- 1 -

7. WIDMOWY OPIS SYGNAŁÓW

ELEKTRYCZNYCH

PRZYPOMNIENIE

A) Funkcja wykładnicza pełni wyjątkową rolę, ponieważ:

•

każdy sygnał występujący w praktyce może być zawsze wyra-
ż

ony w postaci sumy funkcji wykładniczych;

•

w przypadku obwodów liniowych odpowiedź obwodu na wy-
muszenie wykładnicze jest także wykładnicza.

B) Metoda symboliczna zapisu przebiegów sinusoidalnych po-

zwala traktować je jako przebiegi wykładnicze

7.1. OPIS SYGNAŁU ODKSZTAŁCONEGO

TRYGONOMETRYCZNY SZEREG FOURIERA

Dowolną funkcję okresową niesinusoidalną x(t) o okresie T, spełniają-

cą warunki Dirichleta - można przedstawić w postaci szeregu harmonicz-
nego nieskończonego, zwanego

szeregiem trygonometrycznym Fouriera:

( )

(

)

∑

∞

=

+

+

=

1

1

0

sin

k

k

k

m

t

k

F

F

t

x

Ψ

ω

(7.1)

k-ta harmoniczna rozwinięcia Fouriera

gdzie:

ω

ωω

ω

1

=2

ππππ

/T – pulsacja podstawowa

k – rząd harmonicznej
F

mk

– amplituda k-tej harmonicznej

Ψ

k

– faza początkowa k-tej harmonicznej

składowa stała

- 2 -

Wiadomo jednak, że

(

)

(

)

k

k

k

m

k

k

m

t

k

t

k

F

t

k

F

Ψ

+

Ψ

=

Ψ

+

sin

cos

cos

sin

sin

1

1

1

ω

ω

ω

(7.2)

Jeśli oznaczymy

k

k

k

m

k

k

k

m

B

F

A

F

=

Ψ

=

Ψ

cos

sin

(7.3)

to

(

)

t

k

B

t

k

A

t

k

F

k

k

k

k

m

1

1

1

sin

cos

sin

ω

ω

ω

+

=

Ψ

+

(7.4)

Gdy amplitudę k-tej harmonicznej przedstawimy jako wektor wirują-

cy, to z zależności trygonometrycznych (rys) wynikają wzory (7.3) oraz

Re

Im

F

mk

Ψ

k

A

k

B

k

2

2

k

k

k

m

B

A

F

+

=

(7.5)

k

k

k

B

A

tg

=

Ψ

(7.6)

Uwzględniając powyższe zależności możemy szereg (7.1) przedstawić

( )

(

)

∑

∞

=

+

+

=

1

1

1

0

sin

cos

k

k

k

t

k

B

t

k

A

A

t

x

ω

ω

(7.7)

Współczynniki A

0

, A

k

, B

k

wyznacza się ze wzorów:

( )

dt

t

x

T

A

T

t

t

∫

+

=

0

0

1

0

(7.8)

( )

K

,

2

,

1

cos

2

1

0

0

=

=

∫

+

k

dla

dt

t

k

t

x

T

A

T

t

t

k

ω

(7.9)

( )

K

,

2

,

1

sin

2

1

0

0

=

=

∫

+

k

dla

dt

t

k

t

x

T

B

T

t

t

k

ω

(7.10)

k-ta harmoniczna rozwinięcia Fouriera

składowa stała

- 3 -

Interpretacja:

Dowolny przebieg elektryczny można przedstawić w postaci sumy

wielkości stałej

oraz

nieskończenie wielu wielkości sinusoidalnych zwanych
harmonicznymi.

Wielkość sinusoidalną o k=1 nazywamy harmoniczną podstawową (pierwszą
harmoniczną). Wielkości o k>1 nazywamy wyższymi harmonicznymi.

10

0

u t

( )

0.875

0.125

t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

2

4

6

8

10

5

5

Uo

u1 t

( )

u2 t

( )

u3 t

( )

0.875

0.125

t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

4

2

2

4

- 4 -

ANALIZA OBWODÓW SLS PR

Ą

DU ODKSZTAŁCONEGO

Załóżmy, że do dwójnika zawierającego elementy R, L w połączeniu

szeregowym przyłożono napięcie odkształcone u(t). Wielkością poszuki-
waną jest prąd płynący przez elementy dwójnika. Rozwinięcie rozpatry-
wanego wymuszenia w szereg Fouriera ma postać

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

∑

∑

∞

=

∞

=

+

=

+

+

+

+

=

+

+

=

1

0

3

2

1

0

1

1

0

sin

k

k

k

uk

k

m

t

u

U

t

u

t

u

t

u

U

t

k

U

U

t

u

K

Ψ

ω

(7.11)

Ponieważ obwód jest liniowy, więc możemy zastosować zasadę su-

perpozycji w sposób następujący:

1.

Przyjmujemy, że jedynym wymuszeniem jakie działa na obwód jest
ź

ródło napięcia stałego U

0

i rozpatrywany obwód obliczamy za pomocą

metod dotyczących obwodów prądu stałego, wyznaczając prąd I

0

;

2.

Przyjmujemy, że jedynym wymuszeniem jakie działa na obwód jest k-te
ź

ródło napięcia harmonicznego o napięciu

( )

(

)

uk

k

m

k

t

k

U

t

u

Ψ

ω

+

=

1

sin

i za pomocą metod obliczania obwodów prądu harmonicznego wyzna-
czamy prąd obwodu

( )

(

)

ik

k

m

k

t

k

I

t

i

Ψ

ω

+

=

1

sin

,

obliczenie to powtarzamy wielokrotnie, przyjmując kolejno k=1,2,3,...

Zgodnie z zasadą superpozycji przez elementy obwodu płynie prąd

( )

( )

(

)

∑

∑

∞

=

∞

=

+

+

=

+

=

1

1

0

1

0

sin

k

ik

k

m

k

k

t

k

I

I

t

i

I

t

i

Ψ

ω

(7.12)

- 5 -

R

L

u(t)

i(t)

u (t)

1

i(t)

R

L

U

0

u (t)

k

R

L

I

0

ω=0

U

0

R

L

ω=ω

1

u (t)

1

i (t)

1

...

R

L

ω= ω

k

1

i (t)

k

...

u (t)

k

R

U

I

0

0

=

( )

(

)

uk

k

m

k

t

k

U

t

u

Ψ

ω

+

=

1

sin

uk

j

mk

mk

e

U

U

Ψ

=

k

mk

mk

Z

U

I

=

(

)













+

=

+

=

R

L

k

arctg

j

k

e

L

k

R

L

k

j

R

Z

ω

ω

ω

2

2

(

)

ik

uk

j

mk

R

L

k

arctg

j

mk

k

e

I

e

L

k

R

U

I

Ψ

ω

Ψ

ω

=

+

=

























−

2

2

( )

(

)

ik

k

m

k

t

k

I

t

i

Ψ

ω

+

=

1

sin

Obwody prądu harmonicznego

Obwód prądu stałego

- 6 -

ZESPOLONY (WYKŁADNICZY) SZEREG FOURIERA

Jeśli w rozwinięciu w szereg Fouriera danym wyrażeniem (7.7) zasto-

sujemy podstawienie wynikające z wzorów Eulera

2

cos

1

1

1

t

jk

t

jk

e

e

t

k

ω

ω

ω

−

+

=

,

j

e

e

t

k

t

jk

t

jk

2

sin

1

1

1

ω

ω

ω

−

−

=

(7.13)

to otrzymamy

( )

∑

∞

=

−

−

















−

+

+

+

=

1

0

2

2

1

1

1

1

k

t

jk

t

jk

k

t

jk

t

jk

k

j

e

e

B

e

e

A

A

t

x

ω

ω

ω

ω

(7.14)

Wprowadzając oznaczenia

2

,

2

,

0

0

k

k

k

k

k

k

jB

A

C

jB

A

C

A

C

+

=

−

=

=

−

(7.15)

szereg Fouriera przyjmuje postać

( )

[

]

∑

∞

=

−

−

+

+

=

1

0

1

1

k

t

jk

k

t

jk

k

e

C

e

C

C

t

x

ω

ω

(7.16)

i ostatecznie

( )

∑

∞

−∞

=

=

k

t

jk

k

e

C

t

x

1

ω

(7.17)

którą to postać nazywamy postacią ze-
spoloną szeregu Fouriera lub krótko
zespolonym szeregiem Fouriera.

( )

∫

+

−

±

±

=

=

=

T

t

t

j

k

t

k

j

k

k

e

C

dt

e

t

x

T

C

k

0

0

1

,

2

,

1

,

0

1

K

η

ω

(7.18)

Uwaga:

*

k

k

C

C

−

=

k

k

k

k

i

C

C

−

−

−

=

=

η

η

k-ty współczynnik wykładniczego
szeregu Fouriera

C

k

– moduł k-tego współczynnika wy-

kładniczego szeregu Fouriera

η

k

– argument k-tego współczynnika

wykładniczego szeregu Fouriera

- 7 -

WIDMO AMPLITUDOWE I FAZOWE SYGNAŁU

Wykres, w układzie współrzędnych prostokątnych, stanowiący

zbiór

modułów C

k

współczynników wykładniczego szeregu Fouriera

lub amplitud F

mk

poszczególnych harmonicznych,

określony dla odpo-

wiednich pulsacji

ω

ωω

ω

=k

ω

ωω

ω

1

(bądź częstotliwości f=kf

1

) nazywamy

dys-

kretnym widmem amplitudowym

sygnału x(t).

Wykres, w układzie współrzędnych prostokątnych, stanowiący

zbiór

argumentów

ηηηη

k

współczynników wykładniczego szeregu Fourie-

ra lub faz początkowych

ψ

k

poszczególnych harmonicznych,

określony

dla odpowiednich pulsacji

ω

ωω

ω

=k

ω

ωω

ω

1

(bądź częstotliwości f=kf

1

) nazywa-

my

dyskretnym widmem fazowym

sygnału x(t).

Znajomo

ść

obydwu widm, amplitudowego i fazowego jedno-

znacznie okre

ś

la sum

ę

cz

ęś

ciow

ą

szeregu Fouriera czyli z za-

ło

ż

on

ą

dokładno

ś

ci

ą

opisuje analizowany sygnał x(t). Widma

(cz

ę

stotliwo

ś

ciowe) s

ą

równowa

ż

nym opisem do analitycznego

zapisu w dziedzinie czasu tego sygnału - jest to jego reprezen-
tacja widmowa.

Ponieważ pomiędzy współczynnikami rozwinięcia w trygonometrycz-

ny i w zespolony szereg Fouriera zachodzą następujące związki:

K

,

2

,

1

2

2

2

2

=

+

=

=

=

−

k

dla

B

A

F

C

C

k

k

k

m

k

k

(7.19)

K

,

2

,

1

2

=

−

=

k

dla

k

k

π

Ψ

η

(7.20)

dla przykładowego sygnału x(t) można przedstawić następujące widma:

- 8 -

WIDMO AMPLITUDOWE

SPORZ

Ą

DZONE W OPARCIU O POSTA

Ć

:

TRYGONOMETRYCZN

Ą

ZESPOLON

Ą

F

mk

k

ω

1

0

1

2

3

4

C

k

k

ω

1

0

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

WIDMO FAZOWE

SPORZ

Ą

DZONE W OPARCIU O POSTA

Ć

:

TRYGONOMETRYCZN

Ą

ZESPOLON

Ą

Ψ

k

k

ω

1

1

2

3

4

k

ω

1

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

η

k

Widmo amplitudowe sygnału okresowego jest funkcją parzystą a widmo
fazowe funkcją nieparzystą. Prawostronne widma amplitudowe i fazowe
stanowią reprezentację sygnału okresowego w dziedzinie częstotliwości.

- 9 -

RODZAJE SYMETRII SYGNAŁÓW

Znaczna liczba funkcji okresowych przedstawiających wielkości elek-

tryczne spełnia pewne warunki symetrii, co w wyraźny sposób ułatwia
rozwinięcie tych funkcji w szereg Fouriera przez uproszczenie wyrażeń
(7.1), (7.7) i (7.17). Wyróżniamy trzy zasadnicze rodzaje symetrii sygna-
łów okresowych.

1)

SYMETRIA WZGL

Ę

DEM POCZ

Ą

TKU UKŁADU WSPÓŁRZ

Ę

DNYCH

Funkcję nazywamy symetryczną względem początku układu współ-

rzędnych lub

funkcj

ą

nieparzyst

ą

jeśli spełnia ona zależność

( )

( )

t

x

t

x

−

−

=

(7.21)

x(t)

t

0

,

0

0

=

=

k

A

A

0

lub

=

=

k

k

Ψ

π

Ψ

( )

∑

∞

=

=

1

1

sin

k

k

t

k

B

t

x

ω

(7.22)

2)

SYMETRIA WZGL

Ę

DEM OSI RZ

Ę

DNYCH

Funkcję nazywamy symetryczną względem osi rzędnych, lub

funkcj

ą

parzyst

ą

jeśli spełnia ona zależność

( ) ( )

t

x

t

x

−

=

(7.23)

x(t)

t

0

=

k

B

2

lub

2

π

Ψ

π

Ψ

−

=

=

k

k

( )

∑

∞

=

+

=

1

1

0

cos

k

k

t

k

A

A

t

x

ω

(7.24)

- 10 -

3)

SYMETRIA WZGL

Ę

DEM OSI ODCI

Ę

TYCH

Funkcję nazywamy

antysymetryczn

ą

(symetryczną względem osi

odciętych), jeśli rzędne funkcji okresowej powtarzają się co pół okresu ze
zmienionym znakiem, tzn.

( )













+

−

=

2

T

t

x

t

x

(7.25)

x(t)

t

0

0

=

A

i

K

,

2

,

1

0

2

2

=

=

=

n

dla

B

A

n

n

występują tylko nieparzyste harmoniczne

WIDMO MOCY SYGNAŁU

Ważnym parametrem charakteryzującym sygnał jest jego moc średnia

P, która w przypadku sygnału okresowego x(t) zdefiniowana jest za pomo-
cą wzoru:

( )

dt

t

x

T

P

T

∫

=

0

2

1

Moc sygnału okresowego x(t), można również wyznaczyć w dziedzi-

nie częstotliwości obliczając wartości mocy zawartej w każdej składowej
harmonicznej. W ten sposób tworzy się

widmo mocy sygnału

.

Przykładowo dla n-tej składowej harmonicznej, wartość mocy tej

składowej jest równa

(

)

2

sin

1

2

0

1

2

2

n

m

T

n

n

m

n

F

dt

t

n

F

T

P

=

+

=

∫

Ψ

ω

(7.26)

- 11 -

Wyrażając funkcję okresową x(t) za pomocą jej rozwinięcia w szereg

trygonometryczny Fouriera otrzymujemy:

(

)

∑

∑

∞

=

∞

=

+

=

+

+

=

1

2

2

0

1

2

2

2

0

2

2

k

mk

k

k

k

F

F

B

A

A

P

(7.27)

Podobnie jak w przypadku widma amplitudowego jest to widmo jed-

nostronne (istnieje tylko dla

ω≥

0)

Wyznaczając widmo mocy przebiegu okresowego x(t) za pomocą

wykładniczego

szeregu Fouriera, korzysta się z twierdzenia Parsevala:

( ) ( )

∑

∞

−∞

=

=

k

k

k

C

C

t

x

t

x

*

2

1

1

2

1

1

ω

ω

(7.28)

mówiącego: wartość średnia za okres iloczynu dwóch funkcji okresowych

o tym samym okresie jest równa sumie od -

∞

do +

∞

szeregu

nieskończonego, którego wyrazami są iloczyny współczynni-
ków rozwinięcia wykładniczego jednej z tych funkcji przez
współczynniki sprzężone rozwinięcia wykładniczego drugiej

Czyli wartość średnia kwadratu funkcji okresowej zakładając

( )

( ) ( )

t

x

t

x

t

x

=

=

1

2

1

1

ω

ω

wynosi

( )

∑

∑

∞

−∞

=

∞

−∞

=

=

=

k

k

k

k

k

C

C

C

t

x

2

*

2

(7.29)

Zatem:

∑

∞

−∞

=

=

k

k

C

P

2

(7.30)

Wówczas

widmem mocy sygnału nazywamy wykres zmienności kwadra-

tów modułów współczynników wykładniczego szeregu Fouriera. Podobnie
jak w przypadku widma amplitudowego jest to widmo dwustronne-
symetryczne.

UWAGA:

2

0

2

0

C

F

=

,

4

2

2

mk

k

F

C

=

- 12 -

APROKSYMACJA SYGNAŁU

W zagadnieniach praktycznych często zachodzi konieczność ograni-

czenia się do reprezentacji sygnału okresowego skończoną liczbą wyrazów
szeregu Fouriera (do aproksymacji sygnału sumą częściową szeregu).

Ograniczamy się do uwzględnienia w rozwinięciu N-harmonicznych.

Dla zespolonego szeregu Fouriera taką aproksymację zapiszemy jako

( )

∑

+

=

−

=

≅

N

k

N

k

t

jk

k

e

C

t

x

1

ω

(7.31)

Jako kryterium dokładności aproksymacji sygnału x(t) sumą częścio-

wą jego rozwinięcia przyjmuje się błąd względny

%

100

⋅

=

X

N

N

sk

ε

δ

ε

(7.32)

gdzie:

X – wartość skuteczna sygnału x(t) :

( )

( )

P

t

x

dt

t

x

T

X

T

=

=

=

∫

2

0

2

1

N

sk

ε

- wartość skuteczna błędu :

∑

∑

∞

+

=

+

=

−

=

=

−

=

1

2

2

2

2

N

k

k

N

k

N

k

k

sk

C

C

X

N

ε

Jeśli a priori założymy pewną wartość błędu aproksymacji, to przy

znajomości , możemy ustalić ten rząd harmonicznej N, której uwzględnie-
nie w sumie częściowej zapewnia wymaganą dokładność. Mówimy wów-
czas, że sygnał x(t) zajmuje pasmo N

ω

1

(N

⋅

f

1

).

Sens fizyczny tak określonego pasma wiąże się z mocą średnią sygna-

łu a mianowicie, jeśli przyjęliśmy kryterium dokładności

δε

N

to oznacza,

ż

e N uwzględnionych w rozwinięciu harmonicznych niesie (100 -

δε

N

)%

mocy jaką reprezentuje sobą sygnał x(t).

- 13 -

PRZYKŁAD:

Dany jest sygnał u(t) będący ciągiem impulsów prosto-
kątnych o okresie T=1ms, czasie trwania t

i

=0,25ms oraz

amplitudzie U

m

=10V. Wyznaczyć widmo amplitudowe i

fazowe sygnału.

1) Opisujemy sygnał u(t) analitycznie w przedziale czasu odpowiada-

j

ą

cym okresowi:

( )











−

<

<

<

<

−

=

2

2

0

2

2

i

i

i

i

m

t

T

t

t

dla

t

t

t

dla

U

t

u

2) Wybieramy posta

ć

szeregu Fouriera, dla której b

ę

dziemy rozwijali

sygnał

( )

(

)

∑

∞

=

+

+

=

1

1

1

0

sin

cos

k

k

k

t

k

B

t

k

A

A

t

u

ω

ω

3) Sprawdzamy rodzaj symetrii sygnał u(t)

Występuje symetria względem osi rzędnych (

( )

( )

t

f

t

f

−

=

). Ponieważ

jest to funkcja parzysta znikają wyrazy z sinusami (

0

=

k

B

).

Zatem:

( )

∑

∞

=

+

=

1

1

0

cos

k

k

t

k

A

A

t

u

ω

4) Obliczamy składow

ą

stał

ą

( )

dt

t

u

T

A

U

T

t

t

∫

+

=

=

0

0

1

0

0

[ ]

V

T

t

U

t

t

T

U

t

U

T

dt

U

T

U

i

m

i

i

m

t

t

m

t

t

m

i

i

i

i

5

,

2

4

1

10

2

2

1

1

1

2

2

2

2

0

=

⋅

=

=













+

=

=

=

−

−

∫

- 14 -

5) Obliczamy współczynniki

( )

K

,

2

,

1

cos

2

1

0

0

=

=

∫

+

k

dt

t

k

t

u

T

A

T

t

t

k

ω

(

)

2

2

1

1

1

2

2

sin

1

2

cos

2

i

i

i

i

t

t

m

t

t

m

k

t

k

k

T

U

dt

t

k

U

T

A

−

−

=

=

∫

ω

ω

ω

T

t

k

t

k

k

T

U

A

i

i

m

k

π

ω

ω

ω

ω

2

2

sin

2

sin

1

2

1

1

1

1

=

























−

−













=













−

=













−

























−

−













=

4

sin

4

sin

4

sin

4

sin

π

π

π

π

π

k

k

k

k

k

U

m













=













=

























+













=

4

sin

37

,

6

4

sin

2

4

sin

4

sin

π

π

π

π

π

π

k

k

k

k

U

k

k

k

U

m

m

6) Obliczamy warto

ś

ci amplitud i faz pocz

ą

tkowych N-harmonicznych

k

k

A

2

k

k

m

A

F

=

k

m

k

k

F

A

arcsin

=

Ψ

1.

4,502

4,502

90

o

2.

3,183

3,183

90

o

3.

1,501

1,501

90

o

4.

0

0

-

5.

-0,9

0,9

-90

o

6.

-1,061

1,061

-90

o

7.

-0,643

0,643

-90

o

8.

0

0

-

9.

0,5

0,5

90

o

- 15 -

7) Przedstawiamy widmo amplitudowe i fazowe sygnału

F

mk

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5

2,5

f [kHz]

Ψ

k

1

2

3

4

5

6

7

8

9

90

o

-90

o

f [kHz]

11

2

u t

( )

1.875

0.125

0.125

0.875

t

5

10