Dr inż. Tadeusz SALAMONOWICZ
PODSTAWY EKSPLOATACJI TECHNICZNEJ
Semestr 6
2 godz. wykładu + 1 godz. ćwiczeń audytoryjnych
Zakres przedmiotu:
1.
Eksploatacja: pojęcia, zakres zagadnień. System eksploatacji, proces eksploatacji.
2. Zmiany stanu technicznego obiektu: natura fizyczna, opis losowy (statystyczny).
Niezawodność obiektów.
3.
Modele niezawodności obiektów nienaprawialnych. Rodzaje uszkodzeń.
4.
Struktury niezawodnościowe obiektów złożonych. Rezerwowanie.
5.
Modele niezawodności obiektów naprawialnych. Procesy odnowy. Gotowość obiektów
technicznych.
6.
Rozpoznawanie stanu technicznego obiektu i jego elementów. Podstawy diagnostyki
technicznej.
7. Wielostanowe procesy eksploatacji. Opis i miary.
8.
Utrzymanie obiektów w gotowości technicznej: profilaktyka, wymiana, naprawa.
Strategie eksploatacyjne.
9. Badania eksploatacyjne.
Literatura uzupełniająca:
1.
Bobrowski D. Modele i metody matematyczne teorii niezawodności. WNT, Warszawa,
1985,
2.
Dwiliński L. Wstęp do teorii eksploatacji obiektu technicznego. Wydawnictwa
Politechniki Warszawskiej. Warszawa, 1991,
3.
Kaźmierczak J. Eksploatacja systemów technicznych. Wydawnictwo Politechniki
Śląskiej. Gliwice, 2000,
4.
Smalko Z. Podstawy eksploatacji technicznej pojazdów. Wydawnictwa Politechniki
Warszawskiej. Warszawa, 1998,
Zaliczenie przedmiotu:
Bez egzaminu,
2 kolokwia na ćwiczeniach – zadania,
2 kolokwia na wykładzie – materiał wykładowy.
Niezawodność obiektu – własność, która wyraża się poprawnym wykonywaniem przez
obiekt założonych zadań w określonych warunkach i określonym czasie.
Inaczej
Niezawodność obiektu określa stopień zaufania, że
w rozpatrywanym przedziale czasu obiekt zachowa zdolność do wypełniania swoich funkcji.
Formalnym (matematycznym) wyrażeniem tego zaufania jest prawdopodobieństwo
nieuszkodzenia obiektu.
Zmienną losową
T
charakteryzują ciągłe względem czasu funkcje określone dla
0
t
:
dystrybuanta
)
(t
F
,
gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
)
(t
f
,
funkcja niezawodności
)
(t
R
,
intensywność uszkodzeń
)
(t
,
Dystrybuanta zmiennej losowej
T
(funkcja zawodności) to prawdopodobieństwo
uszkodzenia obiektu do chwili
t
)
(
)
(
t
T
P
t
F
, dla
0
t
przy czym
0
)
0
(
F
t
S(t)
T
T
T
T
S
gr
=const
S(0)
0
Funkcja niezawodności
)
(t
R
-
prawdopodobieństwo, że do chwili
t
nie nastąpi
uszkodzenie.
)
(
)
(
t
T
P
t
R
, dla
0
t
Zakładając, że uszkodzenie obiektu (do chwili
t
, lub później) jest zdarzeniem pewnym:
1
)
(
)
(
t
T
P
t
T
P
1
)
(
)
(
t
R
t
F
)
(
1
)
(
t
F
t
R
,
1
0
1
)
0
(
1
)
0
(
F
R
Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
)
(t
f
jest pochodną dystrybuanty
)
(t
F
dt
t
dF
t
f
)
(
)
(
dla
0
t
dt
t
dR
t
R
dt
d
t
f
)
(
))
(
1
(
)
(
Intensywność uszkodzeń
)
(t
defini
uje się jako:
)
(
)
(
'
)
(
1
)
(
)
(
t
R
t
R
t
F
t
f
t
; dla
0
t
Oznaczamy:
)
,
(
t
t
t
P
-
prawdopodobieństwo warunkowe, że nie nastąpi uszkodzenie w przedziale
)
,
(
t
t
t
pod warunkiem, że nie nastąpiło w przedziale
)
,
0
( t
.
Zgodnie z twierdzeniem Bayesa na prawdopodobieństwo warunkowe można zapisać:
)
(
)
(
)
,
(
t
R
t
t
R
t
t
t
P
)
,
(
t
t
t
Q
-
prawdopodobieństwo warunkowe, że nastąpi uszkodzenie w przedziale
)
,
(
t
t
t
po
d warunkiem, że nie nastąpiło w przedziale
)
,
0
( t
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
,
(
1
)
,
(
t
R
t
t
R
t
R
t
R
t
t
R
t
t
t
P
t
t
t
Q
)
(
1
)
(
)
(
)
,
(
t
R
t
t
t
R
t
R
t
t
t
t
Q
)
(
1
)
(
)
(
lim
)
,
(
lim
0
0
t
R
t
t
t
R
t
R
t
t
t
t
Q
t
t
)
(
)
(
'
)
(
)
(
lim
)
(
1
0
t
R
t
R
t
t
R
t
t
R
t
R
t
Otrzymana granica jest lokalną (w chwili
t
) funkcją zawodności będącą warunkową
gęstością prawdopodobieństwa powstania uszkodzenia w chwili
t
, pod warunkiem, że do
chwili
t
uszkodzenie nie nastąpiło.
Oznaczamy ją
)
(t
i nazywamy intensywnością uszkodzeń.
)
(
1
)
(
)
(
ln
)
(
)
(
'
)
(
t
F
t
f
t
R
dt
d
t
R
t
R
t
Każda z czterech zdefiniowanych funkcji
)
(t
F
,
)
(t
f
,
)
(t
R
,
)
(t
w sposób
jednoznaczny określa zmianę losową
T
, determinując tym samym postać pozostałych
funkcji.
Poprzez dystrybuantę
)
(t
F
wyrazić je można jako:
)
(
'
)
(
t
F
t
f
)
(
1
)
(
t
F
t
R
)
(
1
)
(
'
)
(
t
F
t
F
t
Poprzez gęstość
)
(t
f
wyrazić je można jako:
t
dx
x
f
t
F
0
)
(
)
(
t
t
dx
x
f
dx
x
f
t
R
)
(
)
(
1
)
(
0
t
t
dx
x
f
t
f
dx
x
f
t
f
t
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
0
Poprzez funkcję niezawodności
)
(t
R
wyrazić je można jako:
)
(
1
)
(
t
R
t
F
)
(
'
)
(
t
R
t
f
)
(
)
(
'
)
(
t
R
t
R
t
Znając funkcję intensywności uszkodzeń
)
(t
, w celu wyznaczenia pozostałych funkcji
rozwiązujemy równanie różniczkowe:
)
(
)
(
'
)
(
t
R
t
R
t
o warunku początkowym
1
)
0
(
R
Równanie całkujemy obustronnie w granicach od
0
do
t
)
(
1
)
(
)
(
x
R
dx
x
R
d
x
t
t
x
R
x
dR
dx
x
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
ln
1
ln
)
(
ln
)
0
(
ln
)
(
ln
)
(
ln
)
(
0
0
t
R
t
R
R
t
R
x
R
dx
x
t
t
t
dx
x
t
R
0
)
(
exp
)
(
t
dx
x
t
F
0
)
(
exp
1
)
(
t
dx
x
t
t
R
t
t
F
t
t
f
0
)
(
exp
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
Wielkości
znane
Wielkości
szukane
F(t)
f(t)
R(t)
(t)
F(t)
---
t
dx
x
f
0
t
R
1
t
dx
x
0
exp
1
f(t)
t
F '
---
t
R'
t
dx
x
t
0
exp
R(t)
t
F
1
t
dx
x
f
---
t
dx
x
0
exp
(t)
t
F
t
F
1
'
t
dx
x
f
t
f
t
R
t
R'
---
Wskaźniki liczbowe niezawodności
wartość oczekiwana
)
(T
E
0
)
(
)
(
dt
t
f
t
T
E
def
;
0
)
(
)
(
t
dF
t
T
E
0
)
(
dt
t
f
t
całkujemy przez części wg:
du
v
uv
dv
u
t
u
,
dt
du
,
)
(
dt
t
f
dv
)
(
)
(
'
)
(
'
)
(
t
R
dt
t
R
dt
t
F
dt
t
f
v
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
dt
t
R
dt
t
R
t
R
t
dt
t
f
t
0
)
(
)
(
dt
t
R
T
E
wariancja
)
(
2
T
D
2
0
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
T
E
dt
t
f
t
T
E
T
E
T
D
po scałkowaniu przez części otrzymujemy:
2
0
2
2
)
(
)
(
2
)
(
T
E
dt
t
R
t
T
D
,
)
(
2
T
D
Wielkość
)
(T
E
oznacza średni czas życia obiektu,
a
przeciętne odchylenie czasu życia obiektów od oczekiwanego
)
(T
E
.
S(t)
S
dop
t
o
t
a)
Zmiany stanu technicznego spowodowane wymuszeniami skokowymi:
a)
stała wartość dopuszczalna
b)
zmienna wartość dopuszczalna
Przy dowolnym wymuszeniu zmiana stanu technicznego obiektu (przekroczenie wartości
granicznej, uszkodzenie)
może nastąpić z prawdopodobieństwem
q
i nie nastąpić z prawdopodobieństwem
q
1
.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że uszkodzenie nastąpi przy
tym
k
wymuszeniu?
Niech:
A
-
zdarzenie polegające na wystąpieniu uszkodzenia
A
-
zdarzenie polegające na niewystąpieniu uszkodzenia
Wystąpienie uszkodzenia przy
tym
k
wymuszeniu oznacza wystąpienie
k
wymuszeń,
przy czym przy
1
k
uszkodzenie nie nast
ąpiło a przy
tym
k
nastąpiło.
k
B
-
zdarzenie łączne odpowiadające sytuacji, że uszkodzenie nastąpiło przy
tym
k
wymuszeniu
)
(
)
(
.
).........
(
)
(
)
(
1
2
1
k
k
k
A
P
A
P
A
P
A
P
B
P
S(t)
S
dop
(t)
S
max
t
o
t
b)
gdzie:
)
(
i
A
P
-
prawdopodobieństwo zmiany przy
tym
i
wymuszeniu
)
1
(
)
(
k
T
P
B
P
k
gdzie:
T
-
czas pozostawania w wymaganym stanie (stanie zdatności) mierzony liczbą
wymuszeń
Ponieważ:
q
A
P
A
P
A
P
k
1
)
(
.........
)
(
)
(
1
2
1
stąd
q
q
k
T
P
k 1
)
1
(
)
1
(
rozkład geometryczny
1
1
1
2
1
1
)
1
(
..
)
(
)
(
)
(
..
)
(
)
(
k
k
k
k
k
T
P
B
P
B
P
B
P
B
P
B
P
)
1
(
k
T
P
+
)
1
(
k
t
P
=1
)
1
(
)
2
(
.....
)
1
(
)
0
(
)
1
(
k
T
P
k
T
P
T
P
T
P
k
T
P
q
T
P
)
0
(
)
1
(
)
1
(
q
q
T
P
2
)
1
(
)
2
(
q
q
T
P
............................................
2
)
1
(
)
2
(
k
q
q
k
T
P
1
)
1
(
)
1
(
k
q
q
k
T
P
k
i
i
i
k
i
q
q
q
q
k
T
P
1
1
1
0
)
1
(
)
1
(
)
1
(
q
q
q
q
q
k
k
k
i
i
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
1
k
q
k
T
P
)
1
(
1
)
1
(
k
q
k
T
P
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
k
q
q
k
T
P
t
- czas trwania wymuszenia,
Uszkodzenie przy k-tym wymuszeniu j
est równoważne uszkodzeniu w przedziale
)
,
(
t
t
t
gdzie
,
)
1
(
t
k
t
t
q
1
k
t
t
1
k
t
q
prawdopodobieństwo wystąpienia uszkodzenia w przedziale
)
,
(
t
t
t
wynosi
t
k
t
k
T
P
p
k
t
1
)
1
1
(
)
1
(
~
dt
e
p
p
t
t
t
k
~
lim
Jeżeli zmienna losowa jest ciągła, to:
dt
t
f
t
t
T
t
P
p
t
)
(
)
(
t
e
t
f
)
(
-
gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
dla rozkładu wykładniczego
Niezawodność typu wykładniczego
Wówczas, gdy czas życia obiektu jest zmienną losową
T
o rozkładzie wykładniczym z parametrem
0
, a więc:
t
e
t
f
)
(
dla
0
t
t
e
t
F
1
)
(
dla
0
t
t
e
t
R
)
(
ostatnia równość zwana jest
wykładniczym prawem niezawodności
.
)
(
const
e
e
t
t
t
0
0
0
0
1
1
1
)
(
)
(
t
t
t
e
e
dt
e
dt
t
R
T
E
1
1
0
1
0
2
2
1
2
)
(
dt
e
t
T
D
t
0
dt
e
t
t
t
u
dt
du
dt
e
dv
t
,
t
e
v
1
t
t
t
t
t
e
e
t
dt
e
e
t
dt
e
t
2
1
1
t
t
t
e
t
e
e
t
1
1
)
(
1
2
2
t
t
t
t
t
t
e
t
e
t
e
t
dt
e
t
1
lim
1
lim
1
1
1
0
2
0
0
2
2
2
2
1
1
0
1
1
lim
1
t
t
e
2
2
2
2
1
1
2
)
(
T
D
)
(
)
(
T
E
t
e
t
R
wykładnicze prawo niezawodności
Wykładniczemu prawu niezawodności podlegają obiekty, dla których
.
)
(
const
t
,
tzn. takie, których odporność na bodźce wymuszające uszkodzenia nie maleje z upływem
czasu.
Omawiane prawo ma jeszcze jedną charakterystyczną własność: warunkowe
prawdopodobieństwo poprawnej pracy obiektu w przedziale
)
,
(
t
t
t
pod warunkiem
nieuszkodzenia w czasie
)
,
0
( t
, zależy jedynie od długości przedziału
t
, nie zależy zaś
od długości czasu
t
wcześniejszej pracy obiektu.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
t
R
t
t
R
t
T
P
t
t
T
P
t
T
t
t
T
P
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
)
(
Rozkład jednostajny
b
t
b
t
a
a
b
a
t
t
f
,
0
,
1
,
0
)
(
dla
0
a
b
t
f
1
)
(
t
t
b
t
dx
b
dx
x
f
t
F
0
0
1
)
(
)
(
b
t
b
b
t
t
R
1
)
(
t
b
t
R
t
f
t
1
)
(
)
(
)
(
b
b
b
b
dt
t
b
dt
dt
b
t
dt
t
R
T
E
0
0
0
0
1
)
1
(
)
(
)
(
f(t)
a
b
0
1/(b-a)
t
2
2
1
2
1
2
0
2
b
b
b
b
t
b
b
b
4
)
1
(
2
)
(
)
(
2
)
(
2
0
0
2
2
b
dt
b
t
t
T
E
dt
t
R
t
T
D
b
b
4
1
2
2
0
0
2
b
dt
t
b
dt
t
b
b
4
3
2
2
4
3
2
2
2
2
2
2
0
3
2
b
b
b
b
b
t
t
b
12
4
1
3
2
1
2
2
b
b
System o strukturze szeregowej
1
2
k
n-1
n
...
...
0
...
...
,
...
,
,
min
1
2
1
2
1
2
1
t
dla
t
R
t
R
t
R
t
R
t
R
t
R
t
T
P
t
T
P
t
T
P
t
T
P
T
T
T
T
n
k
k
n
n
n
Jeżeli
)
(t
R
k
wyrazimy przez
)
(t
k
jako:
t
k
k
dx
x
t
R
0
)
(
exp
)
(
to:
t
n
k
k
n
k
n
k
t
k
k
dx
x
dx
x
t
R
t
R
0
1
1
1
0
)
(
exp
)
(
exp
)
(
)
(
t
n
k
k
t
dx
x
dx
x
0
1
0
)
(
exp
)
(
exp
n
k
k
t
t
1
)
(
)
(
n
k
n
k
k
k
t
F
t
R
t
F
1
1
)
(
1
1
)
(
1
)
(
Wartości
)
(T
E
i
)
(
2
T
D
wyznacza się ze wzorów definicyjnych. W ogólnym przypadku
t.j. dla zmiennych losowych
k
T
o dowolnym rozkładzie prawdopodobieństwa nie można
podać bezpośredniej zależności między
)
(T
E
i
)
(
k
T
E
Przypadki szczególne
1) Niech zmienne losowe
k
T
T
T
,....,
,
2
1
mają taki sam rozkład
prawdopodobieństwa
)
(
)
(
1
t
F
t
F
k
dla
n
k
,....,
2
,
1
,
0
t
Wszystkie elementy mają więc również jednakowe
)
(
)
(
1
t
t
k
dla
n
k
,....,
2
,
1
,
0
t
stąd
)
(
)
(
)
(
1
1
t
n
t
t
n
k
k
Intuicyjnie zrozumiała interpretacja:
połączenie szeregowe
n
identycznych elementów zwiększa
n
krotnie
prawd
opodobieństwo uszkodzenia w danej chwili
t
dt
t
n
t
R
0
1
)
(
exp
)
(
)
(
)
(
1
t
R
t
R
n
2) Niech zmienne losowe
n
T
T
T
,....,
,
2
1
mają rozkład wykładniczy o parametrach
odpowiednio
2
1
, ....,
n
,
czyli:
t
k
k
k
e
t
f
)
(
const
t
k
k
)
(
const
t
n
k
k
1
)
(
t
e
t
R
)
(
n
k
k
n
k
k
T
E
T
E
1
1
)
(
1
1
1
1
)
(
3) Niech zmienne losowe
n
T
T
T
,....,
,
2
1
mają rozkład
wykładniczy o tym samym parametrze
1
1
)
(
n
t
t
n
e
t
R
1
)
(
n
T
E
n
T
E
)
(
1
)
(
1
1
System o strukturze równoległej
1
2
k
n
n
k
k
n
k
k
n
n
n
t
R
t
R
t
dla
t
F
t
F
t
F
t
F
t
F
t
F
t
T
P
t
T
P
t
T
P
t
T
P
T
T
T
T
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
0
...
...
,
...
,
,
max
Przypadki szczególne
1) Niech zmienne losowe
n
T
T
T
,....,
,
2
1
mają jednakowy rozkład
prawdo
podobieństwa o dystrybuancie
)
(
1
t
F
, wówczas:
)
(
)
(
1
t
F
t
F
n
n
t
R
t
R
)
(
1
1
)
(
1
2) Niech zmienne losowe
n
T
T
T
,....,
,
2
1
maja rozkład wykładniczy o parametrach
odpowiednio
2
1
, ....
n
,
wówczas:
n
k
t
k
e
t
R
1
)
1
(
1
)
(
korzystając z rozwinięcia funkcji
t
k
e
w szereg Maclaruina można przyjąć, że
t
e
k
t
k
1
,
czyli
n
n
n
k
k
t
t
t
R
....
1
1
)
(
...
2
1
1
3) Niech zmienne losowe
n
T
T
T
,....,
,
2
1
maja wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa o
jednakowym parametrze
1
, wówczas:
n
n
t
t
e
t
F
)
(
)
1
(
)
(
1
1
n
t
t
R
)
(
1
)
(
1
Wyznaczamy dla tego przypadku
)
(T
E
dt
e
dt
t
R
T
E
n
t
0
0
)
1
(
1
)
(
)
(
1
podstawiamy:
z
e
t
1
1
z
t
1
1
ln
1
1
,
)
1
(
1
z
dz
dt
1
0
1
1
1
0
1
)
.....
1
(
1
1
1
1
)
(
dz
z
z
dz
z
z
T
E
n
n
=
)
1
.....
2
1
1
(
1
1
n
)
1
......
2
1
1
(
)
(
)
1
........
2
1
1
(
1
)
(
1
1
n
T
E
n
T
E
Który wariant jest korzystniejszy?
)
2
(
)
1
(
1
2
2
2
2
R
R
R
R
a
2
2
2
2
)
2
(
)
1
(
1
R
R
R
R
b
)
2
4
4
(
)
2
(
)
2
(
2
2
2
2
2
2
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
a
b
0
)
1
(
2
)
2
1
(
2
)
2
4
2
(
2
2
2
2
2
2
R
R
R
R
R
R
R
R
a
b
R
R
Krotność rezerwowania
a)
b)
R
R
R
R
R
R
R
R
12
22
1n
2n
mn
m2
11
21
m1
n
m
u
R
R
)
1
(
1
n
u
m
R
R
1
1
)
1
(
)
1
(
log
)
1
(
log
1
n
u
R
R
m
)
1
(
log
)
1
(
log
1
R
R
m
n
u
dla
1
n
)
1
(
log
)
1
(
log
R
R
m
u
Rezerwa nieobciążona (zimna)
2
1
1
)
(
)
(
)
(
2
1
T
E
T
E
T
E
u
ale
)
(
1
)
(
t
T
E
u
u
W jakich sytuacjach układ będzie zdatny w chwili
t
?
1)
element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili
t
:
t
e
t
R
P
)
(
1
1
(1)
(2)
2) element podstawowy (
1) uszkodzi się w pewnej chwili
t
, element rezerwowy (2)
nie uszkodzi się w przedziale
)
,
( t
:
d
t
R
f
P
t
)
,
(
)
(
0
2
e
f
)
(
)
(
)
,
(
t
e
t
R
t
e
t
P
2
t
t
t
u
e
t
te
e
P
P
t
R
)
1
(
)
(
2
1
2
1
1
)
1
(
)
(
)
(
2
0
0
dt
e
t
dt
t
R
T
E
t
u
u
t
t
e
t
te
t
R
t
R
t
t
t
u
u
u
1
)
1
(
)
(
)
(
'
)
(
2
2
Jeżeli będą dwa elementy rezerwowe, to pojawi się trzecia sytuacja, w której układ
zachowa zdatność do chwili
t
:
3) element podstawowy (1) i element rezerwow
y (2) uszkodzą się do pewnej chwili
t
, element rezerwowy (3) nie uszkodzi się w przedziale
)
,
( t
d
t
R
f
P
t
)
,
(
)
(
0
3
e
f
2
)
(
)
(
)
,
(
t
e
t
R
.
t
e
t
P
2
2
3
2
1
t
u
e
t
t
P
P
P
t
R
)
2
1
1
(
)
(
2
2
3
2
1
Zwiększając liczbę elementów rezerwowych możemy wyznaczyć kolejno:
t
e
t
P
3
3
4
6
1
t
e
t
P
4
4
5
24
1
t
k
k
e
k
t
P
!
)
(
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
t
m
k
k
m
k
k
u
e
k
t
P
t
R
0
0
!
)
(
)
(
Który wariant jest korzystniejszy?
t
a
e
t
t
R
2
)
2
1
(
)
(
t
t
b
e
t
e
t
t
R
2
2
2
)
1
(
1
)
(
t
t
e
t
R
t
R
t
a
b
2
1
1
)
(
)
(
2
2
0
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
t
t
e
t
t
t
t
e
)
(
)
(
t
R
t
R
a
b
Rezerwa częściowo obciążona (chłodna)
1
0
2
do chwili uszkodzenia elementu (1)
2
po chwili uszkodzenia elementu (1)
a)
b)
1
2
1)
element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili
t
:
t
e
P
1
2)
element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili
t
, element rezerwowy (2)
nie uszko
dzi się do chwili
t
:
d
t
R
R
f
P
t
)
,
(
)
(
)
(
0
2
2
1
2
e
f
)
(
1
0
)
(
2
e
R
)
(
2
)
,
(
t
e
t
R
t
t
e
e
P
0
1
0
2
)
1
(
)
(
0
0
2
1
t
t
t
u
e
e
e
P
P
t
R
t
t
e
e
)
(
0
0
0
)
1
(
0
0
0
0
0
1
1
1
)
(
)
(
dt
t
R
T
E
u
u
Porównanie rodzajów rezerwowania dla układów z jednym elementem rezerwowym
rezerwa
)
(t
R
)
(T
E
nieobciążona
t
e
t
)
1
(
1
1
częściowo obciążona
t
t
e
e
)
(
0
0
0
)
1
(
0
1
1
obciążona
)
2
(
t
t
e
e
1
1
niech
b
t
t
R
t
R
t
R
m
1
)
(
.......
)
(
)
(
2
1
2
)
(
.......
)
(
)
(
2
1
b
T
E
T
E
T
E
m
m
u
b
t
t
R
1
)
(
b
m
m
b
m
b
m
b
u
u
m
t
b
b
dt
t
b
dt
dt
t
R
T
E
0
1
0
0
0
1
1
1
)
(
)
(
1
1
m
m
b
m
b
b
m
1
2
3
4
5
)
(
u
T
E
1/2 b
2/3 b
3/4 b
4/5 b
5/6 b
b
1
2
m
Zależne uszkodzenia elementów
2
1
gdy jeden z elementów uszkodzi się to intensywność uszkodzeń elementu pozostającego w
stanie zdatności wzrasta do
1
1) ani jeden element nie uszkodzi się do chwili
t
:
t
e
P
2
1
2) element (1) usz
kodzi się w pewnej chwili
t
,
element (2) nie uszkodzi się do chwili
t
:
d
t
R
R
f
P
t
)
,
(
)
(
)
(
0
2
e
f
)
(
,
e
R )
(
,
)
(
1
)
,
(
t
e
t
R
d
e
e
d
e
e
e
P
t
t
t
t
)
2
(
0
)
(
0
2
1
1
1
1
2
2
)
2
(
1
0
1
)
2
(
1
1
1
1
t
t
t
t
e
e
e
e
3)
element (2) uszkodzi się w pewnej chwili
t
,
element (1) nie uszkodzi się do chwili
t
:
2
3
P
P
2
1
3
2
1
2
)
(
P
P
P
P
P
t
R
u
1
2
1
2
2
)
(
)
2
(
1
2
1
1
t
t
t
u
e
e
e
t
R
t
t
t
e
e
e
1
2
2
2
2
1
2
1
2
t
t
e
e
1
2
2
2
1
2
1
1
dt
e
2
2
e
2
dt
)
t
(
R
)
T
(
E
0
t
1
0
t
2
1
1
0
u
u
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
)
2
(
4
1
2
2
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
1
)
(
)
(
2
1
t
P
t
P
t
t
t+
t
0
t
1
2
(t)
(t)
1
)
(
)
(
2
1
t
t
P
t
t
P
jeżeli:
.
)
(
const
t
;
.
)
(
const
t
)
(
1
1
T
E
;
)
(
1
2
T
E
t
t
P
t
t
P
t
t
P
)
(
1
)
(
)
(
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
1
t
P
t
P
t
t
P
t
t
P
)
(
)
(
)
(
'
2
1
1
t
P
t
P
t
P
,
1
)
0
(
1
P
)
(
)
(
)
(
1
t
k
e
t
P
g
t
0
t
;
1
1
P
t
;
g
k
P
1
0
t
1
0
P
1
(t)
e
z
z
nz
z
g
T
T
T
T
T
T
E
T
E
T
E
T
E
T
E
T
E
k
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
1
1
2
1
2
1
2
e
T
-
całkowity czas eksploatacji
u
T
-
całkowity czas użytkowania,
u
T
i
i
o
T
-
całkowity czas obsługiwania,
o
T
=
i
i
i
liczba p
rzejść obiektu do danego stanu
W dwustanowym modelu procesu eksploatacji:
u
z
T
T
,
o
nz
T
T
g
k
nz
z
z
e
z
T
T
T
T
T
o
u
u
T
T
T
W trójstanowym modelu procesu eksploatacji
ou
T
-
całkowity czas oczekiwania na użytkowanie,
i
i
ou
T
oo
T
-
całkowity czas oczekiwania na obsługiwanie,
i
i
oo
T
'
Przypadek 1 Przypadek 2
o
ou
u
e
T
T
T
T
oo
o
u
e
T
T
T
T
ou
u
z
T
T
T
u
z
T
T
o
nz
T
T
oo
o
nz
T
T
T
e
z
g
T
T
k
o
ou
u
ou
u
g
T
T
T
T
T
k
oo
o
u
u
g
T
T
T
T
k
z
u
w
T
T
k
w
k
-
wskaźnik wykorzystania obiektu zdatnego
ou
u
u
w
T
T
T
k
<1
1
u
u
w
T
T
k
nz
o
e
T
T
k
e
k
-
wskaźnik efektywności obsługiwania obiektu niezdatnego
1
o
o
e
T
T
k
oo
o
o
e
T
T
T
k
<1
W czterostanowym modelu procesu eksploatacji:
oo
o
ou
u
e
T
T
T
T
T
oo
o
ou
u
ou
u
g
T
T
T
T
T
T
k
jeżeli:
ou
u
u
w
T
T
T
k
;
oo
o
o
e
T
T
T
k
o
w
u
e
u
e
g
T
k
T
k
T
k
k
e
e
T
L
-
intensywność eksploatacji
u
z
T
L
-
intensywność użytkowania
e
u
V
T
L
-
prędkość eksploatacyjna
t
j
V
T
L
-
prędkość techniczna
T
j
T
p
T
u
T
ou
T
e
T
o
T
oo
T
z
T
nz
)
(t
N
u
- liczba u
rządzeń użytkowanych w chwili
t
)
(t
N
o
-
liczba urządzeń obsługiwanych w chwili
t
)
(
)
(
t
N
t
N
z
e
)
(t
N
nz
;
)
(
)
(
t
N
t
N
u
z
;
)
(
)
(
t
N
t
N
o
nz
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
N
t
N
t
N
t
N
t
N
t
N
t
N
t
N
t
k
o
u
u
e
u
nz
z
z
g
)
(t
k
g
-
chwilowy wskaźnik gotowości technicznej
W przypadku jednorodnej grupy urządzeń eksploatowanych w ustalonych warunkach,
można potraktować historię eksploatacji grupy w krótkim przedziale jako ekwiwalentną
histori
i eksploatacji pojedynczego urządzenia tej grupy, ale w dłuższym przedziale.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
N
t
N
t
N
t
T
t
T
t
T
o
u
u
o
u
u
Funkcja wiodąca (skumulowana intensywność uszkodzeń)
dx
x
t
t
0
)
(
)
(
Można ją interpretować jako miarę wyczerpywania się „zapasu niezawodności obiektu”.
N(t)
N
e
(t)
N
u
(t)
N
o
(t)
t
Ponieważ
t
dx
x
e
t
R
0
)
(
)
(
to
)
(
)
(
t
e
t
R
)
(
1
)
(
t
e
t
F
)
(
)
(
t
e
dt
d
t
f
)
(
)
(
t
dt
d
t
)
(
1
ln
)
(
ln
)
(
t
F
t
R
t
t
x
t
t
du
u
f
dx
x
f
dx
x
R
x
f
dx
x
t
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
dla rozkładu wykładniczego:
t
t
)
(
dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:
t
b
b
b
t
b
b
t
t
ln
ln
1
ln
)
(
Oczekiwany pozostały czas zdatności
)
/
(
)
(
t
T
t
T
E
t
r
jest to warunkowa wartość oczekiwana pozostałego czasu zdatności
t
T
pod warunkiem,
że w chwili
t
obiekt jest zdatny.
Warunkowa dystrybuanta pozostałego czasu zdatności wynosi:
0
t
t+x
t
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
)
,
(
t
R
t
F
x
t
F
t
T
P
x
t
T
t
P
t
T
x
t
T
P
x
t
F
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
t
R
x
t
f
x
t
F
x
x
t
f
0
0
)
(
)
(
1
)
,
(
)
/
(
)
(
dx
x
t
f
x
t
R
dx
x
t
f
x
t
T
t
T
E
t
r
podstawiamy:
z
x
t
stąd:
t
z
x
;
dz
dx
t
dz
z
f
t
z
t
R
t
r
)
(
)
(
)
(
1
)
(
dz
du
t
z
u
)
(
)
(
z
R
v
dz
z
f
dv
t
t
t
dz
z
R
t
R
dz
z
R
z
R
t
z
t
R
t
r
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
t
dx
x
R
t
R
t
r
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
0
(
1
)
0
(
0
T
E
dx
x
R
R
r
Możemy za pomocą oczekiwanego pozostałego czasu zdatności
)
(t
r
wyrazić poznane
uprzednio charakterystyki funkcyjne niezawodności:
dt
t
dr
t
r
t
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
0
(
ln
)
(
)
(
0
t
r
r
x
r
dx
t
t
t
x
r
dx
t
r
r
t
R
0
)
(
exp
)
(
)
0
(
)
(
t
x
r
dx
t
r
r
t
F
0
)
(
exp
)
(
)
0
(
1
)
(
t
x
r
dx
dt
t
dr
t
r
r
t
f
0
2
)
(
exp
)
(
1
)
(
)
0
(
)
(
Dla odpowiednio dużych wartości argumentu
t
wartość funkcji
)
(t
r
ulega niewielkim
zmianom i dąży do:
)
(
1
lim
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
lim
t
t
f
t
R
t
R
dx
x
R
t
r
t
t
t
t
t
Dla rozkładu wykładniczego:
dx
e
e
dx
x
R
t
R
t
r
t
x
t
t
1
)
(
)
(
1
)
(
1
1
1
t
t
t
x
t
e
e
e
e
Dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:
b
t
b
t
b
x
x
t
b
b
dx
b
x
b
t
t
r
2
)
1
(
1
1
)
(
2
)
2
2
2
2
(
)
2
(
)
2
(
2
2
2
2
2
b
t
bt
b
b
b
t
b
b
b
t
t
b
b
b
t
b
b
2
)
(
2
)
(
)
2
(
2
1
2
2
2
t
b
t
b
t
b
t
bt
b
b
t
b
b
Podobnie możemy wyznaczyć oczekiwany czas zdatności obiektu jeżeli wiadomo, że
uszkodził się do chwili
t
:
)
/
(
t
T
T
E
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
)
,
(
t
F
x
F
t
T
P
x
T
P
t
T
x
T
P
x
t
F
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
t
F
x
f
x
t
F
x
x
t
f
t
t
dx
x
f
x
t
F
dx
x
t
f
x
t
T
T
E
0
0
)
(
)
(
1
)
,
(
)
/
(
t
t
t
t
dx
x
R
t
tR
dx
x
R
x
R
x
dx
x
f
x
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
tR
dx
x
R
t
F
t
T
T
E
0
)
(
)
(
)
(
1
)
/
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
)
0
(
t
R
t
r
t
t
F
t
T
T
E
r
t
t
t
R
t
r
dx
x
R
t
R
t
r
t
R
t
t
tR
dx
x
R
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
inaczej:
t
dx
x
R
t
R
dx
x
R
t
r
r
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
0
(
0
t
t
t
dx
x
R
t
R
dx
x
R
dx
x
R
)
(
)
(
1
)
(
)
(
0
t
t
dx
x
R
t
R
dx
x
R
0
)
(
)
(
1
1
)
(
t
t
t
t
r
t
F
dx
x
R
dx
x
R
t
R
t
R
dx
x
R
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
t
t
t
R
t
r
dx
x
R
t
r
t
F
t
r
dx
x
R
r
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
(
Niezawodność obiektów naprawialnych (odnawialnych)
Rozpatrzmy dwa przypadki:
1)
czas naprawy (odnowy) jest bardzo mały w stosunku do czasu życia elementu.
Mówimy wówczas, że odnowa jest natychmiastowa (czas jej trwania
0
)
2) czas naprawy (
odnowy) posiada pewną skończoną wartość i nie jest pomijalny.
ad. 1.
Chwile uszkodzeń (odnowień) obiektu są następujące:
1
1
T
t
2
1
2
T
T
t
T
1
T
2
T
n+1
t
1
t
2
t
n
t
n+1
0
t
t
3
2
1
3
T
T
T
t
...............................
n
n
T
T
T
t
........
2
1
1
2
1
1
.........
n
n
n
T
T
T
T
t
......................................................
Chwile uszkodzeń (odnowień) przedstawiają strumień losowy, który nazywamy strumieniem
odnowy.
Zakładamy, że:
1) proces taki powtarza się nieograniczenie,
2)
.....
,
,
2
1
T
T
są zmiennymi losowymi niezależnymi o takim samym rozkładzie
prawdopodobieństwa określonym dystrybuantą
)
(
)
(
t
T
P
t
F
n
,
)
(T
E
i
)
(
2
T
D
dla wszystkich
n
T
są jednakowe i wynoszą:
dt
t
F
T
E
0
)
(
1
)
(
,
2
0
2
)
(
)
(
1
2
)
(
T
E
dt
t
F
t
T
D
Niech
)
(t
N
będzie zmienną losową określającą liczbę uszkodzeń (odnowień) powstałych
do chwili
t
.
Zdarzenie
n
t
N
)
(
jest równoważne zdarzeniu
t
t
n
)
(
)
......
(
)
(
)
(
2
1
t
F
t
T
T
T
P
t
t
P
n
t
N
P
n
n
n
Dystrybuantę
)
(t
F
n
można wyznaczyć dla dowolnego
n
:
n=2
t
dF
t
T
P
T
t
T
P
t
T
T
P
t
F
0
1
2
1
2
1
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
dF
t
F
0
1
)
(
)
(
n=3
)
(
)
(
)
(
3
2
1
3
2
1
3
T
t
T
T
P
t
T
T
T
P
t
F
t
t
dF
t
F
dF
t
T
T
P
0
2
0
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
uogólniając
t
n
n
dF
t
F
t
F
0
1
)
(
)
(
)
(
,.........
)
(
)
(
1
t
F
t
F
Wyznaczamy
n
t
N
P
)
(
P
1
)
(
)
(
)
(
n
t
N
n
t
N
P
n
t
N
zdarzenie
n
t
N
)
(
jest równoważne
t
t
n
zdarzenie
1
)
(
n
t
N
jest równoważne
t
t
n
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
t
t
t
t
P
t
t
P
t
t
P
n
t
N
P
n
n
n
n
)
(t
F
n
+
)
(
1
1
t
F
n
1
)
(
)
(
)
(
1
t
F
t
F
n
t
N
P
n
n
Nie wystarczy wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia
n
uszkodzeń
(odnowień). Równie ważną informacją jest oczekiwana liczba tych zdarzeń
)
(t
N
E
.
Wielkość ta jest funkcją czasu określoną dla
0
t
oznaczaną
)
(t
H
i nazywaną funkcją
odnowy (naprawy).
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n
n
n
n
t
F
t
F
n
n
t
N
P
n
t
N
E
t
H
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
1
1
t
F
n
t
F
n
t
F
n
t
F
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
2
2
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n
n
n
n
n
n
n
n
t
F
t
F
t
F
n
t
F
n
t
F
)
(
)
(
1
t
F
t
H
n
n
W praktyce często posługujemy się pochodna funkcji odnowy i nazywamy ja gęstością
odnowy.
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n
n
n
n
n
n
t
f
dt
t
dF
t
F
dt
d
dt
t
dH
t
h
Funkcję odnowy można wyznaczyć inaczej:
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
n
n
n
n
t
F
t
F
t
F
t
H
ale
)
(
)
(
1
t
F
t
F
i
)
(
)
(
)
(
0
1
dF
t
F
t
F
t
n
n
1
0
1 0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n
n
t
n
t
n
dF
t
F
t
F
dF
t
F
t
F
t
H
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
0
0
dF
t
H
dF
t
H
t
F
t
t
)
(t
H
spełnia powyższe równanie całkowe. Równanie to nosi nazwę równania odnowy
(odnowienia).
Funkcję
)
(t
H
wyko
rzystuje się do wyznaczenia oczekiwanej liczby uszkodzeń w dowolnym
przedziale czasu
2
1
t
,
t
, wynosi ona
)
(
)
(
1
2
t
H
t
H
.
Przy pomocy
)
(t
H
można wyznaczyć wariancję liczby uszkodzeń (odnów) w przedziale
t
,
0
t
t
H
t
H
dF
t
H
t
N
D
0
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
Badając proces odnowy przy
t
korzysta się z następujących twierdzeń:
Twierdzenie 1 (elementarne twierdzenie odnowy).
Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o dystrybuancie
)
(t
F
i skończonej wartości
oczekiwanej
)
(T
E
, to
)
(
1
)
(
lim
T
E
t
t
H
t
Oznacza to, że oczekiwana liczba odnowień w jednostce czasu dąży do odwrotności
średniego czasu życia obiektu, czyli średni odstęp miedzy uszkodzeniami jest równy
średniemu czasowi życia obiektu.
Twierdzenie 2 (Blackwella)
Jeśli czas życia obiektu jest zmienną losowa typu ciągłego
o skończonej wartości oczekiwanej
)
(T
E
to dla
0
zachodzi:
)
(
)
(
)
(
lim
T
E
t
H
t
H
t
Oznacza to, ze po upływie długiego czasu liczba uszkodzeń
w przedziale o długości
zależy tylko od długości przedziału i średniego czasu życia
obiektu.
Twierdzenie 3 (Smitha)
Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o skończonej wartości oczekiwanej
)
(T
E
oraz wariancji
)
(
2
T
D
, to
2
1
)
(
2
)
(
)
(
)
(
lim
2
2
T
E
T
D
T
E
t
t
H
t
stąd wzór przybliżony:
2
1
)
T
(
E
2
)
T
(
D
)
T
(
E
t
)
t
(
H
2
2
Proces odnowy o skończonym czasie odnowy (naprawy)
Zmienne
,
,
2
1
T
T
......oraz
,
,
2
1
U
U
..... są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładach
odpowiednio:
T
1
T
2
T
n
U
1
U
2
U
n
0
t
)
(
)
(
t
T
P
t
F
n
)
(
)
(
t
U
P
t
G
n
Utwórzmy zmienną losową
1
1
n
n
n
U
T
T
, gdzie:
n
n
T
T
T
T
.....
2
1
1
,
n
n
U
U
U
U
.....
2
1
1
t
n
n
n
dF
t
F
t
F
t
T
P
0
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
1
t
F
t
F
t
n
n
n
dG
t
G
t
G
t
U
P
0
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
1
t
G
t
G
t
n
n
n
n
dG
t
F
t
t
T
P
0
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1 0
)
(
)
(
)
(
)
(
n
n
t
n
n
n
dG
t
F
t
t
H
1
)
(
)
(
n
n
t
t
h
, gdzie:
dt
t
d
t
n
n
)
(
)
(
WYMIANA W USTALONYM WIEKU
)
(
)
(
)
(
nw
t
R
w
R
t
P
n
w
;
w
n
t
nw
)
1
(
gdzie:
)
(t
P
w
-
prawdopodobieństwo, że obiekt wymieniany
profilaktycznie w ustalonym czasie (co stały okres w) nie uszkodzi się do
chwili t,
)
(w
R
n
-
prawdopodobieństwo, że obiekt nie uszkodzi się w kolejnych przedziałach
czasu o długości w,
0
nw
w
(n+1)w
2w
t
t
3w
)
(
nw
t
R
-
prawdopodobieństwo, że obiekt nie uszkodzi się
w przedziale
)
,
(
t
nw
;
w
n
t
)
1
(
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
dt
nw
t
R
w
R
dt
t
P
T
E
n
w
w
)
(
w
T
E
- oczekiwany czas do uszkodzenia obiektu;
w
w
w
w
w
n
dt
w
t
R
w
R
dt
w
t
R
w
R
dt
t
R
dt
nw
t
R
w
R
2
3
2
2
0
0
)
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
..........
n
w
n
nw
n
nw
n
dt
nw
t
R
w
R
dt
nw
t
R
w
R
podstawiamy: t - nw = x
dt = dx
dla
t = nw→x = 0
t = (n+1)w→x = w
0
0 0
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n
n
w
n
n
w
n
nw
dx
x
R
w
R
dt
nw
t
R
w
R
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
w
R
dx
x
R
dx
x
R
w
R
w
w
n
n
n
n
w
w
R
dx
x
R
0
)
(
1
1
)
(
gdyż:
x
x
n
n
1
1
0
dla x<1
w
w
dx
x
R
w
R
T
E
0
)
(
)
(
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
u
T
E
w
F
b
w
R
a
w
C
C(w)
– jednostkowy koszt utrzymania obiektu
a
– koszt wymiany profilaktycznej
b
– koszt naprawy
Zakładamy, że a < b
E(T
u
)
– oczekiwany czas użytkowania obiektu (do uszkodzenia
lub wymiany)
)
(
)
/
(
)
(
)
(
w
F
w
T
T
E
w
R
w
T
E
u
w
w
dx
x
f
x
w
F
dx
w
F
x
f
x
w
T
T
E
0
0
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
/
(
w
w
u
dx
x
R
dx
x
f
x
w
R
w
T
E
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
w
w
dx
x
R
b
w
R
b
a
dx
x
R
w
F
b
w
R
a
w
C
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
2
0
0
w
w
dx
x
R
w
R
b
w
R
b
a
dx
x
R
w
R
b
a
dw
w
dC
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
'
)
(
0
w
R
b
w
R
b
a
dx
x
R
w
R
b
a
w
w
b
w
R
b
a
dx
x
R
w
R
w
R
a
b
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
'
)
(
w
a
b
b
w
R
dx
x
R
w
0
)
(
)
(
)
(
w
a
b
b
w
R
dx
x
R
w
0
)
(
)
(
)
(
a
b
b
w
R
dx
x
R
dx
x
R
w
w
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1.
Rozpatrzmy obiekt techniczny składający się z n elementów składowych.
2.
Załóżmy, że elementy są jednakowe w sensie ich niezawodności
3.
Struktura niezawodnościowa obiektu jest szeregowa.
Funkcja niezawodności obiektu do chwili wykonania naprawy
)
(
1
x
R
jest opisana
zależnością:
n
e
x
R
x
R
1
gdzie:
)
(x
R
e
-
funkcja niezawodności elementu
Jeżeli naprawa wykonana w chwili t polegała na wymianie k spośród n elementów
składowych to funkcja niezawodności obiektu po naprawie
)
(
2
x
R
wynosi:
k
n
e
e
k
e
t
R
x
t
R
x
R
x
R
2
Z wzoru określającego
)
(
1
x
R
wynikają następujące zależności:
n
e
x
R
x
R
1
1
,
n
k
k
e
x
R
x
R
1
n
k
k
n
e
x
t
R
x
t
R
1
1
n
k
k
n
e
t
R
t
R
1
1
Po podstawieniu do zależności wyrażającej
)
(
2
x
R
otrzymujemy:
n
k
n
k
t
R
x
t
R
x
R
x
R
1
1
1
1
2
Jeżeli stosunek
n
k
potraktujemy jako stopień odnowienia obiektu (stopień naprawy), to:
1
1
1
1
2
t
R
x
t
R
x
R
x
R
Logarytmując i następnie różniczkując stronami otrzymujemy:
x
t
R
dx
d
α)
(1
x
R
dx
d
α
x
R
dx
d
1
1
2
ln
ln
ln
i podstawiając
x
x
R
dx
d
)
(
ln
otrzymujemy zależność wyrażająca związek
między funkcjami intensywności uszkodzeń
x
2
i
x
1
:
x
t
x
x
1
1
2
)
1
(
czyli
x
x
t
x
x
t
1
1
2
1
Można też współczynnik
przedstawić z wykorzystaniem funkcji wiodących rozkładów
x
t
x
t
x
t
x
t
1
1
1
2
1
1
)
(
)
(
gdzie:
x
du
u
x
0
)
(
)
(