/materiay na prawach rkopisu/
WICZENIE 8
Optymalizacja ustalonych stanów pracy SEE -
ekonomiczny rozdzia obcie
1. Wstp
Zapotrzebowanie na moc w systemie elektroenergetycznym jest pokrywane przez wspópracujce ze sob elektrownie w rónych zestawach jednostek i przy rónych ukadach sieci. O tym jaka cz zapotrzebowania jest pokrywana przez poszczególne zespoy decyduj obliczenia optymalizacyjne, które dotycz zarówno sterowania jak i planowania pracy systemu elektroenergetycznego.
Przedmiotem optymalizacji jest koszt wytwarzania i przesyu energii elektrycznej. Funkcj celu jest natomiast koszt paliwa zuytego w elektrowniach w okresie optymalizacji. Dla sterowania okresem optymalizacji jest godzina, natomiast przy planowaniu moe to by miesic, rok itd.
Ze wzgldu na wymiar zadania , liczb równa i nierównoci, zadanie optymalizacji najczciej dekomponuje si na zadania czstkowe, mniejsze - czsto nie uwzgldniajce powiza midzy poszczególnymi rozwizaniami.
Optymalizacja stanów ustalonych systemu elektroenergetycznego nazywa si ekonomicznym rozdziaem obcie (ERO). Polega ona na tym, e dla zadanej konfiguracji i zadanych obcie w wzach odbiorczych wyznacza si taki stan elektryczny sieci, aby koszty wytwarzania i koszty przesyu byy najmniejsze przy zachowaniu ogranicze technicznych.
W poprzednich latach ze wzgldu na brak komputerów pene zagadnienie optymalizacji byo trudne do rozwizania i z tego powodu zostao podzielone na trzy mniejsze czci stanowice jednoczenie etapy obliczeniowe:
ERO-P czyli rozdzia mocy czynnych wedug minimalizacji kosztów wytwarzania - by i do dzisiaj jest wykonywany metod przyrostów wzgldnych,
ERO-Q czyli dobór napi w wzach generatorowych wg minimalizacji strat przesyowych - w praktyce polega na przyjmowaniu napi w tych wzach na poziomie ich górnych wartoci,
obliczenie napi we wszystkich wzach sieci i wyznaczenie przepywów gaziowych.
2. Podstawy matematyczne
Ogólnie rzecz biorc rozwizanie zagadnienia ekonomicznego rozdziau obcie sprowadza si do poszukiwania minimum funkcji wielu zmiennych, która okrela koszty generacji w zalenoci od mocy wydawanej przez pracujce w systemie generatory. Zakadamy przy tym, e zestaw jednostek zosta wybrany arbitralnie tzn. zadanie nasze nie obejmuje problemów takiego wyboru.
Poszczególne bloki energetyczne opisane s charakterystykami godzinowych kosztów wytwarzania (rys. a). Styczna do tej krzywej wyznacza w kadym punkcie tzw. wzgldny przyrost kosztów paliwa (z/MWh). Charakterystyka wzgldnych przyrostów kosztów przedstawiona jest na rys. b. Charakterystyki kosztów najczciej aproksymowane s funkcjami kwadratowymi w postaci:
przy czym indeks i oznacza numer jednostki w systemie.
Cakowity koszt wytwarzania mocy w systemie (funkcja kosztów) jest w takim przypadku równy sumie kosztów poszczególnych róde:
(1)
Jak wiadomo podstawowym warunkiem stabilnej pracy systemu elektroenergetycznego jest równo mocy czynnej podbieranej PL przez odbiory i generowanej w elektrowniach Pi w kadej chwili czasu. Na poszukiwane minimum kosztów wytwarzania musimy wic naoy warunek bilansu mocy w systemie:
(2)
Powysze zadanie jest typowym problemem minimalizacji nieliniowej funkcji celu z ograniczeniami równociowymi. Matematyka dysponuje aparatem pozwalajcym rozwizywa takie zadania - jest to tzw. metoda mnoników Lagrange'a.
Naley mianowicie utworzy funkcj Lagrange'a jako kombinacj liniow funkcji kosztów i warunku ograniczajcego:
(3)
gdzie - mnonik Lagrange'a, który w tym przypadku jest skalarem bo wystpuje tylko jedno ograniczenie równociowe.
Warunkiem koniecznym istnienia minimum funkcji kosztów jest aby wszystkie pochodne funkcji Lagrange'a byy równe zeru:
(4)
Warunkiem wystarczajcym minimum jest dodatnia okrelono macierzy drugich pochodnych (formy kwadratowej). Warunek ten speniony jest a priori dla kwadratowej, wypukej funkcji kosztów lub ogólnie gdy wyrazy diagonalne macierzy drugich pochodnych nie s ujemne (nie mog by wszystkie zerowe).
(5)
Korzystajc z powyszych warunków tworzy si ukad równa liniowych w postaci:
(6)
czyli otrzymujemy:
(7)
Pochodna kosztów paliwa wzgldem mocy nazywa si przyrostem wzgldnym kosztów paliwa (z/MWh)
(8)
Z równania (7) wynika, e warunkiem minimum kosztów wytwarzania mocy w systemie, w którym pomija si straty przesyowe jest równo przyrostów wzgldnych kosztów we wszystkich ródach mocy.
3. Prosty przypadek ERO-P dwóch generatorów
Rozpatrzmy najprostszy przypadek kiedy to dwa generatory zasilaj odbiory o cznej mocy PL. Charakterystyki kosztów wytwarzania opisane s funkcjami kwadratowymi:
(9)
Charakterystyka kosztów zgodnie z równaniem (1) przyjmie posta:
(10)
Jedynym warunkiem ograniczajcym, którego nie mona zaniedba jest spenienie bilansu mocy w systemie czyli
P1 + P2 = PL (11)
Zgodnie z (3) tworzymy funkcj Lagrange'a
(12)
Ukad równa wynikajcy z warunku koniecznego (4) zawiera bdzie pochodne funkcji Lagrange'a po P1, P2 oraz i tak:
(13)
Naley teraz rozwiza powyszy ukad i wyznaczy poszukiwane wartoci P1 oraz P2. W tym celu z pierwszego równania wyznaczamy :
(14)
z trzeciego natomiast P2:
P2 = PL - P1 (15)
Otrzymane wyniki podstawiamy do równania drugiego i dostajemy zwizek tylko z jedn niewiadom P1:
(16)
Przeksztacajc dochodzimy do ostatecznej zalenoci:
(17)
W analogiczny sposób dochodzimy do zalenoci na P2, która przedstawia si nastpujco:
(18)
Interpretujc geometrycznie to zadanie mona powiedzie, e charakterystyka kosztów K(P) jest paraboloid natomiast ograniczenia równociowe wyznaczaj paszczyzn, która przecina t paraboloid wzdu krzywej. Znalezione rozwizanie wyznacza najniszy punkt tej krzywej i jest szukanym minimum.
Przykad obliczeniowy wykonano przy pomocy arkusza kalkulacyjnego Excel i zamieszczono na osobnej stronie (przykad nr 1).
4. ERO-P z uwzgldnieniem ogranicze technicznych
Jak wiadomo w praktyce moce jednostek wytwórczych musz zawiera si w technicznie dopuszczalnych granicach:
(19)
Jeli jeden z generatorów osignie warto graniczn mocy, to powstaje pytanie jak naley obcia pozostae generatory. Z oblicze optymalizacyjnych wynika, e pozostae generatory powinny by dalej obciane zgodnie z zasad równych przyrostów wzgldnych kosztów. Ponadto ograniczenia mog w ogólnym przypadku dotyczy take przepustowoci poszczególnych gazi sieci elektroenergetycznej. Czsto charakterystyki kosztów poszczególnych zespoów w elektrowniach s funkcjami wyszych stopni ni drugi.
(20)
W takim przypadku moce poszczególnych generatorów mog by wyznaczone jedynie iteracyjnie. Aby uatwi takie obliczenia moce generatorów wyraa si w funkcji wzgldnych przyrostów kosztów i:
(21)
Algorytm oblicze iteracyjnych jest nastpujcy:
Przyj warto pocztkow mnonika Lagrange'a 0.
Obliczy moce poszczególnych generatorów zgodnie z zasad równych przyrostów tj. posugujc si zalenoci (21) i przyjmujc wartoci i jednakowe i równe co do wartoci mnonikowi Lagrange'a.
Sprawdzi ograniczenia mocy wytwarzanych przez poszczególne jednostki i dokona podstawie w nastpujcy sposób:
Pi = Pi min , gdy Pi " Pi min
Pi = Pi max , gdy Pi " Pi max
Sprawdzi czy jest speniony warunek bilansu mocy w systemie
i w przypadku spenienia tego warunku zakoczy obliczenia iteracyjne. W przeciwnym razie naley wybran metod ustali now warto mnonika zgodnie z nastpujc regu:
a nastpnie powróci do punktu 2 algorytmu.
Przykad ilustrujcy zastosowanie opisanej metody przygotowano przy pomocy arkusza Excel. Mnonik Lagrange'a jest obliczany metod poówkowania w funkcji numeru iteracji it w nastpujcy sposób:
(22)
Pocztkow warto = przyjto równ 100.
Przykad umieszczono na osobnej stronie (przykad nr 2).
5. ERO-P z uwzgldnieniem strat przesyowych
Zadanie takie moe by sformuowane analogicznie jak w przedstawianym wczeniej prostym przypadku (minimalizacja nieliniowej funkcji celu) przy jednym ograniczeniu równociowym, wynikajcym z penego bilansu mocy w systemie, uwzgldniajcym take straty przesyowe.
(23)
gdzie: PL - cakowite obcienie moc czynn,
Pstr - cakowite straty mocy czynnej w sieci przesyowej.
Funkcja Lagrange'a ma w tym zadaniu nastpujc posta:
(24)
Warunki istnienia minimum s natomiast nastpujce:
(25)
std przy spenieniu bilansu mocy w systemie
warunek istnienia minimum przyjmuje posta:
(26)
lub w formie uproszczonej:
(27)
gdzie
jest tzw. wspóczynnikiem start sieciowych.
W przypadku systemu elektroenergetycznego skadajcego si z n wzów, w kadym wle moe wystpi zarówno moc generowana jak i odbierana. W takim przypadku równanie strat sieciowych mona najogólniej zapisa jako:
(28)
Pi - moc wzowa, wynikajca z bilansu mocy generowanych i odbieranych w wle i.
Jeli przyjmiemy zaoenie, e napicia w wzach sieci s równe wartociom znamionowym oraz, e wze 1 peni rol wza bilansujcego, to moce wzowe mona z pewnym przyblieniem wyrazi jedynie w funkcji wektora któw fazowych napi wzowych .
(29)
a wtedy równanie (28) przyjmie posta:
(30)
gdzie:
- wektor któw fazowych napi wzowych bez kta wza bilansujcego,
- kt fazowy napicia w wle bilansujcym.
Równanie przyrostu strat przesyowych wzgldem któw fazowych napi wzowych, po wyczeniu przed sum mocy w wle bilansujcym ma posta:
(31)
gdzie skadniki sumy (31) oblicza si wedug zalenoci:
oraz
(32)
lub w zapisie macierzowym
gdzie:
- wektor pochodnych mocy wza bilansujcego wzgldem któw fazowych pozostaych napi wzowych,
- macierz pochodnych mocy wzowych wzgldem któw dla wszystkich wzów oprócz bilansujcego.
Obliczajc wektor d ze wzoru (34) i podstawiajc do równania (33) otrzymujemy:
(35)
gdzie
- wektor wspóczynników.
Przyrost strat przesyowych (31) mona wic korzystajc z zalenoci (35) zapisa w postaci:
(36)
Równanie (36) opisuje zaleno cakowitych strat przesyowych od przyrostów mocy w poszczególnych wzach. Z kolei przyrost mocy w danym wle i mona traktowa jako przyrost mocy generowanej w tym wle :
(37)
oczywicie pod warunkiem, e moce odbiorów s stae.
Pochodne czstkowe strat wzgldem poszczególnych mocy generowanych mona wyznaczy, traktujc wszystkie moce generatorów jako stae, z wyjtkiem wybranej mocy Pgi. Wówczas zaleno (36) upraszcza si tylko do jednego skadnika sumy i ostatecznie otrzymujemy:
(38)
czyli
(39)
Konkludujc powysze rozwaania przedstawimy algorytmicznie obliczenia ERO-P z uwzgldnieniem strat przesyowych:
Przygotowa dane o wielkoci mocy odbieranej w poszczególnych wzach do oblicze rozpywów mocy - dla ustalenia konfiguracji sieci.
Przyj wstpny rozdzia mocy na generatory, aby skompletowa dane do oblicze rozpywów mocy.
Obliczy rozpyw mocy.
Obliczy straty przesyowe odpowiadajce obliczonemu rozpywowi mocy.
Obliczy macierz pierwszych pochodnych P1 oraz P - przy zaoeniu staych napi we wszystkich wzach.
Obliczy wektor wspóczynników
.
Obliczy moce generatorów wg poniszej kolejnoci:
przyj warto pocztkow 0;
obliczy przyrosty kosztów wg zasady
;
obliczy moce generatorów korzystajc z charakterystyki wzgldnych przyrostów kosztów
dla i=1,2,...,n
sprawdzi bilans mocy w systemie:
;
Jeli warto bezwzgldna bilansu mocy w systemie jest mniejsza od zadanej dokadnoci oblicze to naley przej do punktu 8 algorytmu. W przeciwnym razie naley dokona korekty mnonika Lagrange'a zgodnie z nastpujc regu:
gdy B > 0 to nowe < stare
gdy B < 0 to nowe > stare
a nastpnie powróci do punktu 7b algorytmu.
Sprawdzi warunek zbienoci oblicze:
dla i=1,...,n.
Jeli warunek ten nie jest speniony to powróci do punktu 2 algorytmu, w przeciwnym razie zakoczy obliczenia.
6. ERO jako zadanie optymalizacji rozpywów mocy czynnych i biernych
Podstawow trudnoci w zadaniu ERO-P z uwzgldnieniem ogranicze technicznych i strat przesyowych jest waciwe wyznaczenie pochodnych start przesyowych. W istocie na straty przesyowe maj wpyw nie tylko moce czynne generatorów, lecz take moce bierne odbiorów, napicia wzowe i przekadnie transformatorów. Opracowano bardzo duo metod okrelania zalenoci strat przesyowych od wielkoci wystpujcych w systemie. Zwykle jednak nakad pracy na waciwe oszacowanie pochodnych strat przesyowych jest tak duy, e atwiej jest sformuowa i rozwiza zadanie ERO jako czne zadanie ERO-P i ERO-Q w formie zadania programowania nieliniowego.
Takie ogólne zadanie optymalizacji rozpywów mocy czynnych i biernych mona sformuowa nastpujco. Punkt pracy systemu, wyznaczony z minimalizacji kosztów wytwarzania, nie powinien narusza ogranicze technicznych zwizanych z dostaw mocy elektrycznej odbiorcom. Innymi sowy, nie powinny by przekroczone dopuszczalne wartoci m. in.:
mocy czynnych jednostek wytwórczych,
regulowanych napi i odpowiadajcych im mocy biernych generowanych,
napi w wzach odbiorczych,
prdów i mocy w liniach transformatorach,
regulowanych przekadni transformatorów.
Punkt pracy, wyznaczony przy spenieniu powyszych ogranicze, jest równoznaczny z optymalnym rozpywem mocy czynnych i biernych w sieci elektroenergetycznej.
Zatem kryterialn funkcj kosztów mona zapisa:
gdzie: [x] - wektor zmiennych sterujcych, zawierajcy: moce czynne generowane, regulowane napicia wzowe i regulowane przekadnie transformatorów; n - wymiar wektora zmiennych sterujcych.
Koszty wytwarzania obejmuj równie koszt wytwarzania mocy czynnej w wle bilansujcym, co mona traktowa jako równoznaczne kosztom start przesyowych w sieci. Regulowane napicia i przekadnie decyduj bowiem o wartociach strat przesyowych, a wic tym samym o mocy czynnej w wle bilansujcym, czyli o kosztach wytwarzania w tym wle. W porównaniu z klasycznym ERO-P zwiksza si w tym przypadku wymiar zadania optymalizacyjnego o nowe zmienne sterujce.
Minimum funkcji kryterialnej poszukuje si zarówno w obszarze ogranicze równociowych, zwizanych z równaniami rozpywów mocy.
g([x])=0
jak i obszarze ogranicze nierównociowych, wynikajcych z ogranicze technicznych generacji i przesyu mocy:
h([x])"0.
Pene zadanie optymalizacji rozpywów mocy mona wic sformuowa nastpujco:
.
Jeli funkcja kryterialna jest wypuka w dó i róniczkowalna oraz obszar ogranicze równociowych i nierównociowych jest wypuky, to minimum funkcji kryterialnej mona wyznaczy metoda wynikajc z twierdzenia Kuhna - Tuckera. Zgodnie z tym twierdzeniem, minimum warunkowe funkcji f([x]), w obszarze ogranicze równociowych i nierównociowych, wystpuje w tym samym punkcie co punkt siodowy funkcji Lagrange'a:
przy czym
gdzie:
- mnoniki Lagrange'a;
- mnoniki Kuhna - Tuckera;
p - liczba ogranicze równociowych;
m - liczba ogranicze nierównociowych.
Twierdzenie Kuhna - Tuckera nie prowadzi jednak do prostej metody rozwizania zadania, zwaszcza gdy liczba zmiennych jest bardzo dua, jak to ma miejsce w systemie elektroenergetycznym. Dlatego tez opracowano wiele praktycznych metod optymalizacji rozpywów mocy:
Wszystkie metody mona podzieli na cztery zasadnicze grupy:
Metody wykorzystujce bezporednio równania i nierównoci wynikajce z metody Kuhna - Tuckera.
Metody sprowadzajce optymalizacj rozpywów mocy do zadania minimalizacji nieliniowej funkcji celu z ograniczeniami równociowymi.
Metody linearyzacji zadania i rozwizywania go metodami programowania liniowego.
Metody funkcji kary.
Praktyczne znaczenia maj metody grup 2 i 4 wykorzystujce do rozwizywania ogranicze równociowych standardowy program rozpywów mocy.
7. Optymalizacja rozpywów mocy czynnych i biernych jako zadanie minimalizacji nieliniowej funkcji celu z ograniczeniami równociowymi.
Dommel i Tinney zaproponowali wczenie ogranicze nierównociowych do funkcji celu , w postaci kary za przekroczenie ogranicze:
gdzie:
rj - zmienna dwustanowa równa bardzo duej wartoci, gdy nie jest spenione ograniczenie nierównociowe i równa zeru, gdy ograniczenie nierównociowe jest spenione;
[v] - wektor zmiennych zalenych, czyli napi i któw wzowych.
W efekcie powyszego podstawienia ogólne zadanie optymalizacji zostao zamienione na zadanie minimalizacji nieliniowej funkcji celu z liniowymi ograniczeniami równociowymi, dla których mona ju zastosowa metod Lagrange'a. Funkcja Lagrange'a w tym przypadku bdzie miaa posta:
gdzie - wektor mnoników Lagrange'a.
Punkt odpowiadajcy minimum funkcji Lagrange'a otrzymuje si rozwizujc poniszy ukad równa, wynikajcy z przyrównania pierwszych pochodnych tej funkcji do zera wzgldem wektorów [x], [v] oraz []:
Algorytm rozwizania tych równa jest nastpujcy:
Przyj wstpne wartoci sterowa [x], jako dane wejciowe do rozpywów mocy.
Rozwiza trzecie równanie ukadu ze wzgldu na wektor [v], wykorzystujc standardowy program rozpywów mocy.
Z drugiego równania ukadu wyliczy wektor mnoników Lagrange'a:
Obliczy warto gradientu
Wyznaczy nowe wartoci wektora sterowa
, gdzie c - dugo kroku gradientowego. Ograniczenia dla sterowa s wprowadzane automatycznie, z chwila przekroczenia granicy górnej lub dolnej
Jeli przyjt norma
jest mniejsza od zaoonej dokadnoci oblicze to naley zakoczy iteracje. W przeciwnym razie powróci do punktu 2 algorytmu.
Zalet metody Dommela i Tinneya jest atwo oprogramowania, gdy mona tu wykorzysta istniejcy program komputerowy rozpywów mocy do rozwizania ogranicze równociowych. Wada metody jest natomiast konieczno okrelenia a priori wspóczynników kary rj. Wspóczynniki te powinny mie praktyczne uzasadnienie. W obliczeniach rzeczywistych czsto dopuszcza si, by rozwizanie optymalne nieznacznie przekraczao ograniczenia napiciowe i prdowe np. w odniesieniu do napi wzach odbiorczych.
8. Optymalizacja rozpywów mocy czynnych i biernych metod funkcji kary
Metoda funkcji kary polega na przeksztaceniu zadania minimalizacji z ograniczeniami nieliniowymi w szereg zada minimalizacji bez ogranicze. W tym celu tworzy si funkcj kary, która najczciej ma posta:
gdzie ri , rj - parametry zwikszajce wartoci funkcji naruszanych ogranicze.
Jest to wic zewntrzna funkcja kary, speniajca wymagania definicji funkcji kary. Funkcja kary powinna by bowiem tak dobrana, aby przy ustalonej wartoci parametru r wyznaczony punkt minimum zmodyfikowanej funkcji kryterialnej T mona byo przyj za przyblienie punktu minimum funkcji f([x]), przy spenieniu warunków nieliniowych ogranicze równociowych i nierównociowych. Przyblienie takie jest tym dokadniejsze, im szybciej ronie funkcja kary przy naruszeniu ogranicze, czyli im wiksza jest warto parametru r. Istota metody funkcji kary polega na dobraniu odpowiedniej postaci funkcji kary T([x],[r]), a nastpnie rozoeniu zadania minimalizacji funkcji f([x]) na cig zada minimalizacji funkcji T([x],[r]) ze zmiennymi parametrami [r]. Wobec powyszego wyznaczenie punktu [x0], w którym funkcja f([x]) osiga minimum w obszarze ograniczonym, zostaje zastpiony cigiem zada poszukiwania minimum funkcji T([x],[r]{k}) bez ogranicze, gdzie [r]{k} - wektor parametrów zmiennych funkcji kary w k=1,2,... zadaniu optymalizacyjnym. Przy czym cig parametrów {ri{k};i=1,2,...,m+p} wzgldem k musi spenia warunek
i=1,2,...,m+p
Powstaje pytanie jak rozstrzygn czy punkt [x0]([r]{k})=[x0]{k} mona przyj za wystarczajce przyblienie rozwizania penego zadania minimalizacji funkcji f([x]) z ograniczeniami. W przypadku zewntrznej funkcji kary warunki te mog by sformuowane nastpujco:
gdzie , j - wartoci kryterialne.
Wad omawianej metody jest fakt, e ze wzgldu na szybki wzrost wartoci funkcji kary, po niespenieniu warunków ograniczajcych zwiksza si zwykle nakad oblicze. Skadniki zwizane z ograniczeniami nierównociowymi wystpuj w funkcji kary tylko wtedy, gdy dane ograniczenie jest przekroczone, w przeciwnym razie s one równe zeru. Minimum funkcji kary moe by wyznaczone wybran metod znajdowania punktu minimum funkcji bez ogranicze.
Wszystkie metody dziel si na gradientowe i bezgradientowe. Te ostatnie zwane s równie metodami bezporednimi. Z punktu widzenia optymalizacji rozpywów mocy najczciej s stosowane metody gradientowe, ze wzgldu na fakt, e wykorzystywana tu zewntrzna funkcja kary jest róniczkowalna. Algorytm gradientu jest nastpujcy:
gdzie:
G([x]{k}) - gradient funkcji kary w k-tym kroku minimalizacji,
ck - wspóczynnik dugoci kroku.
W algorytmie gradientu punkt pocztkowy [x]{0} wybiera si dowolnie, a wspóczynnik dugoci kroku c0,c1,c2,... musz by dodatnie i tak dobrane, aby zapewniay zbieno do punktu minimum. Wektor -G([x]{k}) okrela w punkcie [x]{k} kierunek najszybszego spadku wartoci funkcji T([x],[r]). W celu znajdowania punktu minimum jest stosowany równie algorytm Newtona. Przyrost funkcji kary aproksymuje si w otoczeniu punktu [x]{k} funkcj kwadratow:
gdzie H - macierz drugich pochodnych zwana hesjanem.
Funkcja kary z zaoenia jest cile wypuka w dó i jej hesjan jest dodatnio okrelony, a to oznacza, e minimum w otoczeniu tego punktu wynika z przyrównania pierwszej pochodnej do zera:
Poniewa punkt rozwinicia w szereg jest tylko przyblieniem nieznanego optymalnego punktu, dlatego z rozwizania ukadu równa liniowych uzyskuje si poprawki, które pozwalaj wyznaczy nowe przyblienie punktu minimum w k-tym zadaniu optymalizacyjnym
Obliczenia koczy si jeeli [x]{k} jest mniejszy od zadanej dokadnoci oblicze.
Literatura:
Kremens Z., Sobierajski M.: Analiza systemów elektroenergetycznych. Warszawa, WNT 1996.
Bernas S., Miczuk A., Zdun Z., Ziemianek S.: Laboratorium optymalizacji pracy systemu elektroenergetycznego. Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1986.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Funkcjonowanie systemu elektroenergetycznego
zwarcie w systemie elektroenergetycznym
elementy systemĆ³w elektronicznych
01 WiadomoÅci ogĆ³lne o systemie elektroenergetycznym
Sieci i systemy elektroenergetyczne wyklad # 10 2006
Sieci i systemy elektroenergetyczne wyklad 12 2006
Äwiczenie 14 inteligentne systemy elektryczne, systemy inteligentne
referat Budowa systemu elektroenergetycznego, szkoÅa
Sieci i systemy elektroenergetyczne wyklad 10 2006
Sieci i systemy elektroenergetyczne wyklad 11 2006
Charakt zmian napi cia w systemie elektroenerg
Sieci i systemy elektroenergetyczne wyklad 11 2006
Systemy Elektroenergetyczne W9 11
09 Regulacja w systemie elektroenergetycznym
Inteligentne systemy elektryczneLON
Inteligentne systemy elektryczne7(struktura logiczna)
,Eksploatacja systemow elektron Nieznany (2)
Zwarcia symetryczne trĆ³jfazowe w systemie elektroenergetycznym
wiÄcej podobnych podstron