Dr inż. Michał Prącik , dr inż. Wiesław Cichocki
Instytut Konstrukcji Maszyn
Politechnika Krakowska
Tomasz Szlachetka
Student Instytutu Matematyki
Uniwersytet Jagielloński
Jakość wyznaczania przekrojów Poincarego przy badaniach
dynamiki modeli hydraulicznych układów sterowania *
Symulacyjne modele hydraulicznych układów sterowania budowane są na podstawie znajomości ich struktury, zasad działania i konstruowania elementów składowych tych układów, często przy wykorzystaniu modeli matematycznych opisujących ciągłe układy sterowania o parametrach skupionych. Współcześnie w technice regulacji automatycznej powszechnie używane są regulatory cyfrowe (dyskretne). Opis matematyczny liniowych dyskretnych układów regulacji obejmuje m.in. zastosowania funkcji dyskretnych, równań różnicowych (zamiast różniczkowych), przekształcenia Z. Dynamikę obiektów i procesów dyskretnych przedstawia się w postaci dyskretnych transmitancji różnych modeli - prostych
i złożonych - elementów automatyki: inercyjnych, całkujących, czy z opóźnieniem.
Na podstawie transmitancji układu ciągłego G(s), można wyznaczyć transmitancję dyskretną G(z) a jedną z metod jest numeryczne całkowanie równań różniczkowych, dokonywane np. metodą trapezów [3]. Transmitancja G(z) otrzymana taką drogą bardzo często charakteryzuje się brakiem cechy minimalnofazowości, czyli możliwością występowania niestabilności układu w miejscach zerowych licznika wyrażenia określającego transmitancję. Jako przyczynę nieminimalnofazowości podaje się [3] istnienie w wyjściowym modelu ciągłym opóźnienia nie będącego całkowitą wielokrotnością okresu próbkowania.
W badaniach układów wykazujących zachowania chaotyczne używa się różnych metod analitycznych i numerycznych. Jednym z przydatnych narzędzi analizy takich zachowań jest przekrój Poincarego. Istotą konstrukcji przekroju Poincarego jest metoda „stroboskopowego podglądu” portretu fazowego danego układu dynamicznego - podglądu realizowanego
w stałych odcinkach czasu T. Zwykle 1/T odpowiada podstawowej częstotliwości wymuszenia działającego na układ albo pierwszej harmonicznej częstotliwości drgań własnych. Niewspółmierność okresu T z okresem próbkowania t sygnału pochodzącego
z badanego układu jest przyczyną błędów w przedstawianiu przekrojów Poincarego.
Autorzy pracy wskazują na możliwość poprawy jakości wyników obliczeń i prezentacji przekrojów. Wykorzystanie funkcji sklejanych, przy interpolacji szeregów czasowych uzyskanych w procesie zbierania dyskretnych danych i przejście do czasu ciągłego, umożliwiają analizę zachowań hydraulicznego układu sterowania, na podstawie interpretacji poprawnych przekrojów Poincarego,
Literatura
[1] Abarbanel H.D.I.: Analysis of Observed Chaotic Data. Springer- Verlag, New York
Berlin Heidelberg 1995
[2] Baker G.L., Gollub J.P.: Wstęp do dynamiki układów chaotycznych, PWN Warszawa 1998
[3] Brzózka J.: Regulatory cyfrowe w automatyce, Wyd. Mikom, Warszawa 2002
________________________________
* Praca zrealizowana w ramach projektu PB - 1126/T07/2002/22