- 1 -

4. OBWODY NIELINIOWE PRĄDU STAŁEGO 

 

4.1. 

KLASYFIKACJA ELEMENTÓW NIELINIOWYCH

 

 
Definicja 1. 

Obwodem elektrycznym nieliniowym nazywamy taki obwód, 
w którym  występuje co najmniej jeden element nieliniowy bądź 
więcej elementów nieliniowych wzajemnie się nierównoważących. 

Definicja 2. 

Element obwodu elektrycznego nazywamy nieliniowym jeśli jego 
charakterystyka prądowo-napięciowa jest nieliniowa, tzn. nie moż-
na jej opisać analitycznie przy pomocy równania prostej. 

 

Element nieliniowy, niezależnie od tego czy jest to element pasywny 

czy też aktywny, opisujemy przez podanie zbioru ciągłego (wykres) lub 
dyskretnego (tabela) zmiennych niezależnych i wartości funkcji. 
 

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy po-

mocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. 
 

R

N

u

C

N

u

L

N

u

u i

0

( )

i u

Z

( )

u

 

Symbole graficzne elementów nieliniowych. 

 

 

- 2 -

 

W zależności od przebiegu charakterystyki y=f(x) rozróżniamy ele-

menty nieliniowe: 

a) symetryczne 

f(x)=-f(-x), na rys. a), 

b) niesymetryczne 

f(x)

≠-f(-x), na rys. b), 

c) jednoznaczne-każdej wartości x

∈X odpowiada jedna i tylko jed-

na wartość y, na rys. c), 

d) wieloznaczne-istnieją takie przedziały zmiennej niezależnej  

x

∈(x

1

,x

2

),  że wewnątrz tych przedziałów  y=f(x) może przyjmo-

wać więcej niż jedną wartość, na rys.d) i e). 

 

y

y

x

x

x

y

x

a)

y

x

e)

b)

c)

d)

y

x

1

x

1

x

2

x

2

 

Przykładowe przebiegi charakterystyk elementu nieliniowego. 

 

 

- 3 -

4.2.  PARAMETRY STATYCZNE I DYNAMICZNE 

 

Jeśli do zacisków elementu nieliniowego przyłożymy określone na-

pięcie  U

P

, to posługując się jego charakterystyką wyznaczymy wartość 

prądu w nim płynącego  I

P

. Punkt na charakterystyce wyznaczony warto-

ścią U

P

 nazywamy wówczas punktem pracy elementu (P). 

 

Rozpatrzmy element nieliniowy dany jego charakterystyką prądowo-

napięciową, jak na rys. 

I

U

0

P

U

p

I

p

α

p

 

Definicja 

Rezystancja statyczna Rst

 

elementu nieliniowego, w danym 
punkcie pracy P, określona jest sto-
sunkiem napięcia na zaciskach tego 
elementu (U

P

) do prądu w tym ele-

mencie (I

P

): 

 

P

P

st

I

U

R

=

 (4.1) 

możemy także zapisać 

 

P

st

tg

R

α

=

 (4.2) 

 

Rezystancja statyczna Rst posiada swą interpretację geometryczną - 

jest proporcjonalna do tangensa kąta: zawartego pomiędzy prostą łączącą 
początek układu współrzędnych z danym punktem pracy elementu nieli-
niowego a osią prądu. W ogólnym przypadku kąt 

α może przyjmować 

wartości z przedziału [0

°,90°]. 

Zatem tak zdefiniowana rezystancja statyczna może przyjmować war-

tości nieujemne 
 

+

∈

∞

∈

R

st

st

R

R

 

;

 )

[0,

 (4.3) 

 

 

- 4 -

 

U

p

I

p

sty

cz

na

I

β

p

P

0

U

 

Definicja 

Rezystancja dynamiczna Rd

 

elementu nieliniowego określona jest 
granicą stosunku przyrostu napięcia 

ΔU, 

do przyrostu prądu 

ΔI, gdy przyrost prą-

du dąży nieograniczenie do zera 

 

dI

dU

I

U

R

I

d

=

Δ

Δ

=

→

Δ

0

lim

 (4.4) 

a dla danego punktu pracy P 

 

P

dP

tg

R

β

=

 (4.5) 

 

Rezystancja dynamiczna w danym punkcie pracy P jest proporcjonal-

na do współczynnika kierunkowego stycznej do charakterystyki w tym 
punkcie. 

W ogólnym przypadku kąt 

β może zmieniać się w granicach od 0° do 

180

° zatem Rd może przyjmować wartości zarówno dodatnie jak i ujemne: 

 

R

∈

∞

∞

∈

d

d

R

R

 ;

 )

,+

(-

 (4.6) 

 

U

p

I

p

I

0

U

U

k+1

U

k

I

k+1

I

k

 

Rezystancję dynamiczną w danym 
punkcie pracy P możemy również wy-
znaczyć w sposób przybliżony 

 

P

P

I

I

k

k

k

k

I

I

dP

I

I

U

U

I

U

R

=

+

+

=

−

−

=

Δ

Δ

≅

1

1

 (4.7) 

gdzie:   

2

1

k

k

P

I

I

I

+

=

+

 

 

 

 

- 5 -

4.3. 

PODSTAWOWE PRAWA W OBWODACH NIELINIOWYCH

 

 

OBOWIĄZUJE: 

 

NIE OBOWIĄZUJE: 

•  PPK 

•  NPK 

•  Zasada kompensacji 

•  Twierdzenie Thevenina 

•  Twierdzenie Nortona 

 

•  Prawo Ohma 

•  Zasada superpozycji 

•  Zasada wzajemności 

 
 

4.4.  METODY ANALIZY OBWODÓW NIELINIOWYCH 

 

Dysponując charakterystykami elementów nieliniowych występują-

cych w obwodzie, można dokonać analizy tego obwodu na drodze transfi-
guracji i ewentualnie retransfiguracji wykreślnej (graficznej). Metody gra-
ficzne transfiguracji obwodu nieliniowego przeprowadza się w oparciu o 
prawa Kirchhoffa. 
 

 

- 6 -

METODA CHARAKTERYSTYKI ŁĄCZNEJ 

 

•  Dla elementów połączonych szeregowo 

Rozważamy połączenie szeregowe n rezystorów o charakterystykach 

określonych równaniami : 
 
 

( )

( )

( )

I

f

U

R

I

f

U

R

I

f

U

R

Nn

N

N

R

n

Nn

R

N

R

N

=

=

=

:

,

,

:

,

:

2

1

2

2

1

1

K

 (4.8) 

 
W wyniku połączenia szeregowego otrzymujemy: 

 

( )

∑

=

=

+

+

+

=

n

k

R

n

I

f

U

U

U

U

Nk

1

2

1

K

 (4.9) 

Równanie to określa charakterystykę nowego elementu 

 

( )

( )

( )

∑

=

=

=

n

k

R

R

R

NŁ

I

f

I

f

gdzie

I

f

U

R

Nk

NŁ

NŁ

1

:

:

 

(4.10) 

 

PRZYKŁAD 

 

 

U(I)

 

)

(

)

(

2

1

I

U

I

U

+

=

 

 

I

0

U

U I

( )

U I

1

( )

U I

2

( )

 

UWAGA:  Jeśli napięcie w elemencie zastępczym obwodu szeregowego 

wynosi U

X

, to po uzyskaniu charakterystyki łącznej R

NŁ

 można 

znaleźć na niej punkt pracy P a następnie prąd w obwodzie I

X

 

oraz napięcia na elementach obwodu. 

 

- 7 -

•  Dla elementów połączonych równolegle 

Rozważamy połączenie równoległe n rezystorów o charakterystykach 

określonych równaniami : 
 
 

( )

( )

( )

U

I

R

U

I

R

U

I

R

Nn

N

N

R

n

Nn

R

N

R

N

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

=

:

,

,

:

,

:

2

1

2

2

1

1

K

 (4.11) 

 
W wyniku połączenia szeregowego otrzymujemy: 

 

( )

∑

=

=

+

+

+

=

n

k

R

n

U

I

I

I

I

Nk

1

2

1

ϕ

K

 (4.12) 

Równanie to określa charakterystykę nowego elementu 

 

( )

( )

( )

∑

=

=

=

n

k

R

R

R

NŁ

U

U

gdzie

U

I

R

Nk

NŁ

NŁ

1

:

:

ϕ

ϕ

ϕ

 (4.13) 

 

PRZYKŁAD 

 

 

I(U)

 

)

(

)

(

2

1

U

I

U

I

+

=

 

 

I(U)

I

1

(U)

I

2

(U)

I

0

U

 

UWAGA:  Jeśli prąd w elemencie zastępczym obwodu równoległego wy-

nosi I

X

, to po uzyskaniu charakterystyki łącznej R

NŁ

 to wyzna-

cza się na niej punkt pracy P a następnie napięcie zasilające U

X

 

oraz prądy w gałęziach obwodu. 

 

- 8 -

 

METODA PRZECIĘCIA CHARAKTERYSTYK 

•  Dla elementów połączonych szeregowo 

Jeśli napięcie zasilające jest stałe i jego ustalona wartość nie ulega 

zmianie, to w celu określenia prądu  I

X

 (punktu pracy na charakterystyce 

łącznej) nie trzeba wyznaczać charakterystyki łącznej. Stosować można 
wówczas metodę przecięcia charakterystyk  tzw. "lustrzanego odbicia". 
 

Tok postępowania: 

1.  wykreślamy charakterystykę ele-

mentu, np. R

N1

, 

2.  na osi U odmierzamy daną wartość 

Ux napięcia na zaciskach układu, 

3.  dla elementu R

N2

 przyjmujemy 

układ współrzędnych o początku w 
punkcie 0' (odległym od punktu 0 o 
Ux) i osi U mającej zwrot przeciw-
ny niż dla elementu R

N1

, 

4.  w nowym układzie współrzędnych 

wykreślamy charakterystykę R

N2

, 

5.  punkt pracy obwodu P jest punk-

tem przecięcia charakterystyk a je-
go odcięta dzieli Ux na U

N1

 i U

N2

. 

I

x

U

x

U

N1

U

N2

R

N1

R

N2

I

U

0

0'

P

I

x

U

x

I

R

N1

U

N1

U

N2

R

N2

'

 

 

- 9 -

 

•  Dla elementów połączonych równolegle 

Jeśli znany jest prąd zasilający obwód I

X

 i wiadomym jest, że nie ule-

gnie on zmianie lub inaczej, tylko dla tej wartości prądu chcemy określić 
napięcia i prądy w gałęziach, to możemy posłużyć się metodą "lustrzanego 
odbicia". 
 

Tok postępowania: 

1.  wykreślamy charakterystykę ele-

mentu, np. R

N1

, 

2.  na osi I odmierzamy daną wartość 

I

X

 , 

3.  dla elementu R

N2

 przyjmujemy 

układ współrzędnych o początku w 
punkcie 0' (odległym od punktu 0 o 
I

X

) i osi prądu I mającej zwrot 

przeciwny niż dla elementu R

N1

, 

4.  w nowym układzie współrzędnych 

wykreślamy charakterystykę R

N2

, 

5.  punkt pracy obwodu P jest punk-

tem przecięcia charakterystyk a je-
go rzędna dzieli I

X

 na I

N1

 i I

N2

. 

I

x

U

x

I

N1

R

N2

R

N2

I

N2

I

U

0

0'

P

I

x

U

x

R

N1

R

N2

'

U

I

N2

I

N1