Niezawodność obiektu – własność, która wyraża się
poprawnym wykonywaniem przez obiekt założonych zadań w
określonych warunkach i określonym czasie.
Inaczej
Niezawodność obiektu określa stopień zaufania, że
w rozpatrywanym przedziale czasu obiekt zachowa zdolność
do wypełniania swoich funkcji.
Formalnym (matematycznym) wyrażeniem tego zaufania jest
prawdopodobieństwo nieuszkodzenia obiektu.
t
S(t)
T
T
T
T
S
gr
=const
S(0)
0
Zmienną losową T charakteryzują ciągłe względem czasu
funkcje określone dla
0
≥
t
:
•
dystrybuanta
)
(t
F
,
•
gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
)
(t
f
,
•
funkcja niezawodności
)
(t
R
,
•
intensywność uszkodzeń
)
(t
λ
,
Dystrybuanta zmiennej losowej T (funkcja zawodności) to
prawdopodobieństwo uszkodzenia obiektu do chwili t
)
(
)
(
t
T
P
t
F
<
=
, dla
0
≥
t
przy czym
0
)
0
(
=
F
Funkcja niezawodności
)
(t
R
- prawdopodobieństwo, że do
chwili t nie nastąpi uszkodzenie.
)
(
)
(
t
T
P
t
R
≥
=
, dla
0
≥
t
Zakładając, że uszkodzenie obiektu (do chwili t , lub później)
jest zdarzeniem pewnym:
1
)
(
)
(
=
≥
+
<
t
T
P
t
T
P
1
)
(
)
(
=
+
t
R
t
F
)
(
1
)
(
t
F
t
R
−
=
,
1
0
1
)
0
(
1
)
0
(
=
−
=
−
=
F
R
Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
)
(t
f
jest
pochodną dystrybuanty
)
(t
F
dt
t
dF
t
f
)
(
)
(
=
dla
0
≥
t
dt
t
dR
t
R
dt
d
t
f
)
(
))
(
1
(
)
(
−
=
−
=
Intensywność uszkodzeń
)
(t
λ
definiuje się jako:
)
(
)
(
'
)
(
1
)
(
)
(
t
R
t
R
t
F
t
f
t
−
=
−
=
λ
; dla
0
≥
t
Oznaczamy:
)
,
(
t
t
t
P
∆
+
- prawdopodobieństwo warunkowe, że nie nastąpi
uszkodzenie w przedziale
)
,
(
t
t
t
∆
+
pod warunkiem, że nie
nastąpiło w przedziale
)
,
0
( t .
Zgodnie z twierdzeniem Bayesa na prawdopodobieństwo
warunkowe można zapisać:
)
(
)
(
)
,
(
t
R
t
t
R
t
t
t
P
∆
+
=
∆
+
)
,
(
t
t
t
Q
∆
+
- prawdopodobieństwo warunkowe, że nastąpi
uszkodzenie w przedziale
)
,
(
t
t
t
∆
+
pod warunkiem, że nie
nastąpiło w przedziale
)
,
0
( t .
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
,
(
1
)
,
(
t
R
t
t
R
t
R
t
R
t
t
R
t
t
t
P
t
t
t
Q
∆
+
−
=
∆
+
−
=
∆
+
−
=
∆
+
)
(
1
)
(
)
(
)
,
(
t
R
t
t
t
R
t
R
t
t
t
t
Q
∆
∆
+
−
=
∆
∆
+
=
∆
∆
+
−
=
∆
∆
+
→
∆
→
∆
)
(
1
)
(
)
(
lim
)
,
(
lim
0
0
t
R
t
t
t
R
t
R
t
t
t
t
Q
t
t
)
(
)
(
'
)
(
)
(
lim
)
(
1
0
t
R
t
R
t
t
R
t
t
R
t
R
t
−
=
∆
−
∆
+
−
=
→
∆
Otrzymana granica jest lokalną (w chwili t ) funkcją
zawodności będącą warunkową gęstością
prawdopodobieństwa powstania uszkodzenia w chwili t , pod
warunkiem, że do chwili t uszkodzenie nie nastąpiło.
Oznaczamy ją
)
(t
λ
i nazywamy intensywnością uszkodzeń.
)
(
1
)
(
)
(
ln
)
(
)
(
'
)
(
t
F
t
f
t
R
dt
d
t
R
t
R
t
−
=
−
=
−
=
λ
Każda z czterech zdefiniowanych funkcji
)
(t
F
,
)
(t
f
,
)
(t
R
,
)
(t
λ
w sposób jednoznaczny określa zmianę losową T ,
determinując tym samym postać pozostałych funkcji.
Poprzez dystrybuantę
)
(t
F
wyrazić je można jako:
)
(
'
)
(
t
F
t
f
=
)
(
1
)
(
t
F
t
R
−
=
)
(
1
)
(
'
)
(
t
F
t
F
t
−
=
λ
Poprzez gęstość
)
(t
f
wyrazić je można jako:
∫
=
t
dx
x
f
t
F
0
)
(
)
(
∫
=
∫
−
=
∞
t
t
dx
x
f
dx
x
f
t
R
)
(
)
(
1
)
(
0
∫
=
∫
−
=
∞
t
t
dx
x
f
t
f
dx
x
f
t
f
t
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
0
λ
Poprzez funkcję niezawodności
)
(t
R
wyrazić je można jako:
)
(
1
)
(
t
R
t
F
−
=
)
(
'
)
(
t
R
t
f
−
=
)
(
)
(
'
)
(
t
R
t
R
t
−
=
λ
Znając funkcję intensywności uszkodzeń
)
(t
λ
, w celu
wyznaczenia pozostałych funkcji rozwiązujemy równanie
różniczkowe:
)
(
)
(
'
)
(
t
R
t
R
t
−
=
λ
o warunku początkowym
1
)
0
(
=
R
Równanie całkujemy obustronnie w granicach od 0 do t
)
(
1
)
(
)
(
x
R
dx
x
R
d
x
−
=
λ
∫
−
=
∫
t
t
x
R
x
dR
dx
x
0
0
)
(
)
(
)
(
λ
)
(
ln
1
ln
)
(
ln
)
0
(
ln
)
(
ln
)
(
ln
)
(
0
0
t
R
t
R
R
t
R
x
R
dx
x
t
t
=
−
=
−
=
=
∫
−
λ
∫
−
=
t
dx
x
t
R
0
)
(
exp
)
(
λ
∫
−
−
=
t
dx
x
t
F
0
)
(
exp
1
)
(
λ
[
]
∫
−
=
=
−
=
t
dx
x
t
t
R
t
t
F
t
t
f
0
)
(
exp
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
λ
λ
λ
λ
Wielkości
znane
Wielkości
szukane
F(t)
f(t)
R(t)
λ
(t)
F(t)
---
( )
∫
t
dx
x
f
0
( )
t
R
−
1
( )
−
−
∫
t
dx
x
0
exp
1
λ
f(t)
( )
t
F '
---
( )
t
R'
−
( )
( )
−
∫
t
dx
x
t
0
exp
λ
λ
R(t)
( )
t
F
−
1
( )
∫
∞
t
dx
x
f
---
( )
−
∫
t
dx
x
0
exp
λ
λ
(t)
( )
( )
t
F
t
F
−
1
'
( )
( )
∫
∞
t
dx
x
f
t
f
( )
( )
t
R
t
R'
−
---
Wskaźniki liczbowe niezawodności
wartość oczekiwana
)
(T
E
∫
=
∞
0
)
(
)
(
dt
t
f
t
T
E
def
;
∫
=
∞
0
)
(
)
(
t
dF
t
T
E
∫
∞
0
)
(
dt
t
f
t
całkujemy przez części wg:
∫
−
=
∫
du
v
uv
dv
u
t
u
=
,
dt
du
=
,
)
(
dt
t
f
dv
=
∫
∫
∫
−
=
−
=
=
=
)
(
)
(
'
)
(
'
)
(
t
R
dt
t
R
dt
t
F
dt
t
f
v
[
]
∫
∫
=
+
∫
−
=
∞
∞
∞
∞
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
dt
t
R
dt
t
R
t
R
t
dt
t
f
t
∫
=
∞
0
)
(
)
(
dt
t
R
T
E
wariancja
)
(
2
T
D
2
0
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
T
E
dt
t
f
t
T
E
T
E
T
D
−
∫
=
−
=
∞
po scałkowaniu przez części otrzymujemy:
2
0
2
2
)
(
)
(
2
)
(
T
E
dt
t
R
t
T
D
−
∫
=
=
∞
σ
,
)
(
2
T
D
=
σ
Wielkość
)
(T
E
oznacza średni czas życia obiektu,
a
σ
przeciętne odchylenie czasu życia obiektów od
oczekiwanego
)
(T
E
.
Zmiany stanu technicznego spowodowane wymuszeniami
skokowymi:
S(t)
S
dop
t
o
t
a)
S(t)
S
dop
(t)
S
max
τ
t
o
t
b)
a)
stała wartość dopuszczalna
b)
zmienna wartość dopuszczalna
Przy dowolnym wymuszeniu zmiana stanu technicznego
obiektu (przekroczenie wartości granicznej, uszkodzenie)
może nastąpić z prawdopodobieństwem
q
i nie nastąpić z prawdopodobieństwem
q
−
1
.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że uszkodzenie nastąpi
przy
tym
k
−
wymuszeniu?
Niech:
A
- zdarzenie polegające na wystąpieniu uszkodzenia
A
- zdarzenie polegające na niewystąpieniu uszkodzenia
Wystąpienie uszkodzenia przy
tym
k
−
wymuszeniu oznacza
wystąpienie k wymuszeń, przy czym przy
1
−
k
uszkodzenie
nie nastąpiło a przy
tym
k
−
nastąpiło.
k
B
- zdarzenie łączne odpowiadające sytuacji, że
uszkodzenie nastąpiło przy
tym
k
−
wymuszeniu
)
(
)
(
.
).........
(
)
(
)
(
1
2
1
k
k
k
A
P
A
P
A
P
A
P
B
P
−
=
gdzie:
)
(
i
A
P
- prawdopodobieństwo zmiany przy
tym
i
−
wymuszeniu
)
1
(
)
(
−
=
=
k
T
P
B
P
k
gdzie:
T - czas pozostawania w wymaganym stanie (stanie
zdatności) mierzony liczbą wymuszeń
Ponieważ:
q
A
P
A
P
A
P
k
−
=
=
=
=
−
1
)
(
.........
)
(
)
(
1
2
1
stąd
q
q
k
T
P
k 1
)
1
(
)
1
(
−
−
=
−
=
rozkład geometryczny
∑
=
−
=
=
+
+
+
+
+
+
∞
=
+
−
1
1
1
2
1
1
)
1
(
..
)
(
)
(
)
(
..
)
(
)
(
k
k
k
k
k
T
P
B
P
B
P
B
P
B
P
B
P
)
1
(
−
≤
k
T
P
+
)
1
(
−
>
k
t
P
=1
)
1
(
)
2
(
.....
)
1
(
)
0
(
)
1
(
−
=
+
−
=
+
+
=
+
=
=
−
≤
k
T
P
k
T
P
T
P
T
P
k
T
P
q
T
P
=
=
)
0
(
)
1
(
)
1
(
q
q
T
P
−
=
=
2
)
1
(
)
2
(
q
q
T
P
−
=
=
............................................
2
)
1
(
)
2
(
−
−
=
−
=
k
q
q
k
T
P
1
)
1
(
)
1
(
−
−
=
−
=
k
q
q
k
T
P
∑
−
=
−
∑
=
−
≤
=
−
−
=
k
i
i
i
k
i
q
q
q
q
k
T
P
1
1
1
0
)
1
(
)
1
(
)
1
(
q
q
q
q
q
k
k
k
i
i
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
1
−
−
=
−
−
−
−
=
∑
−
=
−
k
q
k
T
P
)
1
(
1
)
1
(
−
−
=
−
≤
k
q
k
T
P
)
1
(
)
1
(
−
=
−
>
1
)
1
(
)
1
(
−
−
=
−
=
k
q
q
k
T
P
t
∆
- czas trwania wymuszenia,
Uszkodzenie przy k-tym wymuszeniu jest równoważne
uszkodzeniu w przedziale
)
,
(
t
t
t
∆
+
gdzie
,
)
1
(
t
k
t
∆
−
=
t
q
∆
≈
λ
1
−
=
∆
k
t
t
1
−
≈
k
t
q
λ
prawdopodobieństwo wystąpienia uszkodzenia w przedziale
)
,
(
t
t
t
∆
+
wynosi
t
k
t
k
T
P
p
k
t
∆
−
−
≈
−
=
=
−
λ
λ
1
)
1
1
(
)
1
(
~
dt
e
p
p
t
t
t
k
λ
λ
−
∞
→
=
=
~
lim
Jeżeli zmienna losowa jest ciągła, to:
dt
t
f
t
t
T
t
P
p
t
)
(
)
(
=
∆
+
≤
≤
=
t
e
t
f
λ
λ
−
=
)
(
- gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
dla rozkładu wykładniczego
Niezawodność typu wykładniczego
Wówczas, gdy czas życia obiektu jest zmienną losową T
o rozkładzie wykładniczym z parametrem
0
>
λ
, a więc:
t
e
t
f
λ
λ
−
=
)
(
dla
0
≥
t
t
e
t
F
λ
−
−
=
1
)
(
dla
0
≥
t
t
e
t
R
λ
−
=
)
(
ostatnia równość zwana jest
wykładniczym prawem niezawodności
.
)
(
const
e
e
t
t
t
=
=
=
−
−
λ
λ
λ
λ
λ
[ ]
=
−
=
∫
−
=
∫
=
=
∞
∞
−
∞
∞
−
0
0
0
0
1
1
1
)
(
)
(
t
t
t
e
e
dt
e
dt
t
R
T
E
λ
λ
λ
λ
λ
[
]
λ
λ
1
1
0
1
=
−
−
=
∫
−
=
∞
−
0
2
2
1
2
)
(
λ
λ
dt
e
t
T
D
t
∫
∞
−
0
dt
e
t
t
λ
t
u
=
dt
du
=
dt
e
dv
t
λ
−
=
,
t
e
v
λ
λ
−
−
=
1
∫
=
−
−
=
∫
+
−
=
−
−
−
−
−
t
t
t
t
t
e
e
t
dt
e
e
t
dt
e
t
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
2
1
1
t
t
t
e
t
e
e
t
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
1
1
)
(
1
2
2
+
−
=
+
−
=
−
−
=
+
−
+
−
=
∫
+
−
=
→
∞
→
∞
∞
−
t
t
t
t
t
t
e
t
e
t
e
t
dt
e
t
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
1
lim
1
lim
1
1
1
0
2
0
0
2
[
]
2
2
2
1
1
0
1
1
lim
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
−
−
=
−
=
∞
→
t
t
e
2
2
2
2
1
1
2
)
(
λ
λ
λ
=
−
=
T
D
)
(
)
(
T
E
t
e
t
R
−
=
wykładnicze prawo niezawodności
Wykładniczemu prawu niezawodności podlegają obiekty, dla
których
.
)
(
const
t
=
=
λ
λ
, tzn. takie, których odporność na
bodźce wymuszające uszkodzenia nie maleje z upływem
czasu.
Omawiane prawo ma jeszcze jedną charakterystyczną
własność: warunkowe prawdopodobieństwo poprawnej pracy
obiektu w przedziale
)
,
(
t
t
t
∆
+
pod warunkiem
nieuszkodzenia w czasie
)
,
0
( t , zależy jedynie od długości
przedziału t
∆
, nie zależy zaś od długości czasu t
wcześniejszej pracy obiektu.
=
∆
+
=
>
∆
+
>
=
>
∆
+
>
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
t
R
t
t
R
t
T
P
t
t
T
P
t
T
t
t
T
P
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
∆
−
−
∆
−
−
−
∆
+
−
=
=
=
λ
λ
λ
λ
λ
λ
)
(
Rozkład jednostajny
>
≤
≤
−
<
=
b
t
b
t
a
a
b
a
t
t
f
,
0
,
1
,
0
)
(
dla
0
=
a
b
t
f
1
)
(
=
∫
=
∫
=
=
t
t
b
t
dx
b
dx
x
f
t
F
0
0
1
)
(
)
(
b
t
b
b
t
t
R
−
=
−
=
1
)
(
t
b
t
R
t
f
t
−
=
=
1
)
(
)
(
)
(
λ
f(t)
a
b
0
1/(b-a)
t
∫
=
∫
−
=
∫
∫
−
=
=
b
b
b
b
dt
t
b
dt
dt
b
t
dt
t
R
T
E
0
0
0
0
1
)
1
(
)
(
)
(
2
2
1
2
1
2
0
2
b
b
b
b
t
b
b
b
=
−
=
−
=
=
−
∫
−
=
∫
−
=
4
)
1
(
2
)
(
)
(
2
)
(
2
0
0
2
2
b
dt
b
t
t
T
E
dt
t
R
t
T
D
b
b
=
−
∫
∫
−
=
4
1
2
2
0
0
2
b
dt
t
b
dt
t
b
b
=
−
−
=
−
−
=
4
3
2
2
4
3
2
2
2
2
2
2
0
3
2
b
b
b
b
b
t
t
b
12
4
1
3
2
1
2
2
b
b
=
−
−
=
System o strukturze szeregowej
1
2
k
n-1
n
...
...
{
}
(
) (
) (
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
...
...
,
...
,
,
min
1
2
1
2
1
2
1
≥
=
⋅
⋅
⋅
=
>
⋅
⋅
>
⋅
>
=
>
=
∏
=
t
dla
t
R
t
R
t
R
t
R
t
R
t
R
t
T
P
t
T
P
t
T
P
t
T
P
T
T
T
T
n
k
k
n
n
n
Jeżeli
)
(t
R
k
wyrazimy przez
)
(t
k
λ
jako:
∫
−
=
t
k
k
dx
x
t
R
0
)
(
exp
)
(
λ
to:
∫ ∑
−
=
∏
∏
∫
−
=
=
=
=
=
t
n
k
k
n
k
n
k
t
k
k
dx
x
dx
x
t
R
t
R
0
1
1
1
0
)
(
exp
)
(
exp
)
(
)
(
λ
λ
∫ ∑
−
=
∫
−
=
t
n
k
k
t
dx
x
dx
x
0
1
0
)
(
exp
)
(
exp
λ
λ
∑
=
=
n
k
k
t
t
1
)
(
)
(
λ
λ
[
]
∏
∏ −
−
=
−
=
=
=
n
k
n
k
k
k
t
F
t
R
t
F
1
1
)
(
1
1
)
(
1
)
(
Wartości
)
(T
E
i
)
(
2
T
D
wyznacza się ze wzorów
definicyjnych. W ogólnym przypadku t.j. dla zmiennych
losowych
k
T
o dowolnym rozkładzie prawdopodobieństwa
nie można podać bezpośredniej zależności między
)
(T
E
i
)
(
k
T
E
Przypadki szczególne
1) Niech zmienne losowe
k
T
T
T
,....,
,
2
1
mają taki sam rozkład
prawdopodobieństwa
)
(
)
(
1
t
F
t
F
k
=
dla
n
k
,....,
2
,
1
=
,
0
≥
t
Wszystkie elementy mają więc również jednakowe
)
(
)
(
1
t
t
k
λ
λ
=
dla
n
k
,....,
2
,
1
=
,
0
≥
t
stąd
)
(
)
(
)
(
1
1
t
n
t
t
n
k
k
λ
λ
λ
=
∑
=
=
Intuicyjnie zrozumiała interpretacja:
połączenie szeregowe n identycznych elementów zwiększa
−
n
krotnie prawdopodobieństwo uszkodzenia w danej chwili
∫
−
=
t
dt
t
n
t
R
0
1
)
(
exp
)
(
λ
)
(
)
(
1
t
R
t
R
n
=
2) Niech zmienne losowe
n
T
T
T
,....,
,
2
1
mają rozkład
wykładniczy o parametrach odpowiednio
2
1
λ
λ
, ....,
n
λ
,
czyli:
t
k
k
k
e
t
f
λ
λ
−
=
)
(
const
t
k
k
=
=
λ
λ
)
(
const
t
n
k
k
=
∑
=
=
=
1
)
(
λ
λ
λ
t
e
t
R
λ
−
=
)
(
∑
=
∑
=
=
=
=
n
k
k
n
k
k
T
E
T
E
1
1
)
(
1
1
1
1
)
(
λ
λ
3) Niech zmienne losowe
n
T
T
T
,....,
,
2
1
mają rozkład
wykładniczy o tym samym parametrze
1
λ
1
)
(
λ
λ
λ
n
t
=
=
t
n
e
t
R
1
)
(
λ
−
=
n
T
E
n
T
E
)
(
1
)
(
1
1
=
=
λ
System o strukturze równoległej
1
2
k
n
{
}
(
) (
) (
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
∏
∏
=
=
−
−
=
≥
=
⋅
⋅
⋅
=
<
⋅
⋅
<
⋅
<
=
<
=
n
k
k
n
k
k
n
n
n
t
R
t
R
t
dla
t
F
t
F
t
F
t
F
t
F
t
F
t
T
P
t
T
P
t
T
P
t
T
P
T
T
T
T
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
0
...
...
,
...
,
,
max
Przypadki szczególne
1) Niech zmienne losowe
n
T
T
T
,....,
,
2
1
mają jednakowy
rozkład prawdopodobieństwa o dystrybuancie
)
(
1
t
F
,
wówczas:
)
(
)
(
1
t
F
t
F
n
=
[
]
n
t
R
t
R
)
(
1
1
)
(
1
−
−
=
2) Niech zmienne losowe
n
T
T
T
,....,
,
2
1
maja rozkład
wykładniczy o parametrach odpowiednio
2
1
λ
λ
, ....
n
λ
,
wówczas:
∏ −
−
=
=
−
n
k
t
k
e
t
R
1
)
1
(
1
)
(
λ
korzystając z rozwinięcia funkcji
t
k
e
λ
−
w szereg
Maclaruina można przyjąć, że
t
e
k
t
k
λ
λ
≈
−
−
1
,
czyli
n
n
n
k
k
t
t
t
R
λ
λ
λ
λ
....
1
1
)
(
...
2
1
1
−
=
∏
−
≅
=
3) Niech zmienne losowe
n
T
T
T
,....,
,
2
1
maja wykładniczy
rozkład prawdopodobieństwa o jednakowym parametrze
1
λ
,
wówczas:
n
n
t
t
e
t
F
)
(
)
1
(
)
(
1
1
λ
λ
≈
−
=
−
n
t
t
R
)
(
1
)
(
1
λ
−
≈
Wyznaczamy dla tego przypadku
)
(
T
E
[
]
dt
e
dt
t
R
T
E
n
t
∫
∫
−
−
=
=
∞
∞
−
0
0
)
1
(
1
)
(
)
(
1
λ
podstawiamy:
z
e
t
=
−
−
1
1
λ
z
t
−
=
1
1
ln
1
1
λ
,
)
1
(
1
z
dz
dt
−
=
λ
∫
=
+
+
+
=
∫
−
−
=
−
1
0
1
1
1
0
1
)
.....
1
(
1
1
1
1
)
(
dz
z
z
dz
z
z
T
E
n
n
λ
λ
=
)
1
.....
2
1
1
(
1
1
n
+
+
+
λ
)
1
......
2
1
1
(
)
(
)
1
........
2
1
1
(
1
)
(
1
1
n
T
E
n
T
E
+
+
+
=
+
+
+
=
λ
Który wariant jest korzystniejszy?
)
2
(
)
1
(
1
2
2
2
2
R
R
R
R
a
−
=
−
−
=
[
]
2
2
2
2
)
2
(
)
1
(
1
R
R
R
R
b
−
=
−
−
=
=
+
−
+
−
=
−
−
−
=
−
)
2
4
4
(
)
2
(
)
2
(
2
2
2
2
2
2
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
a
b
0
)
1
(
2
)
2
1
(
2
)
2
4
2
(
2
2
2
2
2
2
>
−
=
+
−
=
+
−
=
R
R
R
R
R
R
R
R
a
b
R
R
>
a)
b)
R
R
R
R
R
R
R
R
Krotność rezerwowania
[
]
n
m
u
R
R
)
1
(
1
−
−
=
n
u
m
R
R
1
1
)
1
(
−
=
−
)
1
(
log
)
1
(
log
1
n
u
R
R
m
−
=
−
)
1
(
log
)
1
(
log
1
R
R
m
n
u
−
−
=
dla
1
=
n
)
1
(
log
)
1
(
log
R
R
m
u
−
−
=
12
22
1n
2n
mn
m2
11
21
m1
Rezerwa nieobciążona (zimna)
λ
λ
λ
2
1
1
)
(
)
(
)
(
2
1
=
+
=
+
=
T
E
T
E
T
E
u
ale
)
(
1
)
(
t
T
E
u
u
λ
≠
W jakich sytuacjach układ będzie zdatny w chwili t ?
1) element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili t :
t
e
t
R
P
λ
−
=
=
)
(
1
1
2) element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili
t
<
τ
, element rezerwowy (2) nie uszkodzi się w
przedziale
)
,
( t
τ
:
τ
τ
τ
d
t
R
f
P
t
)
,
(
)
(
0
2
∫
=
λτ
λ
τ
−
=
e
f
)
(
)
(
)
,
(
τ
λ
τ
−
−
=
t
e
t
R
λλλλ
(1)
λλλλ
(2)
t
e
t
P
λ
λ
−
=
2
t
t
t
u
e
t
te
e
P
P
t
R
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
+
=
+
=
+
=
)
1
(
)
(
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
2
1
1
)
1
(
)
(
)
(
2
0
0
=
+
=
+
∫
∫
=
=
−
∞
∞
dt
e
t
dt
t
R
T
E
t
u
u
t
t
e
t
te
t
R
t
R
t
t
t
u
u
u
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
=
+
=
−
=
−
−
1
)
1
(
)
(
)
(
'
)
(
2
2
Jeżeli będą dwa elementy rezerwowe, to pojawi się trzecia
sytuacja, w której układ zachowa zdatność do chwili t :
3) element podstawowy (1) i element rezerwowy (2)
uszkodzą się do pewnej chwili
t
<
τ
, element rezerwowy (3)
nie uszkodzi się w przedziale
)
,
(
t
τ
τ
τ
τ
d
t
R
f
P
t
)
,
(
)
(
0
3
∫
=
λτ
τ
λ
τ
−
=
e
f
2
)
(
λλλλ
(1)
λλλλ
(2)
λλλλ
(3)
λλλλ
(1)
λλλλ
λλλλ
(2)
)
(
)
,
(
τ
λ
τ
−
−
=
t
e
t
R
.
t
e
t
P
λ
λ
−
=
2
2
3
2
1
t
u
e
t
t
P
P
P
t
R
λ
λ
λ
−
+
+
=
+
+
=
)
2
1
1
(
)
(
2
2
3
2
1
Zwiększając liczbę elementów rezerwowych możemy
wyznaczyć kolejno:
t
e
t
P
λ
λ
−
=
3
3
4
6
1
t
e
t
P
λ
λ
−
=
4
4
5
24
1
t
k
k
e
k
t
P
λ
λ
−
=
!
)
(
t
m
k
k
m
k
k
u
e
k
t
P
t
R
λ
λ
−
=
=
∑
=
∑
=
0
0
!
)
(
)
(
Który wariant jest korzystniejszy?
t
a
e
t
t
R
λ
λ
2
)
2
1
(
)
(
−
+
=
(
)
[
]
t
t
b
e
t
e
t
t
R
λ
λ
λ
λ
2
2
2
)
1
(
1
)
(
−
−
+
=
+
=
(
)
[
]
=
−
−
+
=
−
−
t
t
e
t
R
t
R
t
a
b
λ
λ
λ
2
1
1
)
(
)
(
2
2
(
)
0
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
>
=
−
−
+
+
=
−
−
t
t
e
t
t
t
t
e
λ
λ
λ
λ
λ
λ
)
(
)
(
t
R
t
R
a
b
>
λλλλ
λλλλ
λλλλ
λλλλ
a)
b)
λλλλ
λλλλ
λλλλ
λλλλ
Rezerwa częściowo obciążona (chłodna)
λ
λ
=
1
λ
λ
λ
<
=
0
2
do chwili uszkodzenia elementu (1)
λ
λ
=
2
po chwili uszkodzenia elementu (1)
1) element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili t :
t
e
P
λ
−
=
1
2) element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili
t
<
τ
, element rezerwowy (2) nie uszkodzi się do chwili
t
:
τ
τ
τ
τ
d
t
R
R
f
P
t
)
,
(
)
(
)
(
0
2
2
1
2
∫
=
λτ
λ
τ
−
=
e
f
)
(
1
τ
λ
τ
0
)
(
2
−
=
e
R
)
(
2
)
,
(
τ
λ
τ
−
−
=
t
e
t
R
(
)
t
t
e
e
P
0
1
0
2
λ
λ
λ
λ
−
−
−
=
1
2
=
−
+
=
+
=
−
−
−
)
1
(
)
(
0
0
2
1
t
t
t
u
e
e
e
P
P
t
R
λ
λ
λ
λ
λ
t
t
e
e
)
(
0
0
0
)
1
(
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
−
−
−
+
=
0
0
0
0
0
1
1
1
)
(
)
(
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
+
=
+
−
+
∫
=
=
∞
dt
t
R
T
E
u
u
Porównanie rodzajów rezerwowania dla układów z jednym
elementem rezerwowym
rezerwa
)
(t
R
)
(T
E
nieobciążona
t
e
t
λ
λ
−
+
)
1
(
λ
λ
1
1
+
częściowo
obciążona
t
t
e
e
)
(
0
0
0
)
1
(
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
−
−
−
+
0
1
1
λ
λ
λ
+
+
obciążona
)
2
(
t
t
e
e
λ
λ
−
−
−
λ
λ
λ
+
+
1
1
niech
b
t
t
R
t
R
t
R
m
−
=
=
=
=
1
)
(
.......
)
(
)
(
2
1
2
)
(
.......
)
(
)
(
2
1
b
T
E
T
E
T
E
m
=
=
=
=
m
u
b
t
t
R
−
=
1
)
(
=
+
−
=
∫
∫
−
∫
=
=
+
b
m
m
b
m
b
m
b
u
u
m
t
b
b
dt
t
b
dt
dt
t
R
T
E
0
1
0
0
0
1
1
1
)
(
)
(
1
1
+
=
+
−
=
m
m
b
m
b
b
m
1
2
3
4
5
→
∞
)
(
u
T
E
1/2 b 2/3 b 3/4 b 4/5 b 5/6 b
→
b
1
2
m
Zależne uszkodzenia elementów
λ
λ
λ
=
=
2
1
gdy jeden z elementów uszkodzi się to intensywność
uszkodzeń elementu pozostającego w stanie zdatności wzrasta
do
λ
λ
>
1
1) ani jeden element nie uszkodzi się do chwili t :
t
e
P
λ
2
1
−
=
2) element (1) uszkodzi się w pewnej chwili
t
<
τ
,
element (2) nie uszkodzi się do chwili t :
τ
τ
τ
τ
d
t
R
R
f
P
t
)
,
(
)
(
)
(
0
2
∫
=
λτ
λ
τ
−
=
e
f
)
(
,
λτ
τ
−
=
e
R
)
(
,
)
(
1
)
,
(
τ
λ
τ
−
−
=
t
e
t
R
=
∫
=
∫
=
−
−
−
−
−
−
−
τ
λ
τ
λ
τ
λ
λ
λ
τ
λ
λτ
λτ
d
e
e
d
e
e
e
P
t
t
t
t
)
2
(
0
)
(
0
2
1
1
1
[
]
1
2
2
)
2
(
1
0
1
)
2
(
1
1
1
1
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
−
−
t
t
t
t
e
e
e
e
λ
λ
λ
τ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
1
2
3) element (2) uszkodzi się w pewnej chwili
t
<
τ
,
element (1) nie uszkodzi się do chwili t :
2
3
P
P
=
2
1
3
2
1
2
)
(
P
P
P
P
P
t
R
u
+
=
+
+
=
[
]
=
−
−
+
=
−
−
−
−
1
2
2
)
(
)
2
(
1
2
1
1
t
t
t
u
e
e
e
t
R
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
−
−
−
+
=
−
−
−
t
t
t
e
e
e
1
2
2
2
2
1
2
1
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
t
t
e
e
1
2
2
2
1
2
1
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
−
=
=
∫
λ
−
λ
λ
−
∫
λ
−
λ
λ
∫
=
=
∞
λ
−
∞
λ
−
∞
dt
e
2
2
e
2
dt
)
t
(
R
)
T
(
E
0
t
1
0
t
2
1
1
0
u
u
1
=
λ
λ
λ
−
λ
λ
−
λ
=
λ
λ
−
λ
λ
−
λ
λ
−
λ
λ
=
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
)
2
(
4
1
2
2
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
=
+
=
1
)
(
)
(
2
1
=
+
t
P
t
P
1
)
(
)
(
2
1
=
∆
+
+
∆
+
t
t
P
t
t
P
jeżeli
:
.
)
(
const
t
=
=
λ
λ
;
.
)
(
const
t
=
=
µ
µ
)
(
1
1
T
E
=
λ
;
)
(
1
2
T
E
=
µ
[
]
t
t
P
t
t
P
t
t
P
∆
+
∆
−
=
∆
+
µ
λ
)
(
1
)
(
)
(
2
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
1
t
P
t
P
t
t
P
t
t
P
µ
λ
+
−
=
∆
−
∆
+
)
(
)
(
)
(
'
2
1
1
t
P
t
P
t
P
µ
λ
+
−
=
,
1
)
0
(
1
=
P
t
t
t+
∆
t
0
∆
t
1
2
λ
(t)
µ
(t)
)
(
)
(
)
(
1
t
k
e
t
P
g
t
=
+
+
+
=
+
−
µ
λ
µ
µ
λ
λ
µ
λ
0
=
t
;
1
1
=
P
∞
→
t
;
g
k
P
=
+
=
µ
λ
µ
1
e
z
z
nz
z
g
T
T
T
T
T
T
E
T
E
T
E
T
E
T
E
T
E
k
=
+
=
+
=
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
1
1
2
1
2
1
2
0
t
µ
λ+µ
1
0
P
1
(t)
e
T
-
całkowity czas eksploatacji
u
T
- całkowity czas użytkowania,
=
u
T
i
i
∑
η
o
T
- całkowity czas obsługiwania,
=
o
T
=
i
i
∑
τ
i
liczba przejść obiektu do danego stanu
W dwustanowym modelu procesu eksploatacji:
u
z
T
T
=
,
o
nz
T
T
=
=
g
k
=
+
=
nz
z
z
e
z
T
T
T
T
T
o
u
u
T
T
T
+
W trójstanowym modelu procesu eksploatacji
ou
T
- całkowity czas oczekiwania na użytkowanie,
∑
=
i
i
ou
T
ν
oo
T
- całkowity czas oczekiwania na obsługiwanie,
∑
=
i
i
oo
T
'
ν
Przypadek 1 Przypadek 2
o
ou
u
e
T
T
T
T
+
+
=
oo
o
u
e
T
T
T
T
+
+
=
ou
u
z
T
T
T
+
=
u
z
T
T
=
o
nz
T
T
=
oo
o
nz
T
T
T
+
=
e
z
g
T
T
k
=
o
ou
u
ou
u
g
T
T
T
T
T
k
+
+
+
=
oo
o
u
u
g
T
T
T
T
k
+
+
=
z
u
w
T
T
k
=
w
k
- wskaźnik wykorzystania obiektu zdatnego
ou
u
u
w
T
T
T
k
+
=
<1
1
=
=
u
u
w
T
T
k
nz
o
e
T
T
k
=
e
k
- wskaźnik efektywności obsługiwania obiektu niezdatnego
1
=
=
o
o
e
T
T
k
oo
o
o
e
T
T
T
k
+
=
<1
W czterostanowym modelu procesu eksploatacji
:
oo
o
ou
u
e
T
T
T
T
T
+
+
+
=
oo
o
ou
u
ou
u
g
T
T
T
T
T
T
k
+
+
+
+
=
jeżeli:
ou
u
u
w
T
T
T
k
+
=
;
oo
o
o
e
T
T
T
k
+
=
o
w
u
e
u
e
g
T
k
T
k
T
k
k
+
=
e
e
T
L
λ
=
-
intensywność eksploatacji
u
z
T
L
λ
=
-
intensywność użytkowania
e
u
V
T
L
=
-
prędkość eksploatacyjna
t
j
V
T
L
=
-
prędkość techniczna
T
j
T
p
T
u
T
ou
T
e
T
o
T
oo
T
z
T
nz
)
(t
N
u
- liczba urządzeń użytkowanych w chwili t
)
(t
N
o
- liczba urządzeń obsługiwanych w chwili t
+
=
)
(
)
(
t
N
t
N
z
e
)
(t
N
nz
;
)
(
)
(
t
N
t
N
u
z
=
;
)
(
)
(
t
N
t
N
o
nz
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
N
t
N
t
N
t
N
t
N
t
N
t
N
t
N
t
k
o
u
u
e
u
nz
z
z
g
+
=
=
+
=
)
(t
k
g
- chwilowy wskaźnik gotowości technicznej
W przypadku jednorodnej grupy urządzeń eksploatowanych
w ustalonych warunkach, można potraktować historię
eksploatacji grupy w krótkim przedziale jako ekwiwalentną
historii eksploatacji pojedynczego urządzenia tej grupy, ale
w dłuższym przedziale.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
N
t
N
t
N
t
T
t
T
t
T
o
u
u
o
u
u
+
≈
+
N(t)
N
e
(t)
N
u
(t)
N
o
(t)
t
Funkcja wiodąca (skumulowana intensywność uszkodzeń)
dx
x
t
t
∫
=
Λ
0
)
(
)
(
λ
Można ją interpretować jako miarę wyczerpywania się
„zapasu niezawodności obiektu”.
Ponieważ
∫
−
=
t
dx
x
e
t
R
0
)
(
)
(
λ
to
)
(
)
(
t
e
t
R
Λ
−
=
)
(
1
)
(
t
e
t
F
Λ
−
−
=
[ ]
)
(
)
(
t
e
dt
d
t
f
Λ
−
−
=
)
(
)
(
t
dt
d
t
Λ
=
λ
[
]
)
(
1
ln
)
(
ln
)
(
t
F
t
R
t
−
−
=
−
=
Λ
∫
∫
=
∫
∫
=
=
Λ
∞
t
x
t
t
du
u
f
dx
x
f
dx
x
R
x
f
dx
x
t
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
λ
dla rozkładu wykładniczego:
t
t
λ
=
Λ
)
(
dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:
−
=
−
−
=
−
−
=
Λ
t
b
b
b
t
b
b
t
t
ln
ln
1
ln
)
(
Oczekiwany pozostały czas zdatności
)
/
(
)
(
t
T
t
T
E
t
r
≥
−
=
jest to warunkowa wartość oczekiwana pozostałego czasu
zdatności
t
T
−
pod warunkiem, że w chwili t obiekt jest
zdatny.
Warunkowa dystrybuanta pozostałego czasu zdatności
wynosi:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
)
,
(
t
R
t
F
x
t
F
t
T
P
x
t
T
t
P
t
T
x
t
T
P
x
t
F
−
+
=
≥
+
<
≤
=
≥
<
−
=
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
t
R
x
t
f
x
t
F
x
x
t
f
+
=
∂
∂
=
∫
+
∫
=
=
≥
−
=
∞
∞
0
0
)
(
)
(
1
)
,
(
)
/
(
)
(
dx
x
t
f
x
t
R
dx
x
t
f
x
t
T
t
T
E
t
r
podstawiamy:
z
x
t
=
+
stąd:
t
z
x
−
=
;
dz
dx
=
∫
−
=
∞
t
dz
z
f
t
z
t
R
t
r
)
(
)
(
)
(
1
)
(
dz
du
t
z
u
=
→
−
=
0
t
t+x
t
)
(
)
(
z
R
v
dz
z
f
dv
−
=
→
=
[
]
{
}
∫
=
∫
+
−
−
=
∞
∞
∞
t
t
t
dz
z
R
t
R
dz
z
R
z
R
t
z
t
R
t
r
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
∫
=
∞
t
dx
x
R
t
R
t
r
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
0
(
1
)
0
(
0
T
E
dx
x
R
R
r
=
∫
=
∞
Możemy za pomocą oczekiwanego pozostałego czasu
zdatności
)
(t
r
wyrazić poznane uprzednio charakterystyki
funkcyjne niezawodności:
+
=
dt
t
dr
t
r
t
)
(
1
)
(
1
)
(
λ
)
(
)
0
(
ln
)
(
)
(
0
t
r
r
x
r
dx
t
t
−
∫
=
Λ
∫
−
=
t
x
r
dx
t
r
r
t
R
0
)
(
exp
)
(
)
0
(
)
(
∫
−
−
=
t
x
r
dx
t
r
r
t
F
0
)
(
exp
)
(
)
0
(
1
)
(
∫
−
+
=
t
x
r
dx
dt
t
dr
t
r
r
t
f
0
2
)
(
exp
)
(
1
)
(
)
0
(
)
(
Dla odpowiednio dużych wartości argumentu t wartość
funkcji
)
(t
r
ulega niewielkim zmianom i dąży do:
)
(
1
lim
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
lim
t
t
f
t
R
t
R
dx
x
R
t
r
t
t
t
t
t
λ
∞
→
∞
→
∞
∞
→
∞
→
=
−
−
=
∫
=
Dla rozkładu wykładniczego:
=
∫
=
∫
=
∞ −
−
∞
dx
e
e
dx
x
R
t
R
t
r
t
x
t
t
λ
λ
1
)
(
)
(
1
)
(
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
1
1
1
=
=
−
=
−
∞
−
t
t
t
x
t
e
e
e
e
Dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:
=
−
−
=
∫
−
−
=
b
t
b
t
b
x
x
t
b
b
dx
b
x
b
t
t
r
2
)
1
(
1
1
)
(
2
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
)
2
2
2
2
(
)
2
(
)
2
(
2
2
2
2
2
b
t
bt
b
b
b
t
b
b
b
t
t
b
b
b
t
b
b
2
)
(
2
)
(
)
2
(
2
1
2
2
2
t
b
t
b
t
b
t
bt
b
b
t
b
b
−
=
−
−
=
+
−
−
=
Podobnie możemy wyznaczyć oczekiwany czas zdatności
obiektu jeżeli wiadomo, że uszkodził się do chwili t :
)
/
(
t
T
T
E
<
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
)
,
(
t
F
x
F
t
T
P
x
T
P
t
T
x
T
P
x
t
F
=
<
<
=
<
<
=
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
t
F
x
f
x
t
F
x
x
t
f
=
∂
∂
=
∫
∫
=
=
<
t
t
dx
x
f
x
t
F
dx
x
t
f
x
t
T
T
E
0
0
)
(
)
(
1
)
,
(
)
/
(
[
]
∫
∫
+
−
=
+
−
=
∫
t
t
t
t
dx
x
R
t
tR
dx
x
R
x
R
x
dx
x
f
x
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
∫
−
=
<
t
t
tR
dx
x
R
t
F
t
T
T
E
0
)
(
)
(
)
(
1
)
/
(
[
]
=
+
+
<
=
)
(
)
(
)
(
)
/
(
)
0
(
t
R
t
r
t
t
F
t
T
T
E
r
∫
+
=
+
+
∫
−
=
t
t
t
R
t
r
dx
x
R
t
R
t
r
t
R
t
t
tR
dx
x
R
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
inaczej:
∫
=
∫
−
=
−
∞
∞
t
dx
x
R
t
R
dx
x
R
t
r
r
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
0
(
0
∫
=
∫
−
∫
+
=
∞
∞
t
t
t
dx
x
R
t
R
dx
x
R
dx
x
R
)
(
)
(
1
)
(
)
(
0
=
∫
∫
−
+
=
∞
t
t
dx
x
R
t
R
dx
x
R
0
)
(
)
(
1
1
)
(
∫
−
=
∫
∫
−
+
=
∞
t
t
t
t
r
t
F
dx
x
R
dx
x
R
t
R
t
R
dx
x
R
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
∫
+
=
−
+
∫
=
t
t
t
R
t
r
dx
x
R
t
r
t
F
t
r
dx
x
R
r
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
(