- 1 -
3.
METODY ANALIZY OBWODÓW LINIOWYCH
3.1. WPROWADZENIE
Grafem sieci (strukturą topologiczną obwodu) nazywamy zbiór punk-
tów reprezentujący węzły obwodu i zbiór linii ciągłych ob-
razujących gałęzie obwodu.
Drzewem grafu
nazywamy podgraf danego grafu złożony
z minimalnej liczby dowolnie wybranych
gałęzi grafu łączących wszystkie węzły.
Gałęzie grafu tworzące drzewo grafu nazywamy konarami (gałęziami
drzewa) pozostałe gałęzie grafu nazywamy
gałęziami dopełniającymi
(łączącymi, zamykającymi, cięciwami, strunami).
Każdy graf składający się z w węzłów i g gałęzi zawiera:
g
d
konarów gdzie: g
d
= w – 1
g
Z
gałęzi dopełniających gdzie: g
Z
= g – g
d
= g – w + 1
Sieć elektryczna
a
b
c
d
a
b
c
d
drzewo
grafu
gałęzie
dopełniające
Graf sieci
- 2 -
Mówimy, że gałąź jest incydentna z węzłem, jeżeli węzeł jest jednym
z punktów końcowych gałęzi.
Dla dowolnej sieci można podać graf, w którym zachowana zostaje
wyłącznie struktura geometryczna sieci (każdej gałęzi grafu przypisuje się
numer lub symbol identyfikujący ją z gałęzią sieci). Tak otrzymany graf
jest grafem niezorientowanym.
Jeśli każdej gałęzi przypiszemy dodatkowo orientację – orientacja ga-
łęzi jest wybierana dowolnie i odpowiada dodatniej polaryzacji napięcia
gałęziowego lub kierunkowi przepływu prądu – to otrzymujemy graf zo-
rientowany (skierowany).
Graf zorientowany
a
b
c
d
Graf niezorientowany
1
2
4
3
5
6
a
b
c
d
1
2
4
3
5
6
Z każdą gałęzią związana jest para (u, i) napięcia i prądu, zatem dla g
gałęzi
liczba zmiennych sieci = 2g
Ponieważ dla każdej pary (u, i) istnieją proste związki pozwalające na
określenie jednej wielkości przy znajomości drugiej, to
liczba poszukiwanych zmiennych sieci = g
- 3 -
Dysponując układem g równań, wiążących prądy gałęziowe lub wią-
żących napięcia gałęziowe możemy dokonać analizy sieci.
Pytanie: Czy wszystkie równania są niezależne?
¾
Przyjmując za niewiadome w procesie analizy sieci
g prądów gałęziowych
1. liczba niezależnych prądów gałęziowych określona jest liczbą
gałęzi dopełniających g
Z
,
2. liczba gałęzi dopełniających określa
liczbę oczek niezależnych n
n
w
g
g
Z
=
+
−
=
1
(3.1)
¾
Przyjmując za niewiadome w procesie analizy sieci
g napięć gałęziowych
1. liczba niezależnych napięć gałęziowych określona jest liczbą
konarów (gałęzi drzewa) g
d
,
2. liczba gałęzi drzewa określa
liczbę węzłów niezależnych m
m
w
g
d
=
−
=
1
(3.2)
- 4 -
3.2. METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH
Metoda ta należy do grupy
metod algorytmicznych, tzn.
poddaje się pewnemu „przepi-
sowi” postępowania.
W metodzie oczkowej po-
szukujemy prądów gałęzio-
wych.
Algorytm postępowania
przy analizie obwodu metodą
oczkową jest następujący:
Dane : U
01
=U
05
= 5V, U
06
= 6V
R
1
=R
2
=R
5
=R
6
=2
Ω; R
3
=R
4
=4
Ω.
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
U
01
U
05
U
06
Należy
1.
zamienić wszystkie źródła prądu występujące w obwodzie na rów-
noważne źródła napięcia;
nie dotyczy
2.
określić liczbę n oczek niezależnych w obwodzie;
z zależności (3.1): n = g-w+1 = 6-4+1=3 {g-gałęzie, w-węzły};
3.
dokonać wyboru i oznacze-
nia oczek niezależnych
;
4.
ustalić zwroty prądów
oczkowych;
Przyjmujemy w wybranych
oczkach istnienie umownych
prądów oczkowych o dowol-
nych zwrotach.
I
I
I
II
I
III
- 5 -
5.
dla każdego niezależnego oczka ułożyć równanie bilansu napięć
(NPK) uwzględniając tylko prądy oczkowe;
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
U
01
U
05
U
06
I
I
I
II
I
III
Dla I oczka:
(
)
05
01
4
5
4
5
1
U
U
I
R
I
R
I
R
R
R
III
II
I
+
=
−
−
+
+
Dla II oczka:
(
)
05
3
5
3
2
5
U
I
R
I
R
R
R
I
R
III
II
I
−
=
−
+
+
+
−
Dla III oczka:
(
)
06
4
6
3
3
4
U
I
R
R
R
I
R
I
R
III
II
I
=
+
+
+
−
−
6.
dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych
metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową;
Rozwiązując powyższy układ równań metodą macierzową, możemy
napisać:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
−
−
+
+
−
−
−
+
+
06
05
05
01
4
6
3
3
4
3
5
3
2
5
4
5
4
5
1
U
U
U
U
I
I
I
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
III
II
I
Ogólnie, postać macierzy jest następująca:
R I
X
= U
0
(3.3)
- 6 -
Rozwiązanie układu równań:
Mnożymy lewostronnie równanie (3.3) przez macierz odwrotną
R
-1
R
-1
U
0
= R
-1
R I
X
(3.4)
ponieważ
R
-1
R
=1, otrzymujemy ostatecznie
I
X
= R
-1
U
0
(3.5)
znajdując tym samym prądy oczkowe
W przykładzie:
Macierz rezystancji oczkowych
R
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
10
4
4
4
8
2
4
2
8
stąd
R
-1
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
214
,
0
143
,
0
143
,
0
143
,
0
229
,
0
129
,
0
143
,
0
129
,
0
229
,
0
natomiast
U
0
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
6
5
10
Zatem
macierz prądów oczkowych:
I
X
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
5
,
2
czyli:
I
I
= 2,5A, I
II
= 1A, I
III
= 2A
- 7 -
7.
ustalić zwroty prądów gałęziowych i obliczyć ich wartości.
Do tego celu pomocny jest graf (skierowany) obwodu, na którym
DOPIERO TERAZ nanosimy (w sposób dowolny) zwroty prądów ga-
łęziowych.
Sposób 1
1
2
4
3
5
6
I
1
I
2
I
4
I
3
I
5
I
6
I
II
I
I
I
III
Prądy w gałęziach zewnętrznych
oczek określone są przez prądy
oczkowe (obwodowe) tych oczek z
odpowiednim znakiem.
W naszym przykładzie
I
1
= I
I
= 2,5
I
2
= I
II
= 1
I
6
= I
III
= 2
Prądy w gałęziach wspólnych dla
dwóch lub więcej oczek są sumą
algebraiczną prądów tych oczek,
czyli:
I
3
= I
II
- I
III
= -1
I
4
= I
I
- I
III
= 0,5
I
5
= I
I
- I
II
= 1,5
Sposób 2
Prądy gałęziowe możemy obliczyć również wykorzystując metodą in-
cydencji prądowej. Macierz prądów gałęziowych
I
g
wyznaczamy w opar-
ciu o macierz prądów oczkowych
I
X
korzystając z macierzy łączącej prą-
dowej
α
:
I
g
=
α I
X
(3.6)
- 8 -
Elementy macierzy łączącej prądowej
α
przyjmują wartość +1, -1 lub 0
α
gk
= 1 jeśli gałąź „g” jest incydentna z oczkiem „k” (tzn. należy do
oczka „k”) oraz zgodnie z nim skierowana
-1 j.w., lecz skierowana przeciwnie
0 jeśli gałąź „g” nie jest incydentna z oczkiem „k”
W naszym przykładzie
α
numer oczka
1
2
4
3
5
6
I
1
I
2
I
4
I
3
I
5
I
6
I
II
I
I
I
III
numer ga
łę
zi
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
6
5
4
3
2
1
III
II
I
Zatem:
I
g
=
α I
X
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
5
,
2
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
2
5
,
1
5
,
0
1
1
5
,
2
- 9 -
3.3. METODA NAPIĘĆ WĘZŁOWYCH
Metoda ta należy także do grupy metod algorytmicznych. W metodzie
węzłowej poszukujemy napięć gałęziowych.
I
z4
I
z3
I
z2
I
z1
G
1
G
2
G
3
G
4
G
5
Algorytm postępowania przy analizie obwodu metodą węzłową jest nastę-
pujący:
Należy:
1.
zamienić wszystkie źródła napięcia występujące w obwodzie na
równoważne źródła prądu;
nie dotyczy
2.
określić liczbę m niezależnych węzłów w obwodzie;
z zależności (6.2):
m = w- 1 = 4 - 1=3 {w-węzły};
- 10 -
3.
dokonać wyboru i oznaczenia węzłów niezależnych;
m niezależnymi węzłami są węzły a, b, c – natomiast w-ty węzeł
oznaczony jako
d jest węzłem odniesienia;
I
z4
I
z3
I
z2
I
z1
G
1
G
2
G
3
G
4
G
5
a
c
b
d
4.
ustalić zwroty napięć węzłowych;
Przyjmujemy istnienie napięć międzywęzłowych (pomiędzy węzłami
niezależnymi
a, b ,c a uziemionym węzłem odniesienia d) o zwrotach
do węzłów niezależnych.
a
b
c
d
U
a
U
b
U
c
- 11 -
5.
dla każdego niezależnego węzła ułożyć równanie bilansu prądów
(PPK) uwzględniając tylko napięcia węzłowe;
I
z4
I
z3
I
z2
I
z1
G
1
G
2
G
3
G
4
G
5
a
c
b
Ub
Uc
Ua
Dla węzła
a
:
(
)
2
1
2
2
1
0
z
z
c
b
a
I
I
U
U
G
U
G
G
−
=
−
−
+
Dla węzła
b
:
(
)
3
2
3
5
3
2
2
z
z
c
b
a
I
I
U
G
U
G
G
G
U
G
+
=
−
+
+
+
−
Dla węzła
c
:
(
)
3
4
4
3
3
0
z
z
c
b
a
I
I
U
G
G
U
G
U
−
=
+
+
−
6.
dokonać rozwiązania układu równań, stosując jedną ze znanych
metod, np. rugowania zmiennych, wyznaczników lub macierzową;
Rozwiązując powyższy układ równań metodą macierzową, piszemy:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
+
+
−
−
+
3
4
3
2
2
1
4
3
3
3
5
3
2
2
2
2
1
0
0
z
z
z
z
z
z
c
b
a
I
I
I
I
I
I
U
U
U
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
Ogólnie, postać macierzy jest następująca:
G U
X
= I
Z
(3.7)
po przekształceniach
U
X
= G
-1
I
Z
(3.8)
- 12 -
7.
ustalić zwroty napięć gałęziowych i obliczyć ich wartości.
I
z4
I
z3
I
z2
I
z1
G
1
G
2
G
3
G
4
G
5
a
c
b
Ub
Uc
Ua
U
1
U
5
U
4
U
2
U
3
Sposób 1
Jeżeli gałąź łączy węzeł odniesienia z węzłem niezależnym,
wówczas napięcie gałęziowe równe jest liczbowo napięciu wę-
złowemu (z odpowiednim znakiem). Czyli:
U
1
= U
a
U
4
= U
c
U
5
= U
b
Natomiast napięcie na gałęzi łączącej węzły niezależne jest
równe algebraicznej sumie napięć węzłowych tych węzłów. Otrzy-
mamy więc:
U
2
= U
a
-
U
b
U
3
= U
b
-
U
c
- 13 -
Sposób 2
Napięcia gałęziowe możemy obliczyć również wykorzystując metodą
incydencji napięciowej. Macierz napięć gałęziowych
U
g
wyznaczamy w
oparciu o macierz napięć węzłowych
U
X
korzystając z macierzy łączącej
napięciowej
β
:
U
g
=
β U
X
(3.9)
Elementy macierzy łączącej napięciowej
β
przyjmują wartość +1, -1 lub 0
β
gk
= 1 jeśli gałąź „g” jest incydentna z węzłem „k” (tzn. węzeł „k”
jest końcówką gałęzi „g”) oraz grot napięcia w gałęzi „g” jest
zwrócony do węzła „k”.
-1 j.w., lecz napięcie ma zwrot przeciwny
0 jeśli gałąź „g” nie jest incydentna z węzłem „k”
węzeł
a
b
c
U
1
U
5
U
4
U
2
U
3
numer ga
łę
zi
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
5
4
3
2
1
c
b
a
UWAGA: Znajomość napięć gałęziowych pozwala na wyznaczenie
prądów gałęziowych
- 14 -
3.4. METODA ZASTĘPCZEGO GENERATORA
Niejednokrotnie w złożonych obwodach elektrycznych:
• interesują nas wielkości elektryczne związane z jedną wybraną
gałęzią,
• bądź interesuje nas analiza stanu elektrycznego w obciążeniu
(stałym bądź regulowanym) zasilanym ze złożonego układu zasi-
lania.
Nie ma wówczas potrzeby dokonywania pełnej analizy sieci.
Rozpatrzmy graf sieci elektrycznej, składający się z różnych dowol-
nych gałęzi, które mogą być aktywne lub pasywne. Przyjmijmy, że poszu-
kujemy prądu i napięcia gałęziowego w jednej wybranej gałęzi
AB (szu-
kamy
I
AB
oraz
U
AB
).
Gałąź AB może być zarówno
• gałęzią bezźródłową opisywaną funkcją rezystancji R
X
lub
konduktancji
G
X
,
• gałęzią źródłową opisywaną parą: U
oX
,
R
X
lub
I
zX
,
G
X
.
Natomiast po „wyjęciu” gałęzi
AB z punktu widzenia zacisków A-B
pozostała część sieci stanowi złożony układ zasilania - dwój-
nik źródłowy.
A
B
A
B
- 15 -
Oznacza to, że z punktu widzenia gałęzi
AB pozostałą część ob-
wodu, będącą dwójnikiem aktywnym, można zastąpić schematem
równoważnym zgodnie z
• twierdzeniem o zastępczym generatorze (źródle) napięcia
Każdy dwójnik aktywny jest równoważny gałęzi aktywnej zawiera-
jącej
idealne źródło napięcia o wartości
U
O
, równej napięciu dwój-
nika w stanie jałowym
i połączony z nim szeregowo idealny rezystor o rezystancji
R
W
,
określonej stosunkiem wartości napięcia źródłowego
U
O
i prą-
du zwarcia
I
Z
dwójnika:
Z
O
W
I
U
R
=
(3.10)
DA
A
B
A
B
- 16 -
LUB
z punktu widzenia gałęzi
AB pozostałą część obwodu, będącą
dwójnikiem aktywnym, można zastąpić schematem równoważnym
zgodnie z
• twierdzeniem o zastępczym generatorze (źródle) prądu
Każdy dwójnik aktywny jest równoważny gałęzi aktywnej zawiera-
jącej
idealne źródło prądu o wartości
I
Z
, równej prądowi zwarcia
dwójnika
i połączony z nim równolegle idealny rezystora o konduktancji
G
W
, określonej stosunkiem wartości prądu zwarcia
I
Z
i napięcia
w stanie jałowym
U
O
dwójnika:
O
Z
W
U
I
G
=
(3.11)
DA
A
B
A
B
- 17 -
Tok postępowania przy wyznaczaniu
prądu I
AB
napięcia U
AB
metodą zastępczego
źródła napięcia
metodą zastępczego
źródła prądu
jest następujący:
1.
w obwodzie o danym schemacie odłączyć gałąź w punktach A-B
(gałąź w której występuje szukana wartość);
2.
dowolną metodą obliczyć
napięcie U
O
między zaciskami A-B dwójni-
ka w stanie jałowym;
dowolną metodą obliczyć
prąd I
Z
w zwartych zaciskach A-B
dwójnika;
3.
Obliczyć
rezystancję wewnętrzną źró-
dła zastępczego
R
W
(rezystancję
widzianą z zacisków A-B)
(źródła napięcia = zwarcia,
źródła prądu = przerwy)
Obliczyć
konduktancję wewnętrzną
źródła zastępczego
G
W
(konduk-
tancję widzianą z zacisków A-B)
(źródła napięcia = zwarcia,
źródła prądu = przerwy)
4.
do wyznaczonego schematu za-
stępczego źródła napięcia nale-
ży przyłączyć uprzednio odłą-
czoną gałąź i obliczyć w niej
prąd wykorzystując prawo
Ohma i II prawo Kirchhoffa.
do wyznaczonego schematu za-
stępczego źródła prądu należy
przyłączyć uprzednio odłączoną
gałąź i obliczyć w niej napięcie
wykorzystując prawo Ohma i I
prawo Kirchhoffa.
- 18 -
Przykład:
Stosując metodę zastępczego źródła napięcia, obli-
czyć prąd płynący przez rezystancję R
4
.
I
R
1
E
R
2
R
3
R
4
Dane:
E = 20 V,
R
1
= 2
Ω, R
2
= 6
Ω,
R
3
= 18,5
Ω, R
4
= 10
Ω,
ROZWIĄZANIE:
1.
w obwodzie o danym schemacie odłączyć gałąź w punktach A-B,
w której występuje szukana wartość;
A
B
R
1
E
R
2
R
3
2.
dowolną metodą obliczyć napięcie U
O
między zaciskami A-B dwójnika
w stanie jałowym;
A
B
R
1
E
R
2
R
3
U
0
Z zależności dzielnika napięcia:
15
2
1
2
0
=
+
=
E
R
R
R
U
V
- 19 -
3.
obliczyć rezystancję wewnętrzną źródła zastępczego R
W
(źródła napię-
cia = zwarcia, źródła prądu = przerwy);
A
B
R
1
R
2
R
3
R
W
Bazując na metodzie transfiguracji:
20
3
2
1
2
1
=
+
+
=
R
R
R
R
R
R
W
Ω
4.
do wyznaczonego schematu zastępczego źródła napięcia należy przyłą-
czyć uprzednio odłączoną gałąź i obliczyć w niej prąd wykorzystując
prawo Ohma i II prawo Kirchhoffa.
I
A
B
U
0
R
W
R
4
5
,
0
4
0
=
+
=
R
R
U
I
W
A