WYKŁAD IV

NIEZAWODNOŚĆ

I TRWAŁOŚĆ

MASZYN I URZĄDZEŃ

NIEZAWODNOŚĆ I TRWAŁOŚĆ

URZĄDZEŃ I MASZYN

• Definicja: Niezawodność jest to prawdopodobieństwo

poprawnej pracy obiektu technicznego w określonych
warunkach eksploatacji i w określonym przedziale czasu

NIEZAWODNOŚĆ I TRWAŁOŚĆ

URZĄDZEŃ I MASZYN

• Warunki eksploatacji: zespół wszystkich

czynników zewnętrznych działających na
obiekt, które wpływają na jego poprawną
pracę

• Niezawodność to jedna z ważniejszych

cech użytkowych, która określa dla danej
zbiorowości obiektów przewidywaną
liczbę egzemplarzy, które będą pracować
bez uszkodzeń przez zadany przedział
czasu

NIEZAWODNOŚĆ I TRWAŁOŚĆ

URZĄDZEŃ I MASZYN

• CHARAKTERYSTYKI NIEZAWODNOŚCIOWE

OBIEKTÓW TECHNICZNYCH (OT) BADANYCH
DO I-EGO USZKODZENIA

• Funkcja niezawodności:

• Niezawodność jest to prawdopodobieństwo, że czas

pracy obiektu technicznego (T) będzie większy od
interesującego nas w chwili eksploatacji (t)

ści)

niezawodno

(Funkcja

Reability

)

(









t

T

P

t

R

t

NIEZAWODNOŚĆ I TRWAŁOŚĆ

URZĄDZEŃ I MASZYN

• DYSTRYBUANTA: funkcja zawodności

• oznacza, że prawdziwy czas pracy będzie nie

większy niż interesujący nas czas eksploatacji (t)

• FUNKCJA GĘSTOŚCI

PRAWDOPODOBIEŃSTWA CZASU PRACY
obiektu technicznego do uszkodzenia: mówi
nam o liczbie, częstości uszkodzeń w czasie ,
wyrażona zależnością

)

(

1

)

(

t

R

t

F





dt

t

dF

t

f

)

(

)

( 

)

(

)

(

t

T

p

t

F





NIEZAWODNOŚĆ I TRWAŁOŚĆ

URZĄDZEŃ I MASZYN

• FUNKCJA INTENSYWNOŚCI USZKODZEŃ: warunkowa

funkcja gęstości- krzywa zużycia, funkcja ryzyka, krzywa
wannowa informuje o stopniu zagrożenia, że obiekt z danej
populacji ubędzie

• WARTOŚĆ OCZEKIWANA CZASU PRACY DO

USZKODZENIA

)

(

)

(

)

(

t

R

dt

t

dR

t















0

0

)

(

)

(

dt

t

R

T

t

E

,T

o

- średni czas

pracy

Krzywa dzwonowa

(Gausa)

WYMAGANIA PRZY USTALANIU

NIEZAWODNOŚCI OBIEKTU

• ilościowe: określenie niezawodności w postaci

prawdopodobieństwa

• wyraźne: określenie, co się rozumie pod

pojęciem sprawne działanie obiektu

• określenie warunków środowiskowych, w

których ma sprawnie działać obiekt

• określenie wymaganego czasu sprawnego

działania między uszkodzeniami (bez tego
wyznaczona wartość niezawodności traci sens w
odniesieniu do obiektów naprawialnych)

PRZYCZYNY ZAINTERESOWANIA

NIEZAWODNOŚCIĄ OBIEKTÓW

TECHNICZNYCH

• wzrost złożoności technicznej wyrobów

• zaostrzenie warunków eksploatacji

• aspekt ekonomiczny

 rozwój techniki zmierza w kierunku wzrostu

złożoności technicznej wyrobów

 wzrost liczby części obiektów (urządzenia)

sprawia, że konstrukcja może być bardziej
zawodna

PRZYCZYNY NIEZAWODNOŚCI

OBIEKTÓW TECHNICZNYCH

• zaostrzenie warunków eksploatacji to tendencja do

stosowania coraz większych wartości parametrów
użytkowania obiektów technicznych takich jak: temperatura,
obciążenia, ciśnienie, prędkość, przyśpieszenie, obroty itp.)

• ekstremalne warunki pracy i postaci konstrukcji obiektów

technicznych rodzą obawy, że obiekty techniczne mogą
okazać się bardziej zawodne

• wymieniony aspekt ekonomiczny wynikający z faktu, że

uszkodzenie elementu, nawet małej wartości, wchodzącego
w skład obiektu złożonego może być przyczyną wyłączenia z
pracy całego obiektu

• przestój obiektu powoduje określone starty ekonomiczne

POPRAWNOŚCI

FUNKCJONOWANIA OBIEKTU

• Zakładamy, ze mamy obiekt techniczny składający się z „K” elementów

rys.1

Ω(k)
w

τ

(k)

Rys.1. Poprawne funkcjonowanie obiektu

• Ω(k) - jest zbiorem wymagań w stosunku do tego obiektu
• τ- czas obserwacji obiektu
• w

τ

(k) - zbiorem reakcji (zbiorem charakteryzującym funkcjonowanie obiektu w

czasie)

• poprawne funkcjonowanie obiektu rys. 1, oznaczone jako „s” zachodzi,

gdy:

s

k

k

w







)

(

)

(



NIEPOPRAWNE

FUNKCJONOWANIE OBIEKTU

• zachodzi wtedy gdy:
co przedstawia rys.2.

Ω(k)

w

τ

(k)

Rys.2. Niepoprawne funkcjonowanie obiektu

• pojęcia poprawnego i niepoprawnego

funkcjonowania obiektu posłużą do sformułowania
miar niezawodności, czyli wskaźników, za pomocą,
których można oszacować niezawodność

s

k

k

w







)

(

)

(



NAPRAWIALNOŚĆ

• Definicja: podatność elementów, zespołów lub całych

urządzeń czy maszyn na odtwarzanie zdatności
użytkowej przez naprawę (remont)

• element/obiekt nienaprawialny to element obiektu

eksploatacji lub cały obiekt, który może być użytkowany
zgodnie z przeznaczeniem jedynie do pierwszego
uszkodzenia

• po wystąpieniu uszkodzenia (utraty zdatności) element

taki podlega wymianie na element sprawny

• typowe przykłady elementów nienaprawialnych to: liny,

żarówki, łożyska toczne, okładziny szczęk hamulcowych

ELEMENT (OBIEKT)

NAPRAWIALNY

• Definicja: należy rozumieć składnik obiektu eksploatacji

lub cały obiekt, który może być używany zgodnie z
przeznaczeniem również po wystąpieniu uszkodzenia
(utraty zdolności)

• aby to było możliwe, taki element lub obiekt podlega

odnowie zdatności eksploatacyjnej (naprawie lub
remontowi)

• rzeczywiste obiekty eksploatacji są najczęściej układami

elementów naprawialnych i nie naprawialnych

• podsumować można w ten sposób, że obiekt złożony jest w

części naprawialny, jak również w części nienaprawialny

MIARY NIEZAWODNOŚCI

ELEMENTÓW

NIENAPRAWIALNYCH

• badania niezawodności elementów umożliwiają

oszacowanie ich miar niezawodności dzięki statystyce
matematycznej

• celem badań statystycznych jest wyciąganie wniosków o

pewnych zbiorach- populacjach składających się z
elementów danego zbioru bądź ze względu na ich:

 mnogość
 koszty
 niebezpieczeństwo zniszczenia

• badania te mogą obejmować tylko część populacji

„zwaną próbką: i na podstawie wyników badania jej
elementów wyciąga się wnioski o całej populacji

MIARY NIEZAWODNOŚCI

ELEMENTÓW

NIENAPRAWIALNYCH c.d.

• należy podkreślić, że na ogół bada się tylko próbkę, a nie całą

populację, przeto wnioski wyciągane o całej populacji nie są
pewne, lecz mniej lub bardziej prawdopodobne

• dlatego w badaniach statystycznych podczas opracowania

wyników korzysta się z rachunku prawdopodobieństwa

• miary (wskaźniki) niezawodności szacuje się metodami

statystycznymi- na ogół dwoma sposobami:

 I metoda polega na określeniu wartości tych miar w odniesieniu

do populacji (znana postać rozkładu zmiennej) i czasu zdatności
obiektu

 II metoda polega na bezpośrednim oszacowaniu statystycznym

wartości tych miar z próbki (tzw. Empiryczne miary
niezawodności)

FUNKCJA NIEZAWODNOŚCI R(t)

•

Definicja: w ujęciu statystycznym niezawodność mierzy
się prawdopodobieństwem wystąpienia utraty przez
obiekt zdolności do pełnienia swych funkcji

•

podstawową miara niezawodności obiektu jest
prawdopodobieństwo poprawnego jego działania w
określonym czasie i w określonych warunkach

•

miara niezawodności jest z definicji wielkością
bezwymiarową, przyjmującą wartości z przedziału [0,1]:

 wartość „1” odpowiada obiektowi całkowicie niezawodnemu
 wartość „0” odpowiada obiektowi całkowicie zawodnemu

FUNKCJA NIEZAWODNOŚCI R(t)

c.d.

• za miarę niezawodności można przyjąć

prawdopodobieństwo poprawnego funkcjonowania obiektu
po upływie czasu „t”, co zapisać można zależnością:

gdzie:

R(t)- funkcja niezawodności
p- prawdopodobieństwo trwania obiektu w stanie „s” w

każdej

chwili
t- z przedziału od 0 do t
s- stan poprawnego funkcjonowania obiektu
s

τ

- stan obiektu w dowolnej chwili

τ- z przedziału od 0 do τ





t

s

s

p

t

R













0

)

(

FUNKCJA NIEZAWODNOŚCI R(t)

c.d.

• przyjmujemy, że obiekt rozpoczyna pracę w chwili τ=0

• jeżeli w chwili „t” nastąpi jego uszkodzenie

(niepoprawne funkcjonowanie), to czas t = T nazywamy
czasem istnienia elementu nienaprawialnego, okresem
trwałości lub krótko trwałością

• trwałość „T” jest to wielkość zmienna losowo

(przypadkowo), która wyznacza czas poprawnej pracy
obiektu, czyli czas do jego uszkodzenia

• wobec tego funkcję niezawodności można zapisać też

jako:

R(t)= p{T≥t}

FUNKCJA ZAWODNOŚCI F(t)

•

dopełnieniem funkcji niezawodności jest funkcja
zawodności F(t)

•

stosując analogiczny zapis można napisać, że:

•

zależność powyższa oznacza, że funkcja zawodności
jest określana przez prawdopodobieństwo wystąpienia
niepoprawnego funkcjonowania obiektu w przedziale
czasu od 0 do t, a więc prawdopodobieństwo
wystąpienia uszkodzenia do chwili t.

}

0

{

)

(

t

s

s

p

t

F













}

{

)

(

t

T

p

t

F





WYKRESY FUNKCJI

NIEZAWODNOŚCI I FUNKCJI

ZAWODNOŚCI

Przykładowe funkcje: niezawodności- R(t) i zawodności- F(t)

Zdarzenia {T<t} i {T≥t} sa zdarzeniami
przeciwstawnymi, stąd:

R(t)=1-

F(t)

OMÓWIENIE FUNKCJI

NIEZAWODNOŚCI I FUNKCJI

ZAWODNOŚCI

• przedstawione funkcje charakteryzujące zmienną

losową T (czas pracy do uszkodzenia elementu
nienaprawialnego) można, wyznaczyć doświadczalnie
(empirycznie), gdy dysponuje się odpowiednio liczną
próbką reprezentującą badaną populację elementów
(obiektów) tego samego rodzaju

• zakładamy, że badamy próbkę składającą się z „N”

elementów tego samego rodzaju (np. żarówki,
łożyska, liny)

• liczbę elementów uszkodzonych do chwili „t”

oznaczamy n(t)

OMÓWIENIE FUNKCJI
NIEZAWODNOŚCI I FUNKCJI
ZAWODNOŚCI

• gdy dowolne t ≥ 0, to 0 ≤ n(t) ≤ N
• wówczas empiryczną (doświadczalną) funkcję

niezawodności (oszacowanie statystyczne funkcji
i niezawodności z próbki obiektów) można
określić następującą zależnością

• Empiryczna funkcja zawodności (oszacowanie

statystyczne funkcji zawodności z próbki
obiektów)

N

t

n

N

t

R

N

)

(

)

(

ˆ





N

t

n

t

F

N

)

(

)

(

ˆ

