. (2.54)

Sumując wszystkie ζ_n od n=0 do n=∞ otrzymamy:

. (2.55)

W celu porównania wzorów Moisiejewa i Małkina należy wprowadzić związek między wielkościami ζ_e- używanym przez Małkina, a Δ^B występującym we wzorach Moisiejewa. Poza tym Małkin za znane uważa, oprócz anomalii Preya, także potencjał pochodzący od mas zewnętrznych, a Moisiejew - pionowy gradient Δ^P-Δ^B tego potencjału na powierzchni sfery [Mołodeński i in., 1961].

Rozwiązując wewnętrzne zadanie Neumanna przy znanych wartościach Δ^P-Δ^B
i korzystając z :

, (2.56)

otrzymujemy zależność:

dla n≠0. (2.57)

To równanie, po wyłączeniu (ζ_e)_n można doprowadzić do następującego wzoru:

, (2.58)

co dokładnie odpowiada wynikowi otrzymanemu przez Moisiejewa.

Ostatni wzór, po wyłączeniu Δ^P możemy zapisać tak:

, (2.59)

albo sumując po wszystkich wartościach n (z wyjątkiem n=1), otrzymujemy:

. (2.60)

To rozwiązanie można określić inaczej poprzez następujące operacje:

1. Usunięcie wszystkich mas leżących poza geoidą. W tym celu, do zmierzonych wartości siły ciężkości wprowadzamy kompletną poprawkę Bouguera (z uwzględnieniem rzeźby całej Ziemi). Pamiętamy, że redukowanie siły ciężkości do powierzchni geoidy należy przeprowadzić z uwzględnieniem anomalii pionowego gradientu siły ciężkości. W ten sposób otrzymamy -Δ^B,

2. Siłę ciężkości redukujemy na zdeformowaną geoidę poprzez wprowadzenie wyrażenia
   ,

3. Za pomocą anomalii Bouguera, które obliczyliśmy na zdeformowanej geoidzie, wyznaczamy wysokości tej geoidy wg wzoru Stokesa,

4. Następnie obliczamy poprawkę (ζ_e) - (ζ_e)₁ ze względu na deformację geoidy w wyniku usunięcia zewnętrznych mas (przejście od normalnej do rzeczywistej Ziemi).

2.1.3. Podejście Mołodeńskiego

Podstawowe wyrażenie na odstęp geoidy nieregularyzowanej

, (2.34)

przy pomocy poniższego równania

dla n≠0, (2.57)

łatwo doprowadzić do następującej postaci [Mołodeński,1936]:

. (2.61)

Sumując wszystkie ζ_n od 0 do ∞ otrzymamy:

, (2.62)

gdzie

, (2.63)

a

. (2.64)

Wzór:

(2.65)

różni się tym od założeń teorii Stokesa, że zamiast anomalii Faye'a występuje w nim anomalia:

. (2.66)

Jeśli tę anomalię można wyznaczyć dokładnie, to wysokość geoidy wyraża się wzorem:

. (2.67)

Jednakże wielkości Δ^P i Δ^B nie uda się otrzymać bezpośrednio na geoidzie, dlatego należy wyznaczać je przez pomiar przyspieszenia siły ciężkości na fizycznej powierzchni Ziemi.

Określmy te wielkości, a mianowicie:

, (2.68)

, (2.69)

gdzie g_i - wartość przyspieszenia siły ciężkości na geoidzie w wyniku oddziaływania mas wewnętrznych, γ - wartość normalnej siły ciężkości na danej powierzchni, δg - radialna składowa przyciągania zewnętrznych mas w badanym punkcie na geoidzie.

Ponieważ

, (2.70)

a ze wzoru Brunsa otrzymamy:

, (2.71)

gdzie ρ_m i σ_m - średni promień krzywizny linii pionu i gęstość przeciętna na odcinku H od powierzchni Ziemi do geoidy, to anomalię tę możemy określić w myśl wzoru:

. (2.72)

Anomalia ta jest wtedy bliska anomalii Faye'a, jeżeli anomalia średniej krzywizny linii pionu jest mała, również poprawka topograficzna jest zaniedbywalna i mały człon
. Najtrudniejszym zadaniem jest obliczenie wpływu anomalii krzywizny linii pionu.

Poprzez różniczkowanie wzoru

(2.73)

otrzymujemy wzór analogiczny do wzorów Vening - Meinesza, a mianowicie:

, (2.74)

. (2.74a)

2.1.4. Porównanie trzech metod rozwiązania

Wzory Moisiejewa, Małkina i Mołodeńskiego prowadzą do zależności między funkcjami sferycznymi [Mołodeński i in., 1961]:

(2.34)

Bazując na wzorze

dla n≠0, (2.57)

wyprowadzić można następującą formułę:

. (2.75)

Wprowadźmy wielkości : (Δ_B^P)^C - przyspieszenie spowodowane przyciąganiem skondensowanych mas zewnętrznych, (ζ_e)^C - przemieszczenie poziomej powierzchni spowodowane skondensowaniem mas zewnętrznych. Oczywistym jest, że składnik harmoniczny wynosi [Mołodeński, 1936]:

. (2.76)

Przekształcamy ζ_n za pomocą wyżej podanych wzorów i otrzymujemy następujące wyrażenie:

(2.77)

Sumując wszystkie wartości ζ_n od n=0 do n=∞ (ζ₁=0), otrzymujemy po przejściu do postaci całkowej:

(2.78)

Według wzoru Brunsa istnieje zależność:

, (2.79)

gdzie:

Δg₀ -jest to anomalia wolnopowietrzna, obliczona dla normalnej wartości składowej pionowej gradientu siły ciężkości,

- to anomalna część gradientu pionowej siły ciężkości.

Po złożeniu dwóch poprzednich wyrazów mamy:

(2.80)

Jeśli obliczenia nasze przeprowadzamy na sferze jednostkowej, to wzór ten przekształcamy na następujący :

(2.81)

Po zastosowaniu funkcji Helmerta w miejscu funkcji Stokesa (patrz rozdział 2.2) otrzymamy równanie:

(2.82)

To równanie może posłużyć do wyznaczenia odstępu geoidy nieregularyzowanej od elipsoidy.

Fizyczną interpretacją tego wzoru jest zastosowanie następujących operacji:

1. Do anomalii Δg₀ wprowadzana jest poprawka
   ze względu na anomalię pionowego gradientu siły ciężkości i poprawka Δ_B^P - (Δ_B^P)^C jako wpływ kondensacji zewnętrznych mas,

2. Siła ciężkości zostaje zredukowana do powierzchni geoidy zdeformowanej w rezultacie kondensacji powierzchniowych mas przez dodanie członu (2γ/R)*(ζ_e - ζ_e^C),

3. Z poprawionymi według powyższych operacji anomaliami wyznaczamy ze wzoru Stokesa wysokość geoidy,

4. Do końcowego wyniku wprowadzamy poprawkę uwzględniającą wpływ kondensacji zewnętrznych mas [ζ_e - ζ_e^C - (ζ_e - ζ_e^C)₁].

2.2. Wyznaczenie odstępu geoidy nieregularyzowanej od elipsoidy

W celu otrzymania odstępów geoidy nieregularyzowanej od geoidy regularyzowanej musimy policzyć odstęp geoidy regularyzowanej od elipsoidy, czyli N.

W przypadku geoidy regularyzowanej jest spełnione podstawowe założenie [Czarnecki,1996]: potencjał zakłócający na powierzchni geoidy i w przestrzeni zewnętrznej jest funkcją harmoniczną tj. spełnione jest równanie Laplace'a ΔT=0. Możemy przyjąć takie założenie jedynie wtedy, gdy żadne masy nie będą się znajdowały ponad geoidą. Spełnienie tego warunku wymaga wprowadzenia takich redukcji przyspieszenia g, obserwowanego na fizycznej powierzchni Ziemi, aby całkowita masa ciała znajdującego się wewnątrz geoidy pozostawała po redukcji równa całkowitej masie Ziemi oraz masie elipsoidy ekwipotencjalnej. Ponadto środek elipsoidy umieszczony jest w środku mas Ziemi, zaś osie głównych momentów bezwładności obu brył pokrywają się. Tak jak w przypadku geoidy nieregularyzowanej stosujemy tu przybliżenie podstawowego warunku brzegowego geodezji fizycznej, czyli:

. (2.83)

Uwzględniając przybliżenie sferyczne tego równania i zaniedbując wyrazy rzędu spłaszczenia elipsoidy otrzymamy [Heiskanen i Moritz, 1981]:

, (2.84)

gdzie:

R- promień kuli o tej samej objętości co elipsoida ekwipotencjalna.

Następnie wyznaczamy pochodną
występującą w tym równaniu uwzględniając, że na geoidzie r=R. Otrzymujemy przy tym:

. (2.85)

Po podstawieniu tego wyrażenia do podstawowego warunku brzegowego i po uwzględnieniu rozwinięcia potencjału zakłócającego w szereg harmonicznych sferycznych otrzymamy następujący wzór:

. (2.86)

Ponieważ T_n w tym wzorze możemy wyrazić jako

, (2.87)

wobec tego Δg przedstawia się następująco:

, (2.88)

przy czym współczynniki κJ_nm i K_nm możemy wyznaczyć według wzorów:

, (2.89)

, (2.90)

gdzie:

J_nm=J_nm-J_n

δ=2 dla m=0 lub δ=1 dla m≠0

dσ - to element sfery jednostkowej na której przeprowadzamy całkowanie anomalii.

Wartość anomalii przypisanej do dσ wynosi Δg(υ,λ). Następnie przedstawiamy anomalię grawimetryczną w formie szeregu powierzchniowych harmonicznych sferycznych:

. (2.91)

Dalej możemy przedstawić potencjał zakłócający jako:

. (2.92)

Ostatni wzór na Δg po uwzględnieniu wzorów na współczynniki κJ_nm i K_nm można przekształcić do postaci :

, (2.93)

gdzie:

Δg₀(ν',λ') - oznacza anomalię grawimetryczną przyporządkowaną elementowi dσ

ψ - to odległość sferyczna punktu (υ',λ') od rozpatrywanego punktu (υ,λ).

Uwzględniając to we wzorze na potencjał zakłócający otrzymamy równanie [Czarnecki, 1996]:

. (2.94)

Wyrażenie w nawiasie nosi nazwę funkcji Stokesa S(ψ). Ostatecznie potencjał zakłócający wyrazimy wzorem:

. (2.95)

Jeśli wyrażenie to użyjemy we wzorze Brunsa, to otrzymamy wzór przedstawiający wysokość geoidy nad elipsoidą ekwipotencjalną poprzez anomalie grawimetryczne określone na całej Ziemi, a mianowicie:

, (2.96)

gdzie Δg₀ anomalia wolnopowietrzna. Przy jej określaniu zastosowano normalny gradient przyspieszenia siły ciężkości.

Element jednostkowy powierzchni sfery jednostkowej w układzie biegunowym [gdzie biegunem jest punkt (υ',λ')] można wyrazić jako:

. (2.97)

Rysunek nr 4 przedstawia element powierzchni dS w układzie biegunowym, gdzie biegunem jest punkt P, w którym obliczamy wpływ anomalii z obszaru dS na odstęp geoidy.

Rys. 4. Układ biegunowy na sferze aproksymującej powierzchnię geoidy

Po wprowadzeniu tego równania do wzoru Stokesa otrzymamy:

. (2.98)

Analizując przebieg funkcji Stokesa S(ψ) zauważymy, że w punkcie P osiąga ona wartość nieskończoną. Uniemożliwia to praktyczne zastosowanie wzoru Stokesa w podanej postaci do wyznaczania wysokości geoidy. Możemy się pozbyć łatwo tej wady funkcji Stokesa S(ψ), zastępując ją funkcją o znacznie korzystniejszym przebiegu, czyli:

. (2.99)

Wzór Stokesa możemy teraz napisać w ostatecznej postaci:

(2.100)

A jeżeli dysponujemy anomaliami grawimetrycznymi tylko z ograniczonego obszaru, wówczas wzór na odstęp geoidy od elipsoidy możemy zapisać w następujący sposób:

(2.101)

Jeśli natomiast używamy anomalii grawimetrycznych obliczanych z użyciem rzeczywistego gradientu przyspieszenia siły ciężkości (tak jak jest w naszym przypadku), to otrzymamy następujący wzór:

(2.102)

Równość ta została użyta w eksperymencie do obliczenia odstępu geoidy regularyzowanej od elipsoidy, wywołanego wpływem anomalii grawitacyjnych na obszarze położonym w najbliższym otoczeniu danego punktu. W naszym przypadku jest to obszar kilkudziesięciu kilometrów kwadratowych w okolicach Grybowa pod Nowym Sączem.

2.3. Odstęp geoidy regularyzowanej od nieregularyzowanej

Ponieważ odstęp geoidy regularyzowanej N oraz odstęp geoidy nieregularyzowanej ζ definiowany jest od tej samej powierzchni, czyli elipsoidy ekwipotencjalnej, to odstęp geoidy regularyzowanej od nieregularyzowanej możemy łatwo policzyć jako różnicę obu wyrażeń:

(2.103)

Zatem wzór użyty do otrzymania odstępów możemy zapisać w następujący sposób :

(2.104)

Widzimy, że wzór ten w dużym stopniu bazuje na składnikach będących sumami szeregów harmonicznych sferycznych. A ponieważ eksperyment jest oparty na danych o charakterze dyskretnym i interesują nas wyłącznie wartości dyskretne, zatem wyrażenie to zostało zmodyfikowane w następujący sposób:

1. Zamiast stosowanej przez Moisiejewa metody kondensacji mas zewnętrznych zastosowano drugą metodę kondensacyjną Helmerta (patrz rozdział 2.4). Różnica między tymi metodami kondensacji mas zewnętrznych na geoidzie jest na tyle mała, że możemy przyjąć sposób Helmerta za tożsamy ze sposobem Moisiejewa;

2. Wielkości N₀ i ζ₀ są równe dlatego, że wpływy anomalii grawimetrycznych z całego obszaru Ziemi poza obszarem pola testowego uznano za identyczne i jednakowo zmieniające kształt obu badanych powierzchni. Z tego też powodu ograniczyliśmy całkowanie anomalii tylko do obszaru pola testowego;

3. Zamiast wartości Δ_B^P, której fizyczną interpretacją jest radialny gradient potencjału mas zewnętrznych wprowadzono wartość 2πGσH, którą możemy utożsamiać z przyciąganiem mas zewnętrznych oddziałujące na punkt znajdujący się na geoidzie;

4. Podobnie wartość Δ_B^P_C, czyli gradient potencjału skondensowanych na geoidzie mas zewnętrznych właściwy dla punktu znajdującego się na geoidzie zastąpiono wartością 2πGσH/3;

5. W naszym eksperymencie, z uwagi na niewielki obszar całkowania anomalii grawimetrycznych, potraktowaliśmy powierzchnię Ziemi jako płaską (płaska płyta Bouguera). Takie postępowanie przy uwzględnieniu znacznie większych obszarów byłoby oczywiście błędne, jednak w naszym przypadku jest dopuszczalne;

6. Do anomalii wolnopowietrznych oraz do anomalii Bouguera dodano poprawki terenową oraz atmosferyczną. Oczywistym jest, że do otrzymania odstępu geoidy regularyzowanej anomalie wolnopowietrzne obliczono stosując rzeczywisty gradient przyspieszenia siły ciężkości w danych punktach.

Ostateczny wzór użyty do obliczenia separacji geoidy regularyzowanej od nieregularyzowanej jest następujący:

(2.105)

gdzie:

Δg_o - anomalia wolnopowietrzna obliczona z uwzględnieniem normalnego gradientu przyspieszenia siły ciężkości, poprawki terenowej i atmosferycznej.

2.4. Odstęp geoidy nieregularyzowanej od quasi-geoidy

W latach czterdziestych ubiegłego wieku została rozwinięta przez Mołodeńskiego teoria określania wysokości punktów na fizycznej powierzchni Ziemi w oparciu o pole normalnej siły ciężkości. Jego koncepcja była bardzo atrakcyjna dlatego, że pozwalała na uzyskanie H bez żadnych dodatkowych informacji na temat gęstości podpowierzchniowych mas topograficznych, a także bez konieczności redukcji zaobserwowanych wartości siły ciężkości na poziom morza. System wysokości normalnych przyjął się w wielu krajach (m. in. w Polsce). Z teorią wysokości normalnych wiąże się pojęcie quasi-geoidy. Jest to powierzchnia utworzona przez spodki wysokości normalnych odłożonych od fizycznej powierzchni Ziemi po normalnej linii pionu. Natomiast wysokości normalne to odległości odpowiednich punktów na telluroidzie do elipsoidy poziomowej mierzone również po normalnej linii pionu. Telluroida to powierzchnia, w punktach której potencjał normalny jest równy potencjałowi rzeczywistemu w odpowiednich punktach na fizycznej powierzchni Ziemi. Tę sytuację obrazuje rysunek nr 5.

Rys. 5. Wzajemne położenie podstawowych powierzchni w teorii Mołodeńskiego

Quasi-geoida jest powierzchnią nieznacznie odbiegającą od powierzchni geoidy, co czyni teorię Mołodeńskiego tak atrakcyjną, gdyż za cenę niewielkiej różnicy pomiędzy wysokością ortometryczną a normalną, proces obliczeniowy wysokości został znacznie ułatwiony. Porównanie przebiegu geoidy i quasi-geoidy na obszarze pola testowego w Grybowie zostało opisane w pracy [Pasik,2000]. Znając zaprezentowane tam wyniki możemy obliczyć także separację geoidy nieregularyzowanej od quasi-geoidy.

Jeżeli znamy wartość separacji geoidy od quasi-geoidy, czyli:

, (2.106)

to możemy policzyć również odstęp quasi-geoidy od geoidy nieregularyzowanej:

. (2.107)

Interpretację graficzną podano na rysunku nr 6.

Rys. 6. Wzajemne położenie podstawowych powierzchni badanych w eksperymencie

2.5. Kompensacja wpływu mas topograficznych w myśl metody kondensacji Helmerta

Wyznaczanie przebiegu geoidy w myśl teorii Stokesa wymaga usunięcia mas leżących ponad geoidą oraz określenia anomalii grawimetrycznych na powierzchni geoidy. Jednym ze sposobów prowadzących do spełnienia tych warunków jest druga metoda kondensacyjna Helmerta.

W tej metodzie przyciąganie grawitacyjne mas leżących ponad geoidą jest kompensowane przyciąganiem pojedynczej warstwy o gęstości powierzchniowej μ=σ*H, gdzie H jest wysokością terenu, a σ to gęstość mas topograficznych [Heiskanen i Moritz, 1981].

Potencjał usuniętych mas topograficznych jest kompensowany potencjałem wytwarzanym przez warstwę powierzchniową i jest określony wzorem:

, (2.108)

gdzie

r - odległość elementu dS od punktu, w którym badany jest potencjał grawitacyjny.

Różnicę pomiędzy przyciąganiem usuniętych mas topograficznych na fizycznej powierzchni Ziemi (g^t_P) a kompensującym je przyciąganiem mas skondensowanych na geoidzie (g^c_o) nazywamy bezpośrednim efektem topograficznym w ciężkości. Zatem anomalia Helmerta odniesiona do powierzchni geoidy wyraża się wzorem:

. (2.109)

W [Vanicek i Kleusberg, 1987] przyciąganie mas skondensowanych na geoidzie zastąpiono przyciąganiem mas skondensowanych na fizycznej powierzchni Ziemi. Wobec tego anomalia Helmerta na powierzchni geoidy przyjmie postać:

, (2.110)

gdzie Δg^H_P jest anomalią Helmerta na powierzchni Ziemi.

Ponieważ wpływ zmian przyciągania mas skondensowanych wraz z wysokością jest zaniedbywalny, możemy napisać, że:

. (2.111)

Różnica potencjału mas topograficznych i mas skondensowanych metodą Helmerta to podstawowy efekt topograficzny w potencjale. Skutkiem tego jest deformacja geoidy prowadząca do określenia nowej powierzchni tzw. cogeoidy , która różni się od geoidy o tzw. drugorzędny efekt pośredni w odstępie geoidy. Efekt ten możemy określić następującym wzorem:

. (2.112)

Ten wzór w prosty sposób umożliwia obliczenie przesunięcia powierzchni poziomej spowodowanego przez kondensację mas znajdujących się zewnątrz geoidy. Dlatego, we wzorze (2.82) zastąpimy człon:

[ζ_e - ζ_e^C - (ζ_e - ζ_e^C)₁], (2.113)

wyrażeniem:

. (2.114)

3. Informacje dotyczące prac pomiarowych wykonanych na obszarze geodezyjnego pola testowego w okolicach Grybowa i ocena ich dokładności

3.1. Wprowadzenie

Prace badawcze na obszarze pola testowego w okolicach Grybowa wykonywane są od lat 1993-1995. Wtedy to właśnie wykonano niwelację precyzyjną instrumentami Zeiss Ni 007 oraz niwela­cję trygonometryczną w celu uzyskania wysokości ortometrycznych na dziewięciu stacjach. W czerwcu 1995r. w Ośrodku Szkoleniowym Politechniki Warszawskiej w Grybowie założono grawimetryczny punkt absolutny zapewniający nawiązanie późniejszych pomiarów do światowego poziomu grawimetrycznego. Następnie w 1997 r. wykonano pomiary gradientometryczne na dziewięciu stacjach (siedem wymie­nionych jako pierwsze w tablicy nr 1 oraz CZG i GC 06) przy uży­ciu grawimetru Scintrex CG-3M Autograv. W tym samym roku do kompletu danych dołączono wyniki względnych pomiarów grawimetrycznych, wykonanych grawimetrem La Coste & Romberg Model D Nr 196 według schematu A-B-B-A oraz współrzędne geodezyjne na elipsoidzie WGS'84, uzyskane poprzez względne pomiary statyczne GPS wykonane instrumentami TRIMBLE 4000 SSE i TRIMBLE 40000 SSI. Stacją odniesienia był punkt PW10, należącą do sieci EUREFPOL. W następnych latach badania kontynuowano zagęszczając obszar poligonu badawczego w celu do­kładniejszego zobrazowania pola grawitacyjnego Ziemi.

3.2. Wyznaczanie wysokości ortometrycznych

Wspomniane pomiary z 1995 r. wykorzystano do wyznaczenia w 9 punktach od­stępów geoidy za pomocą technik niwelacji GPS oraz niwelacji astronomiczno-geodezyjnej, gdyż w latach 1991-1995 wykonano również obserwacje astronomiczne, wspólnie ze Słowackim Uniwersytetem Technicznym w Bratysławie. Centralnie poło­żony punkt PW10, był punktem wyjściowym niwelacji astronomiczno-geodezyjnej. Wyznaczono w ten sposób odstęp geoidy od elipsoidy z błędem średnim równym 1,8 cm, uzyskanym z rozbieżności ΔN obu rodzajów niwelacji, przy czym maksymalna rozbieżność odstępów z obu metod wyniosła 4,7 cm [Barlik i in.,1998]. W 1997 r. Pomiary zostały poprawione, dzięki czemu błąd średni odstępu zmniejszył się do 1,2 cm, a maksymalną rozbieżność do 3,5 cm [Barlik i in.,1998].

Powyższe wartości odstępu geoidy od elipsoidy zostały wykorzystane do wyinterpolowania odstępów geoidy w miejscach pomiarów grawimetrycznych, które wraz z wyso­kościami elipsoidalnymi uzyskanymi z pomiarów GPS pozwoliły pozyskać wysokości ortometrycznych w tych punktach.

W 1998 r. liczba punktów pomiarowych użytych w badaniach grawimetrycznych została zwiększona do 28 (początkowe 26 w tablicy 2 oraz 1001 i GPK3), dzięki czemu zagęszczony został obszar poligonu badawczego szczególnie w granicach miasta Grybowa oraz w rejonie Ośrodka Szkoleniowego (czyli w centralnej części pola testowego). Kilka spośród nich stanowiły istniejące już punkty wysokościowe. Przy wyznaczaniu wysokości ortometrycznych pozostałych punktów zastoso­wano dowiązanie metodą niwelacji geometrycznej do już określonych wysokościowo lub też skorzystano ze wspomnianych powyżej otrzymanych metodą interpolacji odstępów geoidy.

W lipcu 1999 r. dla nowych 21 punktów zrezygnowano z wy­znaczania wysokości ortometrycznej drogą niwelacji geometrycznej. W tej grupie, dla ośmiu nowo założonych punktów (o liczbach porządkowych od 28 do 34) wysokości ortometryczne wyznaczone zostały z wyinterpolowanych odstępów geoidy powiąza­nych z pomiarem GPS. Kolejne 10 punktów są to zaadaptowane punkty osnowy triangulacyjnej z wyznaczonymi wysokościami ortometrycznymi, umieszczonymi na mapie topograficznej w skali 1:25000. Wysokości punktów MICHAŁ i ZAGÓRZE wyznaczono graficznie na podstawie tej samej mapy. Punkt BROWAR to reper niwelacyjny.

Dokładność położenia zaadaptowanych punktów osnowy klasycznej możemy określić porównując w kilku innych punktach (np. PCHEŁM, 165 MAT) wysokości umieszczone na mapie z odpowiednimi wysokościami uzyskanymi dokładniejszymi metodami niwelacji precyzyjnej i interpolacji odstępów geoidy powiązanej z pomia­rem GPS. Z analizy różnic wynika, iż błąd średni wy­sokości zaadaptowanych punktów osnowy klasycznej umieszczonych na mapie wyno­si około 0,6 m.

W przypadku punktów MICHAŁ i ZAGÓRZE, których wysokości określono na podstawie warstwic, błąd średni możemy ocenić na około 1 m.

Jak wynika z analizy wyników niwelacji precyzyjnej, które posłużyły do wy­znaczenia wysokości pierwszych 9 punktów, błąd średni niwelacji precyzyjnej ma wartość rzędu 0,4 mm/km [Rogowski i in.,1997], co jest bardzo dobrym wynikiem. Mimo, iż nie wszystkie późniejsze pomiary mogą być tak samo dokładne, możemy być jednak pewni, że maksymalny błąd średni nie przekroczył błędu średniego II klasy niwelacji precyzyjnej, czyli 1,5 mm/km. Zatem, przy kilkukilometrowych odcinkach niwelacyjnych błędy wyznaczenia wysoko­ści ortometrycznej, spowodowane błędem niwelacji, mogą sięgać co najwyżej kilku milime­trów.

Dokładność wysokości ortometrycznych wyznaczonych za pomocą pomiarów GPS i wyinterpolowanych odstępów geoidy, uzależniona jest od dokładności wyjściowych war­tości odstępów, zastosowanej metody interpolacji jak i dokładności wyznaczenia wysokości elipsoidalnej.

Analiza błędu średniego interpolacji została opracowana na podstawie wysokości ortometrycznych kilku stanowisk założonych w 1999 r., uzyskanych przy użyciu odstępów geoidy wyznaczonych metodami interpolacyjnymi. Na podstawie rozbieżności wynika, że możemy się spodziewać średniego błę­du interpolacji na poziomie l-2cm. Zatem w powiązaniu z dokładnościami odstępu geoidy i wysokości elipsoidalnej z pomiaru GPS ostatecznie należy się spodziewać błędu średniego wysokości ortometrycznej na poziomie 5 cm.

Wartości wysokości ortometrycznych w punktach pomiarowych przed­stawiono w tablicy nr 1.

3.3.Wyznaczanie współrzędnych geodezyjnych

Współrzędne większości punktów pomiarowych wyznaczono technikami sate­litarnymi wykorzystującymi system nawigacji GPS. Do pomiarów zastosowano odbiorniki firmy Trimble z serii 4000SSI, 4000SSE i 4000SST. Zastosowano pomiar względny technikami „static" i „fast static", z 15- lub 30-sekundowym interwałem próbkowania oraz maską do wysokości 15° nad horyzontem. Punktem odniesienia wszystkich po­miarów GPS był punkt PW10, którego położenie w centrum poligonu predysponowało go do roli stacji odniesienia. Jego współrzędne wyzna­czone zostały wcześniej podczas kampanii WEDOC-2. Opracowanie wyników wykonano przy pomocy oprogramowania GPSurvey firmy Trimble, używając efemeryd precyzyjnych. Ostateczne wyniki odniesiono do elipsoidy WGS'84.

Z analizy rozrzutów pozycji, błędy średnie współrzędnych B i L ocenia się na 1-2 mm [Rogowski i in.,1997] w przypadku godzinnych pomiarów statycznych i 1-2 cm w przypadku kilkunastominutowych pomiarów „fast static". Powszechnie wiadomo, że gorzej wyznaczalną wielkością jest wysokość elipsoidalna, której błąd średni ocenia się na około dwukrotnie większy niż pozostałe dwie współrzędne. Błąd ten obok błędu odstępu geoidy i błędu interpolacji jest, o czym powyżej wspomniano, jednym z czynników determinujących dokładność wysokości ortometrycznej.

Pozycję dziesięciu zaadaptowanych punktów klasycznej osnowy oraz punktów PTASZ, MICHAŁ i BROWAR określono sposobem graficznym z map topograficznych w ska­lach l:25000 i 1:100000 z błędem średnim ok. l".

Należy jeszcze dodać, że tak określone współrzędne geodezyjne odnoszą się do elipsoidy Krasowskiego a nie do WGS'84, która jest tożsama z zastosowanym w opracowaniu modelem Ziemi normalnej GRS'80. Ponieważ jednak współrzędne odniesione do tychże dwóch elipsoid różnią się zaledwie o kilka sekund, toteż do opracowania wykorzystano współrzędne na elipsoidzie Krasowskiego. Rozbieżność ta nie ma znaczącego wpływu na końcowe wyniki. Wartości współrzędnych geodezyjnych punktów pomiarowych zostały przedstawione w tablicy nr 1.

3.4. Pomiary grawimetryczne i gradientometryczne w okolicach Grybowa

Wartości przyspieszenia siły ciężkości w punktach pomiarowych uzyskano za pomocą pomiaru względnego, czyli obserwacji różnic przyspieszenia według sche­matu A-B-B-A względem wartości odniesienia na punkcie PWOP, która została wcześniej ustalona na podstawie absolutnych pomiarów przyspieszenia ziemskiego w punkcie zlokalizowanym w Ośrodku Szkoleniowym. Początkowo do pomiarów względnych wykorzystywano grawimetr statyczny La Coste & Romberg Model D Nr 196, a później precyzyjny grawimetr statyczny z kwarcowym systemem pomiarowym marki Scintrex CG-3 Autograv nr 9303205. Współczynnik skali grawimetru Scintrex CG-3 wyzna­czano metodą laboratoryjną poprzez nachylanie na egzaminatorze. Ponadto, tak określoną skalę instrumentu kontrolowano przed sezonem pomiarowym na części krajowej bazy grawimetrycznej. Taką kontrolę grawimetru Scintrex prze­prowadzano między znakami w Radomiu, Warszawie, Palmirach i Mdzewie (pod Płońskiem). Błąd względny współczynnika skali wyniósł l,1*10^-4. Do rejestracji danych i obliczeń wykorzystano program GRAW 20 na polowy mikro­komputer Psion Organiser II.

Błąd średni wartości g_p (zamieszczonych w Tablicy nr 1), dla pierwszych 9 punktów, oszacowano na nie więcej niż 0,007 mGal [Rogowski i in.,1997] w sto­sunku do punktu odniesienia, zaś dla pozostałych nie przekracza on 0,012 mGal [Barlik, 1999].

Obserwacje różnic przyspieszenia ziemskiego, niezbędnych do określenia wartości rzeczywistego pionowego gradientu ciężkości G_p , wykonano wspomnia­nymi już instrumentami. Pomiary gradientometryczne nie wymagały dowiązania do poziomu grawitacyjnego, a ponieważ różnica przyspieszenia Δg jest nie większa niż 0,5 mGal, precyzja wyskalowania instrumentu może być gorsza niż w pomiarach przyspieszenia dla określenia anomalii. Odstęp pionowy pomiędzy stanowiskami „gór­nym" i „dolnym" (ok. 1,1 m) uzyskano przez zastosowanie statywu geodezyjnego ze specjalną głowicą, niezbędną do ustawienia i spoziomowania grawimetru. Pomiar różnicy Δg między stanowiskami prowadzono według schematu D-G-G-D-D-G (D-stanowisko na poziomie terenu, G -stanowisko na statywie) aż do uzyskania błędu różnicy ciężkości poniżej 2 μGal [Pachuta i in.,1999]. W przypadku nie uzyskania takiej dokładności, wykonywano następne obserwacje w kolejności G-D i ponownie kontrolowano wyniki. W razie konieczno­ści, kontynuowano obserwacje do 12 stanowisk grawimetru lub pomiar powtarzano. Pomiar Δh realizowano poprzez pomiar różnicy wysokości indeksu na obudowie instrumentu, za pomocą przymiaru liniowego z błędem nie większym niż 2 mm.

Dokładność wyznaczenia gradientu G_p określa przeciętny błąd średni oszaco­wany na 2,1 μGal/m (21 Etweszy, l Etwesz = l0^-9 s^-2) [Barlik,1999].

Wartości rzeczywistego pionowego gradientu ciężkości podano w Tab­licy nr 1.

Tablica nr 1. Rezultaty pomiarów terenowych na punktach pola testowego w Grybowie.

lp.	nazwa	B			L			H	g	Gp
				^o	'	''	^o	'	''	m	mGal	mGal/m
1	GK1	49	36	38.8	20	58	15.1	530.637	980867.124	0.3374
2	GS1	49	37	51.3	20	55	1.1	553.687	980869.196	0.3941
3	PW10	49	37	43.3	20	56	48.9	370.34	980904.065	0.3060
4	CHOD	49	39	35.4	20	56	9.7	381.538	980909.299	0.3299
5	WYSK	49	39	13.6	20	59	41.2	373.462	980906.918	0.3156
6	GPT1	49	36	27.8	20	55	40.3	389.915	980896.646	0.2893
7	GKR1	49	39	27.5	20	53	45.3	354.789	980916.026	0.2985
8	GCN1	49	36	52	20	52	19.3	513.461	980874.94	0.2940
9	GGR	49	37	16.1	21	2	11.4	429.006	980886.051	0.3339
11	102	49	38	7.8	20	57	1.3	433.997	980891.361	0.3388
12	153	49	37	43.4	20	56	32.4	348.204	980909.448	0.2766
13	155	49	37	27.5	20	56	29	361.145	980905.862	0.3012
14	158	49	37	35.9	20	57	25.8	336.564	980909.36	0.2994
15	159	49	37	42.2	20	57	26.1	324.058	980912.016	0.3053
16	166	49	38	18.9	20	56	43.2	442.104	980891.23	0.3164
17	1001	49	37	56.4	20	56	45	419.629	980894.785	0.3992
18	165 MAT	49	38	18.2	20	57	4.1	474.116	980883.505	0.3873
19	CZG	49	36	58.9	20	58	9.9	431.209	980888.704	0.3310
20	W03	49	38	18.8	20	58	26.2	322.313	980914.225	0.3058
21	TOPOL	49	37	49.9	20	57	29	318.131	980913.339	0.2834
22	WIEJ	49	37	47.4	20	56	31.2	352.693	980908.452	0.2617
23	AZ 3420	49	37	33.9	20	56	35	340.85	980910.224	0.2212
24	AZ 3263	49	37	30.7	20	56	47	330.806	980911.341	0.2867
25	INTERN	49	37	24.9	20	57	16.4	333.085	980910.149	0.2939
26	AZ 3098	49	37	3.2	20	56	42.1	358.703	980904.665	0.2710
27	BETON	49	37	32.5	20	58	41	388.726	980897.367	0.3027
28	AZ 3167	49	38	24.6	20	55	37	419.947	980897.532	0.3132
29	GC 06	49	37	8.9	20	56	55.9	332.454	980909.775	0.2940
30	PWOP	49	37	58.4	20	57	6.6	399.534	980897.845	0.3920
31	GCM	49	37	30.6	20	56	9.2	393.047	980900.431	0.3682
32	STRÓŻE	49	39	19.8	20	58	22.1	307.944	980921.226	0.3029
33	ROPA	49	36	51.2	21	0	13.2	491.897	980873.193	0.3318
34	KRUŻL	49	39	5.3	20	52	58.1	347.868	980916.589	0.3097
35	STARA W.	49	37	43.8	20	53	1.6	492.68	980883.64	0.3310
36	GRÓDEK	49	38	16.9	20	59	40.9	341.012	980908.94	0.2849
37	PODCH	49	36	20.6	20	59	39.3	558.288	980858.507	0.4048
38	GPK3	49	37	50.7	20	56	45.4	369.791	980899.317	0.3320
39	BROWAR	49	37	23	20	54	56.1	385.118	980902.666	0.2859
40	PTASZ	49	36	2.9	20	53	19.9	514.5	980871.723	0.3201
41	MICHAL	49	36	0.2	20	55	0.2	400.005	980893.747	0.2670
42	ZAGÓRZE	49	38	56.2	20	56	56.2	353.802	980912.963	0.3086
43	STRÓŻE W.	49	39	8.2	20	56	40.9	357.604	980913.372	0.3098
44	KAWIORY	49	35	42.3	20	56	43	525.607	980867.758	0.3420
45	BIAŁA W.	49	36	22.9	20	57	20.4	345.505	980904.736	0.2938
46	KRUŻL W.	49	38	26.9	20	54	46.2	487.611	980884.55	0.3345
47	OSIKÓW	49	39	1.9	20	54	45.8	404.889	980904.442	0.3443
48	LISIA G.	49	37	28.2	20	59	30.7	486.103	980876.815	0.3383
49	KOZINIEC	49	36	35.8	20	54	48.7	560.308	980863.535	0.3837
50	STRZYLAW	49	36	52.7	20	55	53.2	475.109	980880.862	0.3614
51	GRANICE	49	38	34.2	21	0	44.9	428.002	980891.102	0.3287

4. Opracowanie wyników eksperymentu

4.1. Wzory charakteryzujące pole siły ciężkości

W naszym eksperymencie do definicji normalnego pola siły ciężkości zastosowano system GRS'80, czyli Global Reference System 1980, przyjęty przez Międzynarodową Asocjację Geodezji w grudniu 1979r. Ten model pola siły ciężkości jest szczególnie przydatny w naszej pracy, gdyż zastosowano w nim ten sam zestaw danych podstawowych (GM, a, J₂ i ω) jak i w quasi-geocentrycznym systemie globalnym WGS'84. A przecież współrzędne punktów pomiarowych zostały wyznaczone właśnie w systemie WGS'84.

Przyspieszenie normalnej siły ciężkości na powierzchni elipsoidy ekwipotencjalnej w systemie GRS'80 określa formuła:

[mGal]. (4.1)

Ponieważ w systemie GRS'80 podstawowy parametr GM zawiera masę atmosfery ziemskiej, przed obliczeniem wartości anomalii grawimetrycznych należy do zaobserwowanych wartości rzeczywistego przyspieszenia siły ciężkości dodać poprawkę atmosferyczną, którą możemy określić wzorem:

[mGal]. (4.2)

Wartości poprawek atmosferycznych są umieszczone w tabeli nr 2.

Anomalię Faye'a w punkcie znajdującym się na geoidzie wyznaczamy według wzoru:

, (4.3)

. (4.4)

Występujące w tym wzorze wartości poprawek terenowych (reprezentujących wpływ nierówności terenu wokół punktu pomiarowego na pomierzoną ciężkość) są podane w tablicy nr 2, natomiast wartość R^WP jest redukcją wolnopowietrzną i wyraża wpływ wysokości na pomierzone przyspieszenie siły ciężkości.

Zauważmy, iż redukcję wolnopowietrzną wykonaliśmy w polu rzeczywistym siły ciężkości, stosując gradient rzeczywistego przyspieszenia. Dokonane na polu testowym pomiary gradientometryczne pozwoliły nam więc uzyskać znacznie dokładniejsze wyniki eksperymentu, niż gdybyśmy używali do tego celu pola normalnego siły ciężkości.

Anomalię Bouguera określamy przez realizację wzorów:

, (4.5)

, (4.6)

gdzie R^B jest redukcją Bouguera.

Anomalię Prey'a wyznaczyliśmy na podstawie formuł:

(4.7)

Poniżej podane są wzory na obliczenie funkcji Stokesa jak i funkcji Helmerta:

(4.8)

(4.9)

Powyższe formuły na obliczenie anomalii grawimetrycznych są formułami standartowymi i zastosowano je również w naszym eksperymencie.

Wartości poprawek terenowych obliczono programem POPTER autorstwa P. Korczaka. Zastosowano w nim numeryczny model terenu DTM. Błąd średni obliczonych poprawek szacowany jest na 1,8 mGal. [Korczak,1999].

Gęstość utworów przypowierzchniowych wyznaczyliśmy z map geologicznych. Wynosi ona σ=2,35 g/cm³. Opracowanie M. Pasika [Pasik,2000], w którym wyznaczono gęstość za pomocą metody Nettletona [Barlik,1986] i w którym uzyskane zostały podobną wartość σ, potwierdza to założenie.

Tablica nr 2. Wartości przyspieszenia normalnego, anomalii grawimetrycznych i poprawek terenowych i atmosferycznych na punktach pola testowego w Grybowie.

nr	nazwa	γ [mGal]	Ag^B [mGal]	Ag^F[mGal]	Ag^P-P[mGal]	δ ^ter [mGal]	δ ^atm [mGal]
1	GK1	981035,597	-36,45	15,75	-93,01	4,36	0,82
2	GS1	981037,397	-0,57	53,90	-58,11	3,07	0,82
3	PW10	981037,198	-53,99	-17,56	-91,83	1,42	0,84
4	CHOD	981039,982	-38,93	-1,40	-79,04	2,58	0,84
5	WYSK	981039,441	-49,12	-12,38	-87,30	1,44	0,84
6	GPT1	981035,323	-58,96	-20,60	-101,75	4,44	0,84
7	GKR1	981039,786	-51,11	-16,21	-86,82	0,81	0,84
8	GCN1	981035,924	-57,20	-6,69	-110,22	2,51	0,82
9	GGR	981036,523	-47,42	-5,22	-90,80	1,17	0,83
10	W03	981038,080	-55,77	-24,07	-88,09	0,61	0,61
11	102	981037,807	-39,72	2,98	-83,96	1,55	0,83
12	153	981037,201	-61,17	-26,91	-99,11	3,69	0,84
13	155	981036,806	-55,40	-19,88	-92,38	1,45	0,84
14	158	981037,015	-57,89	-24,79	-92,26	1,26	0,84
15	159	981037,171	-56,34	-24,46	-89,13	0,92	0,84
16	166	981038,082	-48,76	-5,27	-93,12	0,87	0,83
17	1001	981037,524	-13,50	27,78	-56,95	2,17	0,83
18	165 MAT	981038,065	-12,73	33,91	-63,39	4,02	0,83
19	CZG	981036,096	-42,95	-0,53	-88,67	3,31	0,83
20	TOPOL	981037,362	-63,30	-32,01	-95,61	1,02	0,84
21	WIEJ	981037,300	-66,58	-31,89	-105,10	3,82	0,84
22	AZ 3420	981036,965	-80,90	-47,37	-117,56	3,13	0,84
23	AZ 3263	981036,885	-60,05	-27,51	-94,94	2,35	0,84
24	INTERN	981036,741	-59,36	-26,60	-93,39	1,26	0,84
25	AZ 3098	981036,203	-67,47	-32,18	-104,06	1,31	0,84
26	BETON	981036,930	-58,34	-20,10	-97,54	0,96	0,84
27	AZ 3167	981038,224	-49,28	-7,97	-90,95	0,36	0,83
28	GC 06	981036,344	-57,75	-25,05	-93,39	2,94	0,84
29	PWOP	981037,573	-20,77	18,54	-60,88	0,81	0,84
30	GCM	981036,883	-28,23	10,43	-68,22	1,33	0,84
31	STRÓŻE	981039,594	-53,19	-22,90	-84,83	1,35	0,84
32	ROPA	981035,905	-45,40	2,99	-95,45	1,66	0,83
33	KRUŻL	981039,234	-45,57	-11,35	-82,51	2,72	0,84
34	STARA W.	981037,211	-36,67	11,80	-86,60	1,47	0,83
35	GRÓDEK	981038,033	-62,57	-29,02	-98,19	2,08	0,84
36	PODCH	981035,145	-1,26	53,66	-59,66	3,48	0,82
37	GPK3	981037,382	-49,42	-13,05	-87,21	1,41	0,84
38	BROWAR	981036,694	-59,02	-21,13	-98,86	1,95	0,84
39	PTASZ	981034,705	-47,11	3,50	-98,69	0,97	0,82
40	MICHAL	981034,638	-68,28	-28,93	-111,95	4,32	0,84
41	ZAGÓRZE	981039,009	-50,07	-15,26	-85,63	0,76	0,84
42	STRÓŻE W.	981039,306	-49,10	-13,92	-84,67	0,39	0,84
43	KAWIORY	981034,193	-33,31	18,39	-89,26	4,25	0,82
44	BIAŁA W.	981035,202	-60,01	-26,02	-96,09	2,09	0,84
45	KRUŻL W.	981038,281	-36,33	11,63	-85,73	1,43	0,83
46	OSIKÓW	981039,150	-33,41	6,42	-74,13	0,89	0,84
47	LISIA G.	981036,823	-41,31	6,51	-90,37	1,25	0,83
48	KOZINIEC	981035,522	-6,65	48,47	-66,41	4,65	0,82
49	STRZYLAW	981035,942	-26,66	20,07	-76,02	2,62	0,83
50	GRANICE	981038,462	-45,66	-3,56	-90,05	2,28	0,83

4.1.1. Informacje dotyczące separacji geoidy i quasigeoidy na polu testowym w Grybowie

Praca pt. „Analiza separacji geoidy i quasi-geoidy Mołodeńskiego na obszarze geodezyjnego pola testowego w okolicach Grybowa” mgr M. Pasika jest oparta na tych samych danych, co i nasz eksperyment. Dlatego możemy porównywać te powierzchnie bez dodatkowych założeń. W tabeli nr 3 zostały przedstawione wyniki obliczenia separacji geoidy i quasi-geoidy na tych samych punktach, które występują w naszym doświadczeniu.

Tablica nr 3. Separacja geoidy regularyzowanej od quasi-geoidy Mołodeńskiego na punktach pola testowego w Grybowie.

nr	nazwa	N [cm]
1	GK1	2,53
2	GS1	1,55
3	PW10	2,10
4	CHOD	1,75
5	WYSK	2,00
6	GPT1	2,26
7	GKR1	1,86
8	GCN1	2,95
9	GGR	2,42
10	W03	1,93
11	102	2,16
12	153	2,03
13	155	2,07
14	158	2,00
15	159	1,90
16	166	2,40
17	1001	1,49
18	165 MAT	1,63
19	CZG	-
20	TOPOL	1,98
21	WIEJ	2,15
22	AZ 3420	2,35
23	AZ 3263	1,96
24	INTERN	2,00
25	AZ 3098	2,30
26	BETON	2,36
27	AZ 3167	2,26
28	GC 06	1,93
29	PWOP	1,62
30	GCM	1,69
31	STRÓŻE	1,69
32	ROPA	2,71
33	KRUŻL	1,68
34	STARA W.	2,26
35	GRÓDEK	2,10
36	PODCH	1,77
37	GPK3	2,11
38	BROWAR	2,23
39	PTASZ	2,80
40	MICHAL	2,52
41	ZAGÓRZE	1,88
42	STRÓŻE W.	1,88
43	KAWIORY	2,40
44	BIAŁA W.	2,09
45	KRUŻL W.	2,27
46	OSIKÓW	1,78
47	LISIA G.	2,55
48	KOZINIEC	1,75
49	STRZYLAW	2,03
50	GRANICE	2,28

4.1.2. Wyznaczenie odstępów geoidy regularyzowanej od nieregularyzowanej

Wartości odstępów geoidy regularyzowanej od nieregularyzowanej (, obliczonych w myśl wzoru (2.105), oraz odstępu geoidy nieregularyzowanej od quasi-geoidy (B), a także wysokości ortometrycznych, które mają największy wpływ na odstęp geoidy regularyzowanej od nieregularyzowanej, zestawiono w tablicy nr 4.

Tablica nr 4. Zestawienie separacji geoidy nieregularyzowanej od geoidy regularyzowanej oraz quasi-geoidy.

nr	nazwa	H [m]	 [cm]	B [cm]
1	GK1	530.64	39,81	37,27
2	GS1	553.69	38,07	36,52
3	PW10	370.34	38,97	36,87
4	CHOD	381.54	29,48	27,73
5	WYSK	373.46	29,05	27,05
6	GPT1	389.92	38,48	36,22
7	GKR1	354.79	29,32	27,46
8	GCN1	513.46	31,29	28,34
9	GGR	429.01	23,74	21,31
10	W03	322.31	33,77	31,84
11	102	434.00	40,28	38,11
12	153	348.2	39,03	37,00
13	155	361.15	38,94	36,88
14	158	336.56	37,80	35,80
15	159	324.06	37,79	35,88
16	166	442.10	37,59	35,19
17	1001	419.63	39,11	37,62
18	165 MAT	474.12	37,83	36,20
19	CZG	431.21	39,25	-
20	TOPOL	318.13	36,71	34,72
21	WIEJ	352.69	38,28	36,13
22	AZ 3420	340.85	38,80	36,45
23	AZ 3263	330.81	38,29	36,34
24	INTERN	333.09	37,08	35,09
25	AZ 3098	358.70	37,72	35,42
26	BETON	388.73	36,53	34,17
27	AZ 3167	419.95	35,04	32,78
28	GC 06	332.45	37,82	35,89
29	PWOP	399.53	38,54	36,92
30	GCM	393.05	38,03	36,34
31	STRÓŻE	307.94	29,28	27,59
32	ROPA	491.90	32,51	29,80
33	KRUŻL	347.87	27,84	26,16
34	STARA W.	492.68	33,38	31,12
35	GRÓDEK	341.01	33,49	31,40
36	PODCH	558.29	32,34	30,57
37	GPK3	369.79	39,95	37,84
38	BROWAR	385.12	36,94	34,71
39	PTASZ	514.50	31,39	28,59
40	MICHAL	400.01	34,03	31,51
41	ZAGÓRZE	353.80	34,87	32,99
42	STRÓŻE W.	357.60	33,52	31,64
43	KAWIORY	525.61	33,03	30,63
44	BIAŁA W.	345.51	35,40	33,31
45	KRUŻL W.	487.61	36,02	33,75
46	OSIKÓW	404.89	32,36	30,58
47	LISIA G.	486.10	35,39	32,84
nr	nazwa	H [m]	 [cm]	B [cm]
48	KOZINIEC	560.31	37,99	36,24
49	STRZYLAW	475.11	38,28	36,25
50	GRANICE	428.00	28,95	26,66

5. Graficzne przedstawienie uzyskanych odstępów geoidy regularyzowanej od nieregularyzowanej

Na podstawie danych dotyczących separacji geoidy regularyzowanej od geoidy nieregularyzowanej sporządzona została mapa odstępów tych powierzchni. Powierzchnię geoidy regularyzowanej, dla lepszego zobrazowania zjawiska, przyjęto za powierzchnię płaską. Ponadto utworzono mapę rzeźby terenu, mapę separacji geoidy regularyzowanej od quasi-geoidy, mapę separacji geoidy nieregularyzowanej od quasi-geoidy, oraz mapę rozkładu anomalii Bouguera. Wszystkie mapy mają skalę 1:50000. Do ich stworzenia zastosowano odwzorowanie Gaussa-Krügera z południkiem osiowym 21^o w strefie ósmej. W celu uniknięcia ujemnych wartości współrzędnych, dodano 3000 km do każdej współrzędnej y obliczonej za pomocą formuł odwzorowawczych. Współrzędne Gaussa-Krügera zostały zestawione w tablicy nr 5.

Tablica nr 5. Współrzędne punktów pola testowego w odwzorowaniu Gaussa-Krügera

nr	nazwa	x	y
1	GK1	5497556,09	2997894,05
2	GS1	5499798,87	2994001,81
3	PW10	5499549,76	2996164,92
4	CHOD	5503013,70	2995381,18
5	WYSK	5502338,24	2999622,91
6	GPT1	5497218,34	2994785,99
7	GKR1	5502772,87	2992484,81
8	GCN1	5497971,36	2990751,77
9	GGR	5498708,70	3002637,40
10	W03	5500645,50	2998117,96
11	102	5500306,51	2996414,27
12	153	5499553,09	2995833,79
13	155	5499061,91	2995764,98
14	158	5499320,66	2996905,32
15	159	5499515,30	2996911,45
16	166	5500649,70	2996051,33
17	1001	5499954,54	2996086,74
18	165 MAT	5500627,78	2996470,66
19	CZG	5497294,96	2998284,13
20	TOPOL	5499753,15	2996969,78
21	WIEJ	5499676,69	2995809,81
22	AZ 3420	5499259,55	2995885,75
23	AZ 3263	5499160,49	2996144,58
24	INTERN	5498980,93	2996716,46
25	AZ 3098	5498310,97	2996027,55
26	BETON	5499214,97	2998414,50
27	AZ 3167	5500826,93	2994723,24
28	GC 06	5498488,42	2996304,68
29	PWOP	5500016,65	2996520,43
30	GCM	5499158,32	2995366,86
31	STRÓŻE	5502531,36	2998036,78
32	ROPA	5497938,16	3000263,98
33	KRUŻL	5502089,94	2991537,48
34	STARA W.	5499570,95	2991684,39
35	GRÓDEK	5500586,18	2999616,77
36	PODCH	5496993,41	2999584,39
37	GPK3	5499779,35	2996095,65
38	BROWAR	5498893,90	2993778,03
39	PTASZ	5496424,86	2991847,52
40	MICHAL	5496329,54	2993855,41
41	ZAGÓRZE	5501764,91	2996188,55
42	STRÓŻE W.	5502135,87	2995887,93
43	KAWIORY	5495771,49	2995923,27
44	BIAŁA W.	5497037,67	2996667,10
45	KRUŻL W.	5500871,41	2993579,66
46	OSIKÓW	5501952,74	2993580,93
47	LISIA G.	5499044,86	2999297,54
48	KOZINIEC	5497442,00	2993635,83
49	STRZYLAW	5497965,86	2994921,20
50	GRANICE	5501083,94	3000782,45

6. Podsumowanie i wnioski

6.1. Badanie jakości wyników

Uzyskane odstępy geoidy regularyzowanej od nieregularyzowanej wymagają komentarza. Dokładność odstępów powinna zostać zbadana poprzez obliczenie błędu średniego otrzymanych wartości Δ w myśl prawa przenoszenia się błędów średnich Gaussa. Jednakże poczynione przez nas uproszczenia w algorytmie obliczania wartości odstępów, jak i pracochłonność tego sposobu zdecydowały o przyjęciu innej metody sprawdzenia poprawności wyników. Porównano przebieg otrzymanej geoidy nieregularyzowanej z geoidą, której odstępy obliczono na podstawie pomiarów niwelacyjnych i satelitarnych. Te dwie powierzchnie powinny mieć bardzo podobną wysokość nad elipsoidą, jednakże będą istnieć między nimi różnice wynikłe z kilku przyczyn:

• Uzyskany przebieg geoidy nieregularyzowanej jest obliczony na podstawie wpływu anomalii grawimetrycznych z najbliższego obszaru, co może powodować istotne odstępstwa od rzeczywistego (uwzględniającego wpływ anomalii grawimetrycznych z obszaru całej Ziemi) jej przebiegu. Z tego samego powodu odstęp geoidy regularyzowanej i geoidy niwelacyjno-satelitarnej od elipsoidy będą się różnić o stały wyraz N_o.

• Geoida „niwelacyjno-satelitarna” może być obliczona na podstawie innych danych (np. gęstości mas topograficznych), co spowoduje nachylenie obu powierzchni do siebie. Jest to też typ geoidy nieregularyzowanej.

Oczywiście można również obliczyć błąd średni odstępu geoidy regularyzowanej od nieregularyzowanej za pomocą wzoru Gaussa. Istnieje również możliwość dalszego badania dokładności przebiegu geoidy nieregularyzowanej w stosunku do elipsoidy metodą Gaussa.

6.1.1. Odstępy geoidy „niwelacyjno-satelitarnej” od elipsoidy na obszarze pola testowego w Grybowie

Wzniesienia geoidy „niwelacyjno-satelitarnej” uzyskano z [Barlik, 2000]. Dane te nie zostały opracowane dla wszystkich punktów na polu testowym, dlatego porównanie obejmuje 9 stacji wymienionych w tablicy nr 5.

Tablica nr 5. Wykaz odstępów geoidy „niwelacyjno-satelitarnej” i odstępów geoidy nieregularyzowanej uzyskanych z uwzględnieniem wpływu anomalii grawimetrycznych z najbliższego obszaru.

nr punktu	pkt	N gps	N graw
1	gk1	46,9526	0,3890
2	gs1	47,0312	0,4054
3	pw10	46,9422	0,3375
4	chod	46,8674	0,2588
5	wysk	46,7354	0,2226
6	gpt1	47,095	0,3770
7	gkr1	46,9989	0,2521
8	gcn1	47,2108	0,3058
9	ggr1	46,7005	0,2139

6.1.2. Porównanie geoidy „niwelacyjno-satelitarnej” i geoidy nieregularyzowanej

Następnie dopasowano do siebie obie porównywane powierzchnie w ten sposób, iż w punkcie centralnym PW10 wartości odstępów tych powierzchni od elipsoidy są sobie równe. Zatem do każdej wartości odstępu geoidy nieregularyzowanej dodano składnik ζ₀=46,6047 m.

Poprawione odstępy geoidy nieregularyzowanej jak i geoidy „niwelacyjno-satelitarnej” znajdują się w tabeli 6.

Tablica nr 6. Wartości odstępów geoidy nieregularyzowanej i geoidy niwelacyjno-satelitarnej od elipsoidy.

nr punktu	pkt	N gps [m]	N graw [m]	 [m]	 [cm]
1	gk1	46,9526	46,9937	0,0411	4,11
2	gs1	47,0312	47,0101	-0,0211	-2,11
3	pw10	46,9422	46,9422	0,0000	0,00
4	chod	46,8674	46,8635	-0,0039	-0,39
5	wysk	46,7354	46,8274	0,0920	9,20
6	gpt1	47,095	46,9817	-0,1133	-11,33
7	gkr1	46,9989	46,8568	-0,1421	-14,21
8	gcn1	47,2108	46,9106	-0,3002	-30,02
9	ggr1	46,7005	46,8186	0,1181	11,81

Porównując powierzchnie geoidy nieregularyzowanej i geoidy regularyzowanej zauważyć można spore różnice w ich przebiegu. Między skrajnymi wartościami odstępu obu powierzchni istnieje znacząca różnica ponad 40 cm. Jednak analizując położenie 9 punktów, dla których porównywana jest geoida nieregularyzowana z geoidą „niwelacyjno-satelitarną” można zauważyć pewną korelację. Mianowicie powierzchnia geoidy nieregularyzowanej jest nachylona w stosunku do powierzchni geoidy „niwelacyjno-satelitarnej”. Linia spadku jest w przybliżeniu skierowany na zachód. Spowodowane może to być rozłożeniem mas uwzględnionych przy wyznaczaniu odstępów geoidy nieregularyzowanej. Precyzja dopasowania geoidy nieregularyzowanej do geoidy „niwelacyjno-satelitarnej” na badanym terenie zostało określone za pomocą błędu średniego wyrażonego przez błędy prawdziwe. Błąd średni w tym przypadku równy jest 12,2 cm.

6.2. Analiza odstępów geoidy nieregularyzowanej od geoidy regularyzowanej na polu testowym w Grybowie

Analizę mapy odstępu geoidy nieregularyzowanej od regularyzowanej (stanowiącej załącznik nr 3) można zacząć od stwierdzenia, że odstępy zależą od położenia danego punktu na obszarze pola testowego. Wzniesienie geoidy nieregularyzowanej nad geoidą regularyzowaną ma charakter wyraźnie systematyczny: największe odstępy (ok. 40 cm) istnieją w centralnej części pola testowego i stopniowo maleją do ok. 25 cm na skrajnych obszarach pola. Wyjaśnienie tego zjawiska jest następujące: anomalie grawimetryczne są określone tylko z małego obszaru w okolicach Grybowa. Poza tym terenem anomalie grawimetryczne zostały przyjęte za zerowe. Dlatego punkt leżący na skraju obszaru testowego „sąsiaduje” z terenem na którym g=0. Natomiast punkty leżące w centrum są dość oddalone od obszarów, na których anomalie grawimetryczne są równe zero. A ponieważ na wzniesienie geoidy nieregularyzowanej nad geoidą regularyzowaną w danym punkcie P największy wpływ mają anomalie grawimetryczne generowane przez najbliższe otoczenie punktu P, jasnym jest , że w miejscach leżących na skraju pola testowego otrzymają mniejszą wartość ζ, niż punkty leżące w centrum. Dlatego w naszym eksperymencie odstępy geoidy nieregularyzowanej od geoidy regularyzowanej są godnymi zaufania tylko w centralnej części pola testowego, a więc w okolicach Ośrodka Szkoleniowego PW. W tej części obszaru zauważyć można korelacje między wysokością ortometryczną punktów a odstępem geoidy nieregularyzowanej od geoidy regularyzowanej, która nie jest możliwa do zauważenia na pozostałej części badanego terenu. Aby uzyskać precezyjne wyniki na pozostałych punktach, należałoby rozszerzyć obszar, na którym znane są anomalie grawimetryczne. Ponadto, wychwycenie korelacji między wysokością terenu i anomaliami Bouguera a separacją geoidy nieregularyzowanej i geoidy regularyzowanej będzie wymagać dodatkowego zagęszczenia punktów pomiarowych. Duża gęstość punktów pomiarowych w środkowej części pola testowego pozwoliła na uzyskanie w tym miejscu precyzyjnych wyników. Zwiększenie obszaru badań jak i gęstości punktów na całym obszarze podgórskim mogłoby potwierdzić hipotezę płynącą z tego eksperymentu. Zatem istnieje przesłanka do prowadzenia dalszych badań w tym kierunku.

6.3 Struktura wpływu wysokości ortometrycznych punktów i gęstości mas topograficznych na odstęp geoidy nieregularyzowanej od geoidy regularyzowanej

Analiza wzoru (2.105) pozwala stwierdzić, że na odstęp geoidy nieregularyzowanej od geoidy regularyzowanej największy znaczenie ma wysokość ortometryczna punktów pomiarowych i gęstość utworów przypowierzchniowych. Pozostałe argumenty występujące we wzorze nie mają większego od wspomnianych wpływu na zmianę wartości . A zatem, jeśli wysokości ortometryczne wszystkich punktów pola testowego zwiększymy o wartość 10 m, to odstęp geoidy nieregularyzowanej od geoidy regularyzowanej zwiększy się przeciętnie o 0,86 cm na każdym punkcie. Natomiast, gdy tylko na jednym punkcie zmieni się wartość H o +10 m, to na tym samym punkcie  wzrośnie o 0,12 cm, a na wszystkich punktach o średnio 0,01 cm. Zmiana przyjętej gęstości utworów przypowierzchniowych o 2% wartości przyjętej za właściwą (2350kg/cm³) pociąga za sobą zmianę separacji geoidy nieregularyzowanej i geoidy regularyzowanej o średnio 0,8 cm na każdym punkcie. Zatem błąd w określeniu gęstości nie ma dużego wpływu na wartość . Większy wpływ na odstęp geoidy nieregularyzowanej od geoidy regularyzowanej ma wysokość terenu.

6.4 Podsumowanie

Geoida nieregularyzowana jest powierzchnią znacznie bardziej odpowiednią dla systemu wysokości ortometrycznych niż geoida regularyzowana. Przyjęty w eksperymencie sposób obliczenia jej przebiegu w stosunku do geoidy regularyzowanej nie jest metodą skomplikowaną. Jej wadą jest konieczność uwzględnienia wpływu anomalii grawimetrycznych ze znacznie większego obszaru, niż powierzchnia pola, na którym chcemy uzyskać prawidłowe odstępy geoidy nieregularyzowanej od geoidy regularyzowanej.

BIBLIOGRAFIA

Barlik M., A. Pachuta, M. Pruszyńska-Wojciechowska (1992): „Ćwiczenia z geodezji fizycznej i grawimetrii geodezyjnej”. Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa.

Barlik M. i in. (1998): „Badania geoidy z wykorzystaniem obserwacji satelitarnych, grawimetrycznych i astronomicznych”. Raport roczny z pracy statutowej, Arch. IGWiAG, Warszawa.

Barlik M. (1999): “ Obserwacje pionowego gradientu przyspieszenia siły ciężkości wykonane w 1999 r. na obszarze testowego pola geodezyjnego w okolicach Grybowa”. Projekt badawczy KBN nr 9 T 12E 027 14, Arch. IGWiAG, Warszawa.

Barlik M. (2000): „Gradientometric corrections to the geoidal heights levelling”. Reports on Geodesy, No.2(50), IGGA, WUT.

Czarnecki K. (1996): „Geodezja współczesna w zarysie”. Wiedza i Życie. Warszawa

Heiskanen W.A., Moritz H. (1981): „Physical Geodesy“, Graz

Korczak P. (1999): „Wyznaczanie poprawki terenowej przyspieszenia ziemskiego na podstawie numerycznego modelu terenu“. Praca dyplomowa - magisterska. Arch. IGWiAG. Warszawa.

Mołodeński M.S. (1936): „O reduktsiiach siły tyazhesti k urovnyu morya dlya neregulyarizovannoi Zemli”. „Trudy CNIIGAiK” No. 17/1936.

Moritz H. (1980): „Advanced Physical Geodesy”. Karlsruhe. Sammlung Wichmann.

Pachuta A., Barlik M., Walo J. (1999): „Automatyzacja pomiarów gradientów przyspieszenia ziemskiego”. Referat IV Konferencji Naukowo-Technicznej „Problemy automatyzacji w geodezji inżynieryjnej”, Warszawa.

Pasik M. (2000): „Analiza separacji geoidy i quasi-geoidy Mołodeńskiego na obszarze geodezyjnego pola testowego w okolicach Grybowa”. Praca dyplomowa - magisterska. Arch. IGWiAG. Warszawa.

Pick M., Pichă J., Vyskočil V. (1973): „Theory of the Earth's Gravity Field”, Akademia, Praha.

Rogowski J. B., Barlik M., Kujawa L. i in.(1997):” Determination of geoidal heights in the test field at Grybów - Status Report'95”. Reports on Geodesy, No. (2)25, IGGA, WUT.

Vanicek P. i A. Kleusberg (1987): „The Canadian geoid - Stokesian approach”. Manuscripta Geodetica, Vol. 12, 86-98.

Mołodeński M.S., Jeremiejew V.I., Jurkina M.I. (1961) „Trudy CNIIGAiK” No. 131/1961. Moskwa.

ZAŁĄCZNIKI

Spis załączników:

Załącznik nr 1. Mapa rzeźby terenu na obszarze pola testowego w Grybowie w skali 1:50000.

Załącznik nr 2. Mapa anomalii Bouguera na obszarze pola testowego w Grybowie w skali 1:50000.

Załącznik nr 3. Mapa odstępu geoidy nieregularyzowanej od geoidy regularyzowanej na obszarze pola testowego w Grybowie w skali 1:50000.

Załącznik nr 4. Mapa odstępu geoidy nieregularyzowanej od quasi-geoidy na obszarze pola testowego w Grybowie w skali 1:50000.

Załącznik nr 5. Mapa odstępu geoidy regularyzowanej od quasi-geoidy na obszarze pola testowego w Grybowie w skali 1:50000.

Załącznik nr 6. Dyskietka z programem obliczeniowym oraz tekstem pracy dyplomowej.

39

---