WSKAŹNIKI

NIEZAWODNOŚCI cd.

• W praktycznym zastosowaniu przy

projektowaniu i badaniu obiektów

technicznych znalazły zastosowanie

tylko niektóre wskaźniki ze zbioru,

jakim dysponuje teoria niezawodności.

• Podstawowym wskaźnikiem jest

prawdopodobieństwo poprawnej

pracy obiektu R(t) = P(T≥t)

gdzie:
•

T – zmienna losowa określająca

czas przebywania obiektu w stanie

zdatności,

• t – wymagany czas zdatności.

Przebieg w czasie funkcji

prawdopodobieństwo poprawnej pracy

t

R

(t

)

1

0

Oszacowanie statystyczne z
próbki dla ustalonej chwili t:

gdzie:

n(t) – liczba obiektów, które w
przedziale (0,t> nie uszkodziły
się,
n(0) - liczba badanych obiektów.

)

0

(

)

(

)

(

*

n

t

n

t

R



Empiryczna funkcja prawdopodobieństwa

poprawnej pracy obiektu

• Prawdopodobieństwo

uszkodzenia obiektu

• Prawdopodobieństwo

zdarzenia, że w przedziale
<0,t) obiekt uszkodzi się.

)

(

1

)

(

)

(

t

R

t

T

P

t

F









1

0,5

0

t

R(t)
F(t)

R(t)

F(t)

•

a oszacowanie statystyczne z próbki
dla ustalonej chwili t

• gdzie:
• m(t) – liczba obiektów uszkodzonych

w przedziale czasu <0,t),

• n(0) – liczba badanych obiektów

(liczba nieuszkodzonych obiektów w
chwili 0).

)

0

(

)

(

)

(

*

n

t

m

t

F



Jeżeli F(t) jest funkcją ciągłą, to

istnieje funkcja:

t

t

t

R

t

R

t

t

R

t

t

R

dt

t

dR

t

R

t

R

dt

t

F

d

t

F

t

f











































)

(

)

(

)]

(

)

(

[

)

(

)

(

'

)'

(

1

(

)

(

(

)

(

'

)

(

• W populacji obiektów tak licznej,

aby można było założyć
funkcjonowanie prawa wielkich
liczb z powyższego wynika, że
gęstość prawdopodobieństwa
można interpretować, jako spadek
niezawodności w małym
przedziale czasowym.

Empiryczny wskaźnik gęstości

prawdopodobieństwa wyznacza się z
zależności:

Dla ustalonej chwili t:

gdzie:

- liczba uszkodzonych obiektów w
przedziale od t do
n(0) – liczba maszyn nieuszkodzonych w
chwili 0 (liczba badanych maszyn),

- przedział czasu, w którym

prowadzimy obserwacje.

t

n

t

t

t

m

t

f











)

0

(

)

,

(

)

(

*

)

,

(

t

t

t

m







t



t

t





Ze wzoru empirycznego

wynika, że wskaźnik ten mówi

o liczbie uszkodzonych

obiektów przypadających na

jeden badany obiekt w małym

przedziale czasu.

Tz t

f*

(t

)

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa f(t); Tz – średni czas zdatności

• Jeżeli istnieje funkcja gęstości

prawdopodobieństwa, to można
określić następną funkcję
charakteryzującą niezawodność
obiektów, którą nazywamy
intensywnością uszkodzeń.

Intensywność uszkodzeń.

Wskaźnik ten jest gęstością

warunkową powstania

uszkodzenia w chwili t pod

warunkiem, że do tej chwili

obiekt pracował bez

uszkodzenia. Jest to względny

spadek niezawodności bo

odnosimy go do R(t)

t

t

R

t

t

R

t

R

t

R

t

R

t

R

t

f

t

















)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(



Dla ustalonej chwili t wskaźnik empiryczny ma postać:

gdzie:

- liczba uszkodzonych obiektów w przedziale od t

do
n(t) – liczba maszyn nieuszkodzonych w przedział czasu

<0,t),
- przedział czasu, w którym prowadzimy obserwacje.

Ze wzoru na funkcję intensywności uszkodzeń wynika, jaka

część obiektów ulegnie uszkodzeniu w przedziale czasowym

,

gdy jako podstawę przyjmiemy liczbę obiektów zdatnych w

chwili t

Wskaźnik ten możemy interpretować, jako liczbę uszkodzeń

przypadających na jeden nieuszkodzony obiekt w małym

przedziale czasu.

,

1

n(t)

,

)

(

)

,

(

)

(

*













t

t

n

t

t

t

m

t



)

,

(

t

t

t

m







t

t





t



t



I

I

III

II

0

)

(



dt

t

d



0

)

(



dt

t

d



0

)

(



dt

t

d



t

)

(t



Wykres intensywności

uszkodzeń

Przedział pierwszy

• W przedziale pierwszym intensywność uszkodzeń

jest funkcją malejącą. Jest to tzw. wstępny okres

eksploatacji, zwany też okresem adaptacji i

docierania, w czasie którego uszkadzają się

elementy o niskiej niezawodności. W okresie tym

ujawniają się ukryte wady materiałów, błędy

konstrukcji, montażu, niedopatrzenia kontroli,

usterki powstałe w czasie transportu i

przechowywania oraz inne tego typu usterki

obiektu. Na uszkodzenia mają też wpływ

umiejętności użytkownika, który uczy się

obsługiwać urządzenie (adaptacja).

Przedział drugi

• W przedziale drugim intensywność

uszkodzeń jest stała. Jest to tzw. okres

normalnej eksploatacji, w którym dominują

uszkodzenia spowodowane przez czynniki

losowe, np. nagłe przeciążenie w trudnych

warunkach pracy. Uszkodzenia takie można

by było wykluczyć biorąc, pod uwagę w

obliczeniach i projektowaniu granicznie

ciężkie warunki eksploatacji. Prowadziłoby

to jednak do zbyt dużych ciężarów własnych

maszyn. Długość tego okresu zależy od

warunków eksploatacji i konserwacji

urządzeń.

Przedział trzeci

• W przedziale trzecim intensywność

uszkodzeń jest funkcją rosnącą.

Spowodowane jest to głównie procesami

zużyciowo-starzeniowymi. W elementach

urządzeń długo eksploatowanych zachodzą

nieodwracalne zmiany fizyczne i chemiczne,

zmniejszające ich wytrzymałość. Na skutek

zużycia warstwy wierzchniej elementów

współpracujących powiększają się luzy, a

osłabione elementy ulegają deformacjom.

Jest to więc okres zwiększania się

prawdopodobieństwa wystąpienia uszkodzeń.

• Kształt jaki przybiera funkcja

intensywności uszkodzeń jest
podstawą doboru probabilistycznego
modelu niezawodności badanych
urządzeń.