Dr inż. Tadeusz SALAMONOWICZ
PODSTAWY EKSPLOATACJI TECHNICZNEJ
Semestr 6
2 godz. wykładu + 1 godz. ćwiczeń audytoryjnych
Zakres przedmiotu:
Eksploatacja: pojęcia, zakres zagadnień. System eksploatacji, proces eksploatacji.
Zmiany stanu technicznego obiektu: natura fizyczna, opis losowy (statystyczny). Niezawodność obiektów.
Modele niezawodności obiektów nienaprawialnych. Rodzaje uszkodzeń.
Struktury niezawodnościowe obiektów złożonych. Rezerwowanie.
Modele niezawodności obiektów naprawialnych. Procesy odnowy. Gotowość obiektów technicznych.
Rozpoznawanie stanu technicznego obiektu i jego elementów. Podstawy diagnostyki technicznej.
Wielostanowe procesy eksploatacji. Opis i miary.
Utrzymanie obiektów w gotowości technicznej: profilaktyka, wymiana, naprawa. Strategie eksploatacyjne.
Badania eksploatacyjne.
Literatura uzupełniająca:
Bobrowski D. Modele i metody matematyczne teorii niezawodności. WNT, Warszawa, 1985,
Dwiliński L. Wstęp do teorii eksploatacji obiektu technicznego. Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej. Warszawa, 1991,
Kaźmierczak J. Eksploatacja systemów technicznych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej. Gliwice, 2000,
Smalko Z. Podstawy eksploatacji technicznej pojazdów. Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej. Warszawa, 1998,
Zaliczenie przedmiotu:
Bez egzaminu,
2 kolokwia na ćwiczeniach - zadania,
2 kolokwia na wykładzie - materiał wykładowy.
Niezawodność obiektu - własność, która wyraża się poprawnym wykonywaniem przez obiekt założonych zadań w określonych warunkach i określonym czasie.
Inaczej
Niezawodność obiektu określa stopień zaufania, że
w rozpatrywanym przedziale czasu obiekt zachowa zdolność do wypełniania swoich funkcji.
Formalnym (matematycznym) wyrażeniem tego zaufania jest prawdopodobieństwo nieuszkodzenia obiektu.
Zmienną losową
charakteryzują ciągłe względem czasu funkcje określone dla
:
dystrybuanta
,
gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
,
funkcja niezawodności
,
intensywność uszkodzeń
,
Dystrybuanta zmiennej losowej
(funkcja zawodności) to prawdopodobieństwo uszkodzenia obiektu do chwili
, dla
przy czym
Funkcja niezawodności
- prawdopodobieństwo, że do chwili
nie nastąpi uszkodzenie.
, dla
Zakładając, że uszkodzenie obiektu (do chwili
, lub później) jest zdarzeniem pewnym:
,
Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
jest pochodną dystrybuanty
dla
Intensywność uszkodzeń
definiuje się jako:
; dla
Oznaczamy:
- prawdopodobieństwo warunkowe, że nie nastąpi uszkodzenie w przedziale
pod warunkiem, że nie nastąpiło w przedziale
.
Zgodnie z twierdzeniem Bayesa na prawdopodobieństwo warunkowe można zapisać:
- prawdopodobieństwo warunkowe, że nastąpi uszkodzenie w przedziale
pod warunkiem, że nie nastąpiło w przedziale
.
Otrzymana granica jest lokalną (w chwili
) funkcją zawodności będącą warunkową gęstością prawdopodobieństwa powstania uszkodzenia w chwili
, pod warunkiem, że do chwili
uszkodzenie nie nastąpiło.
Oznaczamy ją
i nazywamy intensywnością uszkodzeń.
Każda z czterech zdefiniowanych funkcji
,
,
,
w sposób jednoznaczny określa zmianę losową
, determinując tym samym postać pozostałych funkcji.
Poprzez dystrybuantę
wyrazić je można jako:
Poprzez gęstość
wyrazić je można jako:
Poprzez funkcję niezawodności
wyrazić je można jako:
Znając funkcję intensywności uszkodzeń
, w celu wyznaczenia pozostałych funkcji rozwiązujemy równanie różniczkowe:
o warunku początkowym
Równanie całkujemy obustronnie w granicach od
do
Wielkości znane
Wielkości |
F(t) |
f(t) |
R(t) |
(t) |
F(t) |
--- |
|
|
|
f(t) |
|
--- |
|
|
R(t) |
|
|
--- |
|
(t) |
|
|
|
--- |
Wskaźniki liczbowe niezawodności
wartość oczekiwana
;
całkujemy przez części wg:
,
wariancja
po scałkowaniu przez części otrzymujemy:
,
Wielkość
oznacza średni czas życia obiektu,
a
przeciętne odchylenie czasu życia obiektów od oczekiwanego
.
Zmiany stanu technicznego spowodowane wymuszeniami skokowymi:
stała wartość dopuszczalna
zmienna wartość dopuszczalna
Przy dowolnym wymuszeniu zmiana stanu technicznego obiektu (przekroczenie wartości granicznej, uszkodzenie)
może nastąpić z prawdopodobieństwem
i nie nastąpić z prawdopodobieństwem
.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że uszkodzenie nastąpi przy
wymuszeniu?
Niech:
- zdarzenie polegające na wystąpieniu uszkodzenia
- zdarzenie polegające na niewystąpieniu uszkodzenia
Wystąpienie uszkodzenia przy
wymuszeniu oznacza wystąpienie
wymuszeń, przy czym przy
uszkodzenie nie nastąpiło a przy
nastąpiło.
- zdarzenie łączne odpowiadające sytuacji, że uszkodzenie nastąpiło przy
wymuszeniu
gdzie:
- prawdopodobieństwo zmiany przy
wymuszeniu
gdzie:
- czas pozostawania w wymaganym stanie (stanie zdatności) mierzony liczbą wymuszeń
Ponieważ:
stąd
rozkład geometryczny
+
=1
............................................
- czas trwania wymuszenia,
Uszkodzenie przy k-tym wymuszeniu jest równoważne uszkodzeniu w przedziale
gdzie
prawdopodobieństwo wystąpienia uszkodzenia w przedziale
wynosi
Jeżeli zmienna losowa jest ciągła, to:
- gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
dla rozkładu wykładniczego
Niezawodność typu wykładniczego
Wówczas, gdy czas życia obiektu jest zmienną losową
o rozkładzie wykładniczym z parametrem
, a więc:
dla
dla
ostatnia równość zwana jest
wykładniczym prawem niezawodności
,
wykładnicze prawo niezawodności
Wykładniczemu prawu niezawodności podlegają obiekty, dla których
, tzn. takie, których odporność na bodźce wymuszające uszkodzenia nie maleje z upływem czasu.
Omawiane prawo ma jeszcze jedną charakterystyczną własność: warunkowe prawdopodobieństwo poprawnej pracy obiektu w przedziale
pod warunkiem nieuszkodzenia w czasie
, zależy jedynie od długości przedziału
, nie zależy zaś od długości czasu
wcześniejszej pracy obiektu.
Rozkład jednostajny
dla
System o strukturze szeregowej
Jeżeli
wyrazimy przez
jako:
to:
Wartości
i
wyznacza się ze wzorów definicyjnych. W ogólnym przypadku t.j. dla zmiennych losowych
o dowolnym rozkładzie prawdopodobieństwa nie można podać bezpośredniej zależności między
i
Przypadki szczególne
1) Niech zmienne losowe
mają taki sam rozkład
prawdopodobieństwa
dla
,
Wszystkie elementy mają więc również jednakowe
dla
,
stąd
Intuicyjnie zrozumiała interpretacja:
połączenie szeregowe
identycznych elementów zwiększa
krotnie prawdopodobieństwo uszkodzenia w danej chwili
2) Niech zmienne losowe
mają rozkład wykładniczy o parametrach odpowiednio
, ....,
,
czyli:
3) Niech zmienne losowe
mają rozkład
wykładniczy o tym samym parametrze
System o strukturze równoległej
Przypadki szczególne
Niech zmienne losowe
mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa o dystrybuancie
, wówczas:
Niech zmienne losowe
maja rozkład wykładniczy o parametrach odpowiednio
, ....
,
wówczas:
korzystając z rozwinięcia funkcji
w szereg Maclaruina można przyjąć, że
,
czyli
3) Niech zmienne losowe
maja wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa o jednakowym parametrze
, wówczas:
Wyznaczamy dla tego przypadku
podstawiamy:
,
=
Który wariant jest korzystniejszy?
Krotność rezerwowania
dla
Rezerwa nieobciążona (zimna)
ale
W jakich sytuacjach układ będzie zdatny w chwili
?
element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili
:
element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili
, element rezerwowy (2) nie uszkodzi się w przedziale
:
Jeżeli będą dwa elementy rezerwowe, to pojawi się trzecia sytuacja, w której układ zachowa zdatność do chwili
:
3) element podstawowy (1) i element rezerwowy (2) uszkodzą się do pewnej chwili
, element rezerwowy (3) nie uszkodzi się w przedziale
.
Zwiększając liczbę elementów rezerwowych możemy wyznaczyć kolejno:
Który wariant jest korzystniejszy?
Rezerwa częściowo obciążona (chłodna)
do chwili uszkodzenia elementu (1)
po chwili uszkodzenia elementu (1)
element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili
:
element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili
, element rezerwowy (2) nie uszkodzi się do chwili
:
Porównanie rodzajów rezerwowania dla układów z jednym elementem rezerwowym
rezerwa |
|
|
nieobciążona |
|
|
częściowo obciążona |
|
|
obciążona |
|
|
niech
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
1/2 b |
2/3 b |
3/4 b |
4/5 b |
5/6 b |
|
b |
Zależne uszkodzenia elementów
gdy jeden z elementów uszkodzi się to intensywność uszkodzeń elementu pozostającego w stanie zdatności wzrasta do
1) ani jeden element nie uszkodzi się do chwili
:
2) element (1) uszkodzi się w pewnej chwili
,
element (2) nie uszkodzi się do chwili
:
,
,
element (2) uszkodzi się w pewnej chwili
,
element (1) nie uszkodzi się do chwili
:
jeżeli:
;
;
,
;
;
- całkowity czas eksploatacji
- całkowity czas użytkowania,
- całkowity czas obsługiwania,
=
liczba przejść obiektu do danego stanu
W dwustanowym modelu procesu eksploatacji:
,
W trójstanowym modelu procesu eksploatacji
- całkowity czas oczekiwania na użytkowanie,
- całkowity czas oczekiwania na obsługiwanie,
Przypadek 1 Przypadek 2
- wskaźnik wykorzystania obiektu zdatnego
<1
- wskaźnik efektywności obsługiwania obiektu niezdatnego
<1
W czterostanowym modelu procesu eksploatacji:
jeżeli:
;
- intensywność eksploatacji
- intensywność użytkowania
- prędkość eksploatacyjna
- prędkość techniczna
- liczba urządzeń użytkowanych w chwili
- liczba urządzeń obsługiwanych w chwili
;
;
- chwilowy wskaźnik gotowości technicznej
W przypadku jednorodnej grupy urządzeń eksploatowanych w ustalonych warunkach, można potraktować historię eksploatacji grupy w krótkim przedziale jako ekwiwalentną historii eksploatacji pojedynczego urządzenia tej grupy, ale w dłuższym przedziale.
Funkcja wiodąca (skumulowana intensywność uszkodzeń)
Można ją interpretować jako miarę wyczerpywania się „zapasu niezawodności obiektu”.
Ponieważ
to
dla rozkładu wykładniczego:
dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:
Oczekiwany pozostały czas zdatności
jest to warunkowa wartość oczekiwana pozostałego czasu zdatności
pod warunkiem, że w chwili
obiekt jest zdatny.
Warunkowa dystrybuanta pozostałego czasu zdatności wynosi:
podstawiamy:
stąd:
;
Możemy za pomocą oczekiwanego pozostałego czasu zdatności
wyrazić poznane uprzednio charakterystyki funkcyjne niezawodności:
Dla odpowiednio dużych wartości argumentu
wartość funkcji
ulega niewielkim zmianom i dąży do:
Dla rozkładu wykładniczego:
Dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:
Podobnie możemy wyznaczyć oczekiwany czas zdatności obiektu jeżeli wiadomo, że uszkodził się do chwili
:
inaczej:
Niezawodność obiektów naprawialnych (odnawialnych)
Rozpatrzmy dwa przypadki:
czas naprawy (odnowy) jest bardzo mały w stosunku do czasu życia elementu. Mówimy wówczas, że odnowa jest natychmiastowa (czas jej trwania
)
czas naprawy (odnowy) posiada pewną skończoną wartość i nie jest pomijalny.
ad. 1.
Chwile uszkodzeń (odnowień) obiektu są następujące:
...............................
......................................................
Chwile uszkodzeń (odnowień) przedstawiają strumień losowy, który nazywamy strumieniem odnowy.
Zakładamy, że:
1) proces taki powtarza się nieograniczenie,
2)
są zmiennymi losowymi niezależnymi o takim samym rozkładzie prawdopodobieństwa określonym dystrybuantą
,
i
dla wszystkich
są jednakowe i wynoszą:
,
Niech
będzie zmienną losową określającą liczbę uszkodzeń (odnowień) powstałych do chwili
.
Zdarzenie
jest równoważne zdarzeniu
Dystrybuantę
można wyznaczyć dla dowolnego
:
n=2
n=3
uogólniając
,.........
Wyznaczamy
P
zdarzenie
jest równoważne
zdarzenie
jest równoważne
+
1
Nie wystarczy wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia
uszkodzeń (odnowień). Równie ważną informacją jest oczekiwana liczba tych zdarzeń
. Wielkość ta jest funkcją czasu określoną dla
oznaczaną
i nazywaną funkcją odnowy (naprawy).
W praktyce często posługujemy się pochodna funkcji odnowy i nazywamy ja gęstością odnowy.
Funkcję odnowy można wyznaczyć inaczej:
ale
i
spełnia powyższe równanie całkowe. Równanie to nosi nazwę równania odnowy (odnowienia).
Funkcję
wykorzystuje się do wyznaczenia oczekiwanej liczby uszkodzeń w dowolnym przedziale czasu
, wynosi ona
.
Przy pomocy
można wyznaczyć wariancję liczby uszkodzeń (odnów) w przedziale
Badając proces odnowy przy
korzysta się z następujących twierdzeń:
Twierdzenie 1 (elementarne twierdzenie odnowy).
Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o dystrybuancie
i skończonej wartości oczekiwanej
, to
Oznacza to, że oczekiwana liczba odnowień w jednostce czasu dąży do odwrotności średniego czasu życia obiektu, czyli średni odstęp miedzy uszkodzeniami jest równy średniemu czasowi życia obiektu.
Twierdzenie 2 (Blackwella)
Jeśli czas życia obiektu jest zmienną losowa typu ciągłego
o skończonej wartości oczekiwanej
to dla
zachodzi:
Oznacza to, ze po upływie długiego czasu liczba uszkodzeń
w przedziale o długości
zależy tylko od długości przedziału i średniego czasu życia obiektu.
Twierdzenie 3 (Smitha)
Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o skończonej wartości oczekiwanej
oraz wariancji
, to
stąd wzór przybliżony:
Proces odnowy o skończonym czasie odnowy (naprawy)
Zmienne
......oraz
..... są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładach odpowiednio:
Utwórzmy zmienną losową
, gdzie:
,
,
,
, gdzie:
WYMIANA W USTALONYM WIEKU
;
gdzie:
- prawdopodobieństwo, że obiekt wymieniany
profilaktycznie w ustalonym czasie (co stały okres w) nie uszkodzi się do chwili t,
- prawdopodobieństwo, że obiekt nie uszkodzi się w kolejnych przedziałach czasu o długości w,
- prawdopodobieństwo, że obiekt nie uszkodzi się
w przedziale
;
- oczekiwany czas do uszkodzenia obiektu;
podstawiamy: t - nw = x
dt = dx
dla t = nw→x = 0
t = (n+1)w→x = w
gdyż:
dla x<1
C(w) - jednostkowy koszt utrzymania obiektu
a - koszt wymiany profilaktycznej
b - koszt naprawy
Zakładamy, że a < b
E(Tu) - oczekiwany czas użytkowania obiektu (do uszkodzenia
lub wymiany)
Rozpatrzmy obiekt techniczny składający się z n elementów składowych.
Załóżmy, że elementy są jednakowe w sensie ich niezawodności
Struktura niezawodnościowa obiektu jest szeregowa.
Funkcja niezawodności obiektu do chwili wykonania naprawy
jest opisana zależnością:
gdzie:
- funkcja niezawodności elementu
Jeżeli naprawa wykonana w chwili t polegała na wymianie k spośród n elementów składowych to funkcja niezawodności obiektu po naprawie
wynosi:
Z wzoru określającego
wynikają następujące zależności:
,
Po podstawieniu do zależności wyrażającej
otrzymujemy:
Jeżeli stosunek
potraktujemy jako stopień odnowienia obiektu (stopień naprawy), to:
Logarytmując i następnie różniczkując stronami otrzymujemy:
i podstawiając
otrzymujemy zależność wyrażająca związek między funkcjami intensywności uszkodzeń
i
:
czyli
Można też współczynnik α przedstawić z wykorzystaniem funkcji wiodących rozkładów
gdzie: