PET, 0 konspekt wykladu PET, Niezawodność typu wykładniczego


Dr inż. Tadeusz SALAMONOWICZ

PODSTAWY EKSPLOATACJI TECHNICZNEJ

Semestr 6

2 godz. wykładu + 1 godz. ćwiczeń audytoryjnych

Zakres przedmiotu:

  1. Eksploatacja: pojęcia, zakres zagadnień. System eksploatacji, proces eksploatacji.

  2. Zmiany stanu technicznego obiektu: natura fizyczna, opis losowy (statystyczny). Niezawodność obiektów.

  3. Modele niezawodności obiektów nienaprawialnych. Rodzaje uszkodzeń.

  4. Struktury niezawodnościowe obiektów złożonych. Rezerwowanie.

  5. Modele niezawodności obiektów naprawialnych. Procesy odnowy. Gotowość obiektów technicznych.

  6. Rozpoznawanie stanu technicznego obiektu i jego elementów. Podstawy diagnostyki technicznej.

  7. Wielostanowe procesy eksploatacji. Opis i miary.

  8. Utrzymanie obiektów w gotowości technicznej: profilaktyka, wymiana, naprawa. Strategie eksploatacyjne.

  9. Badania eksploatacyjne.

Literatura uzupełniająca:

  1. Bobrowski D. Modele i metody matematyczne teorii niezawodności. WNT, Warszawa, 1985,

  2. Dwiliński L. Wstęp do teorii eksploatacji obiektu technicznego. Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej. Warszawa, 1991,

  3. Kaźmierczak J. Eksploatacja systemów technicznych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej. Gliwice, 2000,

  4. Smalko Z. Podstawy eksploatacji technicznej pojazdów. Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej. Warszawa, 1998,

Zaliczenie przedmiotu:

Bez egzaminu,

2 kolokwia na ćwiczeniach - zadania,

2 kolokwia na wykładzie - materiał wykładowy.

Niezawodność obiektu - własność, która wyraża się poprawnym wykonywaniem przez obiekt założonych zadań w określonych warunkach i określonym czasie.

Inaczej

Niezawodność obiektu określa stopień zaufania, że

w rozpatrywanym przedziale czasu obiekt zachowa zdolność do wypełniania swoich funkcji.

Formalnym (matematycznym) wyrażeniem tego zaufania jest prawdopodobieństwo nieuszkodzenia obiektu.

0x08 graphic

Zmienną losową 0x01 graphic
charakteryzują ciągłe względem czasu funkcje określone dla 0x01 graphic
:

Dystrybuanta zmiennej losowej 0x01 graphic
(funkcja zawodności) to prawdopodobieństwo uszkodzenia obiektu do chwili 0x01 graphic

0x01 graphic
, dla 0x01 graphic

przy czym 0x01 graphic

Funkcja niezawodności 0x01 graphic
- prawdopodobieństwo, że do chwili 0x01 graphic
nie nastąpi uszkodzenie.

0x01 graphic
, dla 0x01 graphic

Zakładając, że uszkodzenie obiektu (do chwili 0x01 graphic
, lub później) jest zdarzeniem pewnym:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia 0x01 graphic
jest pochodną dystrybuanty 0x01 graphic

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
0x01 graphic

Intensywność uszkodzeń 0x01 graphic
definiuje się jako:

0x01 graphic
; dla 0x01 graphic

Oznaczamy:

0x01 graphic
- prawdopodobieństwo warunkowe, że nie nastąpi uszkodzenie w przedziale 0x01 graphic
pod warunkiem, że nie nastąpiło w przedziale 0x01 graphic
.

Zgodnie z twierdzeniem Bayesa na prawdopodobieństwo warunkowe można zapisać:

0x01 graphic

0x01 graphic
- prawdopodobieństwo warunkowe, że nastąpi uszkodzenie w przedziale 0x01 graphic
pod warunkiem, że nie nastąpiło w przedziale 0x01 graphic
.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Otrzymana granica jest lokalną (w chwili 0x01 graphic
) funkcją zawodności będącą warunkową gęstością prawdopodobieństwa powstania uszkodzenia w chwili 0x01 graphic
, pod warunkiem, że do chwili 0x01 graphic
uszkodzenie nie nastąpiło.

Oznaczamy ją 0x01 graphic
i nazywamy intensywnością uszkodzeń.

0x01 graphic

Każda z czterech zdefiniowanych funkcji 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
w sposób jednoznaczny określa zmianę losową 0x01 graphic
, determinując tym samym postać pozostałych funkcji.

Poprzez dystrybuantę 0x01 graphic
wyrazić je można jako:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Poprzez gęstość 0x01 graphic
wyrazić je można jako:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Poprzez funkcję niezawodności 0x01 graphic
wyrazić je można jako:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Znając funkcję intensywności uszkodzeń 0x01 graphic
, w celu wyznaczenia pozostałych funkcji rozwiązujemy równanie różniczkowe:

0x01 graphic

o warunku początkowym 0x01 graphic

Równanie całkujemy obustronnie w granicach od 0x01 graphic
do 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wielkości

znane

Wielkości
szukane

F(t)

f(t)

R(t)

(t)

F(t)

---

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

f(t)

0x01 graphic

---

0x01 graphic

0x01 graphic

R(t)

0x01 graphic

0x01 graphic

---

0x01 graphic

(t)

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

---

Wskaźniki liczbowe niezawodności

wartość oczekiwana 0x01 graphic

0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x01 graphic
całkujemy przez części wg: 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

wariancja 0x01 graphic

0x01 graphic

po scałkowaniu przez części otrzymujemy:

0x01 graphic
,

0x01 graphic

Wielkość 0x01 graphic
oznacza średni czas życia obiektu,

a 0x01 graphic
przeciętne odchylenie czasu życia obiektów od oczekiwanego 0x01 graphic
.

0x08 graphic

0x08 graphic

Zmiany stanu technicznego spowodowane wymuszeniami skokowymi:

  1. stała wartość dopuszczalna

  2. zmienna wartość dopuszczalna

Przy dowolnym wymuszeniu zmiana stanu technicznego obiektu (przekroczenie wartości granicznej, uszkodzenie)

może nastąpić z prawdopodobieństwem 0x01 graphic

i nie nastąpić z prawdopodobieństwem 0x01 graphic
.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że uszkodzenie nastąpi przy 0x01 graphic
wymuszeniu?

Niech:

0x01 graphic
- zdarzenie polegające na wystąpieniu uszkodzenia

0x01 graphic
- zdarzenie polegające na niewystąpieniu uszkodzenia

Wystąpienie uszkodzenia przy 0x01 graphic
wymuszeniu oznacza wystąpienie 0x01 graphic
wymuszeń, przy czym przy 0x01 graphic
uszkodzenie nie nastąpiło a przy 0x01 graphic
nastąpiło.

0x01 graphic
- zdarzenie łączne odpowiadające sytuacji, że uszkodzenie nastąpiło przy 0x01 graphic
wymuszeniu

0x01 graphic

gdzie:

0x01 graphic
- prawdopodobieństwo zmiany przy 0x01 graphic
wymuszeniu

0x01 graphic

gdzie:

0x01 graphic
- czas pozostawania w wymaganym stanie (stanie zdatności) mierzony liczbą wymuszeń

Ponieważ:

0x01 graphic

stąd

0x01 graphic
rozkład geometryczny

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
+ 0x01 graphic
0x01 graphic
=1

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

............................................

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
- czas trwania wymuszenia,

Uszkodzenie przy k-tym wymuszeniu jest równoważne uszkodzeniu w przedziale 0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

prawdopodobieństwo wystąpienia uszkodzenia w przedziale 0x01 graphic
wynosi

0x01 graphic

0x01 graphic

Jeżeli zmienna losowa jest ciągła, to:

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
- gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
dla rozkładu wykładniczego

0x01 graphic

Niezawodność typu wykładniczego

Wówczas, gdy czas życia obiektu jest zmienną losową 0x01 graphic

o rozkładzie wykładniczym z parametrem 0x01 graphic
, a więc:

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

0x01 graphic

ostatnia równość zwana jest

wykładniczym prawem niezawodności

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
wykładnicze prawo niezawodności

Wykładniczemu prawu niezawodności podlegają obiekty, dla których 0x01 graphic
, tzn. takie, których odporność na bodźce wymuszające uszkodzenia nie maleje z upływem czasu.

Omawiane prawo ma jeszcze jedną charakterystyczną własność: warunkowe prawdopodobieństwo poprawnej pracy obiektu w przedziale 0x01 graphic
pod warunkiem nieuszkodzenia w czasie 0x01 graphic
, zależy jedynie od długości przedziału 0x01 graphic
, nie zależy zaś od długości czasu 0x01 graphic
wcześniejszej pracy obiektu.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
Rozkład jednostajny

0x01 graphic

dla 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

System o strukturze szeregowej

0x01 graphic
0x01 graphic

Jeżeli 0x01 graphic
wyrazimy przez 0x01 graphic
jako:

0x01 graphic

to:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wartości 0x01 graphic
i 0x01 graphic
wyznacza się ze wzorów definicyjnych. W ogólnym przypadku t.j. dla zmiennych losowych 0x01 graphic
o dowolnym rozkładzie prawdopodobieństwa nie można podać bezpośredniej zależności między

0x01 graphic
i 0x01 graphic

Przypadki szczególne

1) Niech zmienne losowe 0x01 graphic
mają taki sam rozkład
prawdopodobieństwa

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Wszystkie elementy mają więc również jednakowe

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
, 0x01 graphic

stąd

0x01 graphic

Intuicyjnie zrozumiała interpretacja:

połączenie szeregowe 0x01 graphic
identycznych elementów zwiększa 0x01 graphic
krotnie prawdopodobieństwo uszkodzenia w danej chwili

0x01 graphic

0x01 graphic

2) Niech zmienne losowe 0x01 graphic
mają rozkład wykładniczy o parametrach odpowiednio 0x01 graphic
, ....,0x01 graphic
,

czyli:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

3) Niech zmienne losowe 0x01 graphic
mają rozkład
wykładniczy o tym samym parametrze 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

System o strukturze równoległej

0x01 graphic

0x01 graphic

Przypadki szczególne

  1. Niech zmienne losowe 0x01 graphic
    mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa o dystrybuancie 0x01 graphic
    , wówczas:

0x01 graphic

0x01 graphic

  1. Niech zmienne losowe 0x01 graphic
    maja rozkład wykładniczy o parametrach odpowiednio 0x01 graphic
    , ....0x01 graphic
    ,

wówczas:

0x01 graphic

korzystając z rozwinięcia funkcji 0x01 graphic
w szereg Maclaruina można przyjąć, że 0x01 graphic
,

czyli

0x01 graphic

3) Niech zmienne losowe 0x01 graphic
maja wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa o jednakowym parametrze 0x01 graphic
, wówczas:

0x01 graphic

0x01 graphic

Wyznaczamy dla tego przypadku 0x01 graphic

0x01 graphic

podstawiamy: 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic

=0x01 graphic

0x01 graphic

Który wariant jest korzystniejszy?

0x08 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Krotność rezerwowania

0x08 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

dla 0x01 graphic
0x01 graphic

Rezerwa nieobciążona (zimna)

0x08 graphic

0x01 graphic

ale 0x01 graphic

W jakich sytuacjach układ będzie zdatny w chwili 0x01 graphic
?

  1. element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili 0x01 graphic
    :

0x01 graphic

  1. element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili 0x01 graphic
    , element rezerwowy (2) nie uszkodzi się w przedziale 0x01 graphic
    :

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Jeżeli będą dwa elementy rezerwowe, to pojawi się trzecia sytuacja, w której układ zachowa zdatność do chwili 0x01 graphic
:

3) element podstawowy (1) i element rezerwowy (2) uszkodzą się do pewnej chwili 0x01 graphic
, element rezerwowy (3) nie uszkodzi się w przedziale 0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
.

0x01 graphic

0x01 graphic

Zwiększając liczbę elementów rezerwowych możemy wyznaczyć kolejno:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Który wariant jest korzystniejszy?

0x08 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Rezerwa częściowo obciążona (chłodna)

0x08 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
do chwili uszkodzenia elementu (1)

0x01 graphic
po chwili uszkodzenia elementu (1)

  1. element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili 0x01 graphic
    :

0x01 graphic

  1. element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili 0x01 graphic
    , element rezerwowy (2) nie uszkodzi się do chwili 0x01 graphic
    :

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Porównanie rodzajów rezerwowania dla układów z jednym elementem rezerwowym

rezerwa

0x01 graphic

0x01 graphic

nieobciążona

0x01 graphic

0x01 graphic

częściowo obciążona

0x01 graphic

0x01 graphic

obciążona

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic

niech 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1

2

3

4

5

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1/2 b

2/3 b

3/4 b

4/5 b

5/6 b

0x01 graphic

b

Zależne uszkodzenia elementów

0x08 graphic

0x01 graphic

gdy jeden z elementów uszkodzi się to intensywność uszkodzeń elementu pozostającego w stanie zdatności wzrasta do 0x01 graphic

1) ani jeden element nie uszkodzi się do chwili 0x01 graphic
:

0x01 graphic

2) element (1) uszkodzi się w pewnej chwili 0x01 graphic
,
element (2) nie uszkodzi się do chwili 0x01 graphic
:

0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

  1. element (2) uszkodzi się w pewnej chwili 0x01 graphic
    ,
    element (1) nie uszkodzi się do chwili 0x01 graphic
    :

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic

0x01 graphic

jeżeli: 0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x08 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
- całkowity czas eksploatacji

0x01 graphic
- całkowity czas użytkowania, 0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
- całkowity czas obsługiwania, 0x01 graphic
= 0x01 graphic

0x01 graphic
liczba przejść obiektu do danego stanu

W dwustanowym modelu procesu eksploatacji:

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

W trójstanowym modelu procesu eksploatacji

0x01 graphic
- całkowity czas oczekiwania na użytkowanie, 0x01 graphic

0x01 graphic
- całkowity czas oczekiwania na obsługiwanie, 0x01 graphic

Przypadek 1 Przypadek 2

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
- wskaźnik wykorzystania obiektu zdatnego

0x01 graphic
<1 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
- wskaźnik efektywności obsługiwania obiektu niezdatnego

0x01 graphic
0x01 graphic
<1

W czterostanowym modelu procesu eksploatacji:

0x01 graphic

0x01 graphic

jeżeli: 0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic

0x01 graphic
- intensywność eksploatacji

0x01 graphic
- intensywność użytkowania

0x01 graphic
- prędkość eksploatacyjna

0x01 graphic
- prędkość techniczna

0x08 graphic
0x01 graphic
- liczba urządzeń użytkowanych w chwili 0x01 graphic

0x01 graphic
- liczba urządzeń obsługiwanych w chwili 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
- chwilowy wskaźnik gotowości technicznej

W przypadku jednorodnej grupy urządzeń eksploatowanych w ustalonych warunkach, można potraktować historię eksploatacji grupy w krótkim przedziale jako ekwiwalentną historii eksploatacji pojedynczego urządzenia tej grupy, ale w dłuższym przedziale.

0x01 graphic

Funkcja wiodąca (skumulowana intensywność uszkodzeń)

0x01 graphic

Można ją interpretować jako miarę wyczerpywania się „zapasu niezawodności obiektu”.

Ponieważ 0x01 graphic
to 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

dla rozkładu wykładniczego: 0x01 graphic

dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:

0x01 graphic

Oczekiwany pozostały czas zdatności

0x08 graphic

0x01 graphic

jest to warunkowa wartość oczekiwana pozostałego czasu zdatności 0x01 graphic
pod warunkiem, że w chwili 0x01 graphic
obiekt jest zdatny.

Warunkowa dystrybuanta pozostałego czasu zdatności wynosi:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

podstawiamy: 0x01 graphic

stąd: 0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Możemy za pomocą oczekiwanego pozostałego czasu zdatności 0x01 graphic
wyrazić poznane uprzednio charakterystyki funkcyjne niezawodności:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Dla odpowiednio dużych wartości argumentu 0x01 graphic
wartość funkcji 0x01 graphic
ulega niewielkim zmianom i dąży do:

0x01 graphic

Dla rozkładu wykładniczego:

0x01 graphic

0x01 graphic

Dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Podobnie możemy wyznaczyć oczekiwany czas zdatności obiektu jeżeli wiadomo, że uszkodził się do chwili 0x01 graphic
:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

inaczej:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Niezawodność obiektów naprawialnych (odnawialnych)

Rozpatrzmy dwa przypadki:

  1. czas naprawy (odnowy) jest bardzo mały w stosunku do czasu życia elementu. Mówimy wówczas, że odnowa jest natychmiastowa (czas jej trwania 0x01 graphic
    )

  2. czas naprawy (odnowy) posiada pewną skończoną wartość i nie jest pomijalny.

ad. 1.

0x08 graphic

Chwile uszkodzeń (odnowień) obiektu są następujące:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

...............................

0x01 graphic

0x01 graphic

......................................................

Chwile uszkodzeń (odnowień) przedstawiają strumień losowy, który nazywamy strumieniem odnowy.

Zakładamy, że:

1) proces taki powtarza się nieograniczenie,

2) 0x01 graphic
są zmiennymi losowymi niezależnymi o takim samym rozkładzie prawdopodobieństwa określonym dystrybuantą 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i 0x01 graphic
dla wszystkich 0x01 graphic
są jednakowe i wynoszą:

0x01 graphic
,

0x01 graphic

Niech 0x01 graphic
będzie zmienną losową określającą liczbę uszkodzeń (odnowień) powstałych do chwili 0x01 graphic
.

Zdarzenie 0x01 graphic
jest równoważne zdarzeniu 0x01 graphic

0x01 graphic

Dystrybuantę 0x01 graphic
można wyznaczyć dla dowolnego 0x01 graphic
:

n=2

0x01 graphic

0x01 graphic

n=3

0x01 graphic

0x01 graphic

uogólniając 0x01 graphic
,......... 0x01 graphic

Wyznaczamy 0x01 graphic

P0x01 graphic

zdarzenie 0x01 graphic
jest równoważne 0x01 graphic

zdarzenie 0x01 graphic
jest równoważne 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
+ 0x01 graphic
1

0x01 graphic

Nie wystarczy wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia 0x01 graphic
uszkodzeń (odnowień). Równie ważną informacją jest oczekiwana liczba tych zdarzeń 0x01 graphic
. Wielkość ta jest funkcją czasu określoną dla 0x01 graphic
oznaczaną 0x01 graphic
i nazywaną funkcją odnowy (naprawy).

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

W praktyce często posługujemy się pochodna funkcji odnowy i nazywamy ja gęstością odnowy.

0x01 graphic

Funkcję odnowy można wyznaczyć inaczej:

0x01 graphic

ale 0x01 graphic
i 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
spełnia powyższe równanie całkowe. Równanie to nosi nazwę równania odnowy (odnowienia).

Funkcję 0x01 graphic
wykorzystuje się do wyznaczenia oczekiwanej liczby uszkodzeń w dowolnym przedziale czasu 0x01 graphic
, wynosi ona 0x01 graphic
.

Przy pomocy 0x01 graphic
można wyznaczyć wariancję liczby uszkodzeń (odnów) w przedziale 0x01 graphic

0x01 graphic

Badając proces odnowy przy 0x01 graphic
korzysta się z następujących twierdzeń:

Twierdzenie 1 (elementarne twierdzenie odnowy).

Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o dystrybuancie 0x01 graphic
i skończonej wartości oczekiwanej 0x01 graphic
, to

0x01 graphic

Oznacza to, że oczekiwana liczba odnowień w jednostce czasu dąży do odwrotności średniego czasu życia obiektu, czyli średni odstęp miedzy uszkodzeniami jest równy średniemu czasowi życia obiektu.

Twierdzenie 2 (Blackwella)

Jeśli czas życia obiektu jest zmienną losowa typu ciągłego
o skończonej wartości oczekiwanej 0x01 graphic
to dla 0x01 graphic
zachodzi:

0x01 graphic

Oznacza to, ze po upływie długiego czasu liczba uszkodzeń
w przedziale o długości 0x01 graphic
zależy tylko od długości przedziału i średniego czasu życia obiektu.

Twierdzenie 3 (Smitha)

Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o skończonej wartości oczekiwanej 0x01 graphic
oraz wariancji 0x01 graphic
, to

0x01 graphic

stąd wzór przybliżony:

0x01 graphic

Proces odnowy o skończonym czasie odnowy (naprawy)

0x08 graphic

Zmienne 0x01 graphic
......oraz 0x01 graphic
..... są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładach odpowiednio:

0x01 graphic
0x01 graphic

Utwórzmy zmienną losową 0x01 graphic
, gdzie:

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
, gdzie: 0x01 graphic
0x01 graphic

WYMIANA W USTALONYM WIEKU

0x08 graphic

0x01 graphic
; 0x01 graphic

gdzie:

0x01 graphic
- prawdopodobieństwo, że obiekt wymieniany
profilaktycznie w ustalonym czasie (co stały okres w) nie uszkodzi się do chwili t,

0x01 graphic
- prawdopodobieństwo, że obiekt nie uszkodzi się w kolejnych przedziałach czasu o długości w,

0x01 graphic
- prawdopodobieństwo, że obiekt nie uszkodzi się
w przedziale 0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
- oczekiwany czas do uszkodzenia obiektu;

0x01 graphic
0x01 graphic

podstawiamy: t - nw = x

dt = dx

dla t = nw→x = 0

t = (n+1)w→x = w

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

gdyż: 0x01 graphic
dla x<1

0x01 graphic

0x01 graphic

C(w) - jednostkowy koszt utrzymania obiektu

a - koszt wymiany profilaktycznej

b - koszt naprawy

Zakładamy, że a < b

E(Tu) - oczekiwany czas użytkowania obiektu (do uszkodzenia
lub wymiany)

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

  1. Rozpatrzmy obiekt techniczny składający się z n elementów składowych.

  2. Załóżmy, że elementy są jednakowe w sensie ich niezawodności

  3. Struktura niezawodnościowa obiektu jest szeregowa.

Funkcja niezawodności obiektu do chwili wykonania naprawy0x01 graphic
jest opisana zależnością:

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
- funkcja niezawodności elementu

Jeżeli naprawa wykonana w chwili t polegała na wymianie k spośród n elementów składowych to funkcja niezawodności obiektu po naprawie0x01 graphic
wynosi:

0x01 graphic

Z wzoru określającego 0x01 graphic
wynikają następujące zależności:

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Po podstawieniu do zależności wyrażającej 0x01 graphic
otrzymujemy:

0x01 graphic

Jeżeli stosunek 0x01 graphic
potraktujemy jako stopień odnowienia obiektu (stopień naprawy), to:

0x01 graphic

Logarytmując i następnie różniczkując stronami otrzymujemy:

0x01 graphic

i podstawiając 0x01 graphic
otrzymujemy zależność wyrażająca związek między funkcjami intensywności uszkodzeń 0x01 graphic
i 0x01 graphic
:

0x01 graphic

czyli

0x01 graphic

Można też współczynnik α przedstawić z wykorzystaniem funkcji wiodących rozkładów

0x01 graphic

gdzie:

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
PET, PETy, wyklad - kolos 1, DRUK, Niezawodność typu wykładniczego
konspekt wykladu PET id 245738 Nieznany
0 konspekt wykladu PETid 1826 Nieznany
konspekt wyklad 1, FIZJOTERAPIA (metody)
DEMOGRAFIA Konspekt wykładu 3
Konspekt wykładów z Podstaw automatyki wykład 5
IX 1 dr M K Grzegorzewska konspekt wykładu 2011
DEMOGRAFIA Konspekt wykładu 6 8
Konspekt z wykładu Krótkie wsporniki
Konspekt wykładu Geografia fizyczna Europy 08
Osoby fizyczne zdolność do czynności prawnych konspekt wykładu z 26 10 2015
konspekt wyklad 2
konspekt-z-wykladu-pediatrii-z-dn-15102007-dla-studentow
Konspekt wykładu 3, mikrobiologia
Dzieje krajoznawstwa konspekt wykladu
Konspekt z wykładu 5
Konspekt wykładu

więcej podobnych podstron